中考复习 圆中相似三角形的常见模型

中考复习圆中相似三角形的常见模型

∠BAC=60°，求BD的长度；②若BD=2，求AE的长度；③若AE=3，求BC的长度．1.在图1中，D是圆O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交圆O于E、N，F是圆O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M。证明：（1）PA是圆O的切线；（2）若∠A＝30°，圆O的半径为4，DM＝1，求PM的长；（3）在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度。2.在图中，△ABC为圆O的内接三角形，AB为圆O的直径，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点D。证明：（1）△DAC∽△DBA；（2）过点C作圆O的切线CE交AD于点E，证明CE＝AD；（3）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长。3.在图中，圆O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交圆O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P。证明：（1）PD是圆O的切线；（2）△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长。4.在图中，△ABC内接于圆O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD。证明：（1）PG与圆O相切；（2）若∠ACB=60°，求∠EPD的值；（3）在（2）的条件下，若圆O的半径为8，PD＝OD，求OE的长。5.在图1中，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜4）。以点A为圆心，AC长为半径作圆A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交圆A于点F。证明：（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE＝EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值。6.在图中，△ABC是圆O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形。证明：（1）AC＝CE；（2）BC2﹣AC2＝AB•AC；（3）已知圆O的半径为3，①若∠BAC=60°，求BD的长度；②若BD=2，求AE的长度；③若AE=3，求BC的长度。7.（2018•株洲）图中，已知直径AB＝8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE．(1)证明：直线CG是⊙O的切线。过点O作直线OE与CG相交于点H，连接AH。由于∠ABO＝90°，∠OBC＝∠OAC，所以△OBC∽△OAC，于是OB2＝OC•OA。又因为∠BOC＜90°，所以∠OAB＜90°，于是OA2＝OB2＋AB2＝OC•OA＋AB2，化简得OC＝(OA2－AB2)/OA。由于OF∥CG，所以∠OFC＝∠OGC＝∠OAB，于是OF＝OA。于是在△OAH中，AH2＝OA2－OH2，代入OC＝(OA2－AB2)/OA，化简得OH＝(AB2－BC•OC)/(2•OA)。由于OC＜OA，所以OH＞0。因此，直线CG在点F处切⊙O。(2)求解：点H为线段OB上一点，满足CB＝CH，且①△CBH∽△OBC；②求OH＋HC的最大值。①因为∠CBO＝∠CBH，所以∠CBO＝∠CBH＝∠OBC，于是△CBH∽△OBC。又因为CB＝CH，所以△CBH和△OBC全等，于是BH＝BO，于是OH＋HC＝OB－BH＋HC＝OC＋HC。由于OC＝(OA2－AB2)/OA，所以OH＋HC＝(OA2－AB2)/OA＋HC。因此，OH＋HC的最大值等于HC的最大值。由于OC＜OA，所以HC＜AB/2，所以OH＋HC的最大值等于(OA2－AB2)/OA＋AB/2。8.（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，且∠BCD＝60°，弦CD交AB于点E。(1)证明：当PB是⊙O的切线时，∠PBD＝∠DAB。因为PB是⊙O的切线，所以∠PBO＝∠BCD＝60°，于是∠PBD＝∠PBO－∠DBO＝60°－∠DBO。又因为AD是直径，所以∠DBO＝∠DAB，于是∠PBD＝60°－∠DAB。(2)证明：BC2－CE2＝CE•DE。连接OE，因为∠CEO＝∠CDO＝30°，所以△CEO∽△CDO，于是CE2＝CO•CD。又因为∠OCD＝∠OBC＝60°，所以△OCD是等边三角形，于是CO＝CD。因此，CE2＝CD2，于是BC2－CE2＝BC2－CD2＝BD•AB＝CE•DE。(3)已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长。因为E是OA的中点，所以OE＝EA＝2。又因为∠OED＝∠OEA＋∠AED＝90°，所以△OED是直角三角形，于是DE2＝OE2＋OD2＝2OD2，于是DE＝OD√2。因为∠OCD＝60°，所以OD＝OC/2＝2√3，于是DE＝4√2。9.（2018•盐城）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC。将△ABC沿AB翻折后得到△ABD。(1)证明：点D在⊙O上。因为△ABC沿AB翻折后得到△ABD，所以∠ACB＝∠ABD。又因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，于是∠ABD＝90°，所以点D在⊙O上。(2)在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC•AE。证明：BE为⊙O的切线。连接BE，因为∠AEB＝∠ABC＝90°，所以AB2＝AC•AE＝AE•(AE＋EC)，于是AE2＋AE•EC＝AB2。又因为∠AED＝90°，所以AD是⊙O的直径，于是∠OAE＝90°，所以△OAE和△OBE相似，于是OB2＝OA•OE＝(AB/2)•OE。因此，AB2－OB2＝(AB2－BC2)/4＝AC•EC，于是BE2＝AB2－OB2＝AC•EC，于是BE＝EC。因此，BE是⊙O的切线。(3)在(2)的条件下，分别延长线段AE、CB相交于