极值点偏移问题专题

极值点偏移问题专题（0）偏移新花样（拐点偏移）例1已知函数f(X)二2lnx+X2+X，若正实数X],x2满足f1x+f2f=4求证：X]…x2一2。证明：注意到f1尸2,f（X]）+览）=2f（1f(X1(+f(X2)=2f(12=+2x •I0X（（1）=0则（（（1）=0则（1,2）是f（图像的拐点，若拐点（1,2）也是f（X的X=w2，f对称中心，则有X1中X2=2，证明Xl+X2X则说明拐点发生了偏移，作图如下想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理.不妨设0叮X1乞1・_X2，要证X13x2__2X2.厶X]_1饨占fx2：__f2_X4-fiX1 ..fj2-X]j_&4一fx1f2・x1Fx—fxf2—x，x. 0,1!，则F.x=fx_f2-x(2 )f2 \乜 丿"X''丿gf41(gf41(X得F(x在(0,1]上单增，有f(xF1)=2+(1(，得证。2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路1、极值点偏移(f'X0二0)2、拐点偏移f•xo二o-X-2x_x2一2一01-X2：2xofx1二.X]亠X?2xfX0f(f(x(+ (f(x2f)刍X12Xf*+f(吩((2f戸X2(( 0乞1Xx广x2>2x极值点偏移问题专题(1)对称化构造(常规套路)例1(2010天津)已知函数f・x=xe^.(1)求函数f(X的单调区间和极值;(2)已知函数g(X的图像与fX勺图像关于直线X1对称，证明：当>g(X；(3)如果Xi：川2，且f,xi・：二fx2.，证明:解：(1)F々)=「4—EF得/(刈在(YD」｝上/「在(L+X)上、，才(力有极大值f⑴二Z”刃珈H1；e2)pix)的團像与川曰的图像关于直钱对称隈眩乂的解析式为y=/(2-x)构适辅助囲数鬥丈2八x)-g(x］二于(刃-丁(2-工i尸(兮=尸(对+尹卩一对十(T+严d=d(4_$当疋A1时tx—1>0t亡e >0片则Ix)>0t得F(£在｛L"Rh)上单壇t有jF(x)>F(l)=0f即/(i)>g(jc).©［由子(西)=八对『结合的单调性可设让吃「特也代入(2)中不等式得/(^)>/(2-3^),5t/(ai)=/(x0「SR/(J*tJ>/｛2-ii)r又再<1j2-Xj<1,f(x|在tTE=1|上单壇,故\>2—x2t兀*冯>2■来源：撤信公众号中学数学研讨都潘点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法一一对称化构造的全过程，直观展示如下：例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数 f( X)二x，已知fi(X )二f(疥)，xi求x2,证明约+2X> 2再次审视解题过程，发现以下三个关键点：(1)XI，为的范围(0<X］弍kx2)；(2)不等式f(X>f(2—xXx>1)；

(3)将色代入(2)中不等式，结合f:x的单调性获证结论.把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题.2(2016新课标I卷)已知函数f(x)=(x-2(ex+(ax儿有两个零点.(1求a的取值范围;(2设x^，x是f((1求a的取值范围;(2设x^，x是f(的两个零点，证明:xi一x2 二解:(1) -：二，过程略;(2)由(1)知f：x在-二，1上，在：，由f1x二f必二，0可设x1((2x构造辅助函数Fx二fx-f,2-xF'(x)=f(x)+f(2-x二x-二x-当exF'(x)=f(x)+f(2-x二x-二x-当ex2a：-•1-x：e2-x2aex_e2-xx时，X1 0x2x，贝吒 _ue_e<0 F:(，得::-0F—JO上,1，又F(x)vO(x<1，即f(xXf(2-xx<1坷代入上述不等式中得 f(径戸f(x2)Vf(2_]X),又x> 1，2x1，坷+x2v2.通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解.但极值点偏移问题的结论不一定总是 X1.x2...：：：2X0，也可以是，借鉴前面的解题经验，我们就可给出类似的过程.求证:已知函数fx=xlnx勺图像与直线y=m交于不同的两点1舛》：—2-eax1，y，证明:(i)fx)=ln春1，得fx在(0门.e；当°：：:X:::1时,(x)‘<0；f((x)‘<0；f(1)=0；当x>时，f(fX.r,于是fX的图像如下，得・1''■^xj1>

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e'x/M> 1fEXl+——■Fex1(.=(1+lnX)j1 二^0<x<-Blrl+lnx<0.1-e-<0t则F,{x）>0『得F&）在9丄^0<x<-Blrl+lnx<0.1-eF(x)<F-[-0,BDVej（Hi）（Hi）将坷代入（心中不等式得*又f{Xx)=f(Xxjt故<1A_f/7刘在；-7+x:上/,故疋\e/T来源：微信公处导中学数学硏讨瞬小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下二步：stepl:求导，获得fX的单调性，极值情况，作出fX的图像，由fX］f,X2二得X］,X2的取值范围（数形结合）;step2:构造辅助函数（对结论xi+x2A（u）2x0，构造F