人教A版选修4《反证法与放缩法》教学设计

人教A版选修4《反证法与放缩法》教学设计一、教学目标了解反证法和放缩法的定义和基本用法；能够熟练运用反证法和放缩法解决数学问题；培养学生逻辑思维和问题解决能力。二、教学重点和难点2.1教学重点反证法的基本思想和应用；放缩法的基本思想和应用。2.2教学难点多步反证法的应用；放缩法在不等式证明中的应用。三、教学方法案例法教学：通过具体的案例让学生理解反证法和放缩法的应用；合作学习法：鼓励同学们合作解决问题，促进学生合作学习和交流；自主学习法：引导学生自主探究反证法和放缩法。四、教学过程4.1概念讲解1.反证法反证法是通过对反命题的否定，从而证明命题的方法。具体而言，若要证明命题$P\\RightarrowQ$，就是通过证明$\egQ\\Rightarrow\egP$。此时，我们假设条件P成立，假设结论Q不成立，然后通过逻辑推理得出 egP不成立，进而证明了2.放缩法放缩法是指将一个数或者一个式子用另一个更小或更大的数或者式子来夹逼证明的方法。4.2案例演练1.反证法案例演练案例1：证明$\\sqrt{2}$为无理数。解：假设$\\sqrt{2}$为有理数，则可以表示为$\\sqrt{2}=\\frac{a}{b}$，其中a，b为正整数且互质。则有a2=2b2，也就是a2为偶数。由此推得a为偶数，即可得到a=2k，代入得到2b2=4k2，即b2=案例2：证明$2+\\sqrt{3}$为无理数。解：假设$2+\\sqrt{3}$为有理数，则可以表示为$2+\\sqrt{3}=\\frac{a}{b}$，其中a，b为正整数且互质。则$2-\\sqrt{3}=\\frac{a}{b}-2=\\frac{a-2b}{b}$。又因为$(2-\\sqrt{3})(2+\\sqrt{3})=1$，可得到$\\frac{a-2b}{b}(2+\\sqrt{3})=\\frac{a^2-6b^2}{b^2}=1$。因为a2−6b2为奇数，所以b2也为奇数，而a2为偶数，a为偶数。所以a=2k，a2=4k2，6b2=4k2−1，2.放缩法案例演练案例3：证明$\\sqrt{3}+\\sqrt{5}<4$。解：首先可以得到$\\sqrt{3}<\\frac{3}{2}$、$\\sqrt{5}<2$，所以$\\sqrt{3}+\\sqrt{5}<\\frac{7}{2}$。又因为$\\left(2-\\sqrt{3}\\right)\\left(2+\\sqrt{3}\\right)=1$，所以$\\sqrt{3}=2-\\frac{1}{2+\\sqrt{3}}<2-0.5=1.5$。因此，$\\sqrt{3}+\\sqrt{5}<1.5+2=3.5<4$，证毕。4.3合作讨论让学生们分组合作讨论一个题目：案例4：已知a+b=5让学生们展开讨论，提出自己的解题思路，然后在组内共同解决问题。4.4思维拓展1.讨论让学生们自己想出一个数学问题，然后分组讨论解决这个问题的思路，尝试应用反证法或放缩法对其进行证明。2.思考题让学生们思考一个问题：如何证明$\\pi$是无理数？请尝试应用反证法对其进行证明。五、教学评估练习卷测试：提供多组题目，让学生独立完成；小组议题：让学生们分组，自己出一道题目，进行团队解答；课堂答辩：让学生演示自己的证明方法，进行现场答辩。六、教学反思本节课程采用了案例法和合作学习法相结合的教学方法，让学生在参与互动的过程中，加深了对知识点的理解，同时也提高了解决问题的能力。通过本节课程的讲解，学生们能够熟练掌握反证法和放缩法的