第九章 微分方程初步

微分方程初步第九章

微分方程是数学的重要分支之一。大致和微积分同时产生，并随实际需要而发展。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求方程的解.方程的解就是方程中所含未知数的值.但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。

解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。

第一节微分方程的基本概念定义1含有未知函数的导数(或微分),同时也可能含有自变量与未知函数本身的方程,叫做微分方程.在微分方程中,如果未知函数是一元函数,则称为常微分方程；如果未知函数是多元函数,则称为偏微分方程．（1)——(4)称为常微分方程；(5)——(6)称为偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数,叫做微分方程的阶.本章只研究常微分方程.——二阶——一阶——二阶n阶微分方程的一般形式注意:如都是n阶微分方程.n阶线性微分方程的一般形式对于害任意歇常数C1,C2,微分当方程卵的解如果仗将某构个已帽知函圾数代该入微址分方神程中,能使何该方案程成脏为恒群等式,则称疏此函数为方壁程的骂解．容易祖验证糠，对乳于任敢意常棵数C，函数y=Cx为一卫阶方洗程的解株；n阶方买程的伏通解含有n个独贷立的峰任意王常数厨的解,称为n阶微脖分方主程的通解.方程熟的特竖解通解余中确惧定了宵任意迷常数剑的解,称为方程零的特解.定解坚条件为了世确定颈微分贞方程党的某排个特简解,先要钩求出圆其通解膜，然滑后为誓了确魂定其选中任颤意常惨数而群给出忙的条沸件称为定解漠条件.解微分禽方程谨的解婚的图晶形称芦为微扇分方片程的乒积分摸曲线.通解真的图奸形是助一族纤积分具曲线(称为释微分童方程特的积掠分曲黎线族).而微绒分方仪程的厕某个栋特解煌的图毯形是烤积分些曲线认族中优满足绢给定湖的初静值条棋件的危某一惯条特栗定的盈积分县曲线.解例所求希特解春为第二甲节伍一馅阶微推分方居程及岛其解没法一、察一阶奶可分吃离变值量的蜓方程形如y=f(x)g(y)或的一阶微分方程,称为可分离变量方程.其中f(x),g(y)及M1(x),M2(y),N1(x)及N2(y)均为已知连续函数.先将江方程严分离泼变量爆得下面系介绍浪其求钞解方金法:两端备分别刺积分得通用解其中G(y)和F(x)分别是和f(x)的一个原函数,C为任意常数.若存泳在y0使g(雄y0)=0,则y=基y0也是漂方程挤的一毛个解.因此,方程盆除了说通解能之外,还可刮能有喊一些列常数搭解．求方程的所有解．此外,还有尚解y=掀0.无论C取怎买样的培常数.解y=巧0均不傍能由乖通解滩表达馋式y=球(x铜+C泪)2得出,即直工线y=润0(x轴)虽然虚是原沿方程晌的一格条积要分曲柴线,但它抢并不终属于浑这方习程的搏通解段所确族定的怀积分侦曲线青族y=减(x抚+C堵)2(抛物免线)内,称这任样的闸解为方程键的奇胸解．两边轻积分睬得分离努变量单得通解浪为解例1分离扣变量两端萝积分解得解例2解例3分离变量,得代入初始条件,得C=0,故所求特解为所以练习解例4已知顿某商仔品的猾需求派量x对价繁格P的弹堆性e=仰-3没P3，而跨市场活对该屡商品袭的最茂大需档求量阴为1（万伴件）蔬，求巨需求夏函数豪。例5根据钱经验笨知道园，某鄙产品坝的净王利润y与广缺告支烈出x之间乖有如故下关办系：其中愧，k，N都是暂大于接零的喂常数工，且毅广告僚支出荣为零虎时，般净利垄润为y0，0<薪y0<N，求垂净利凝润函博数y=y(蹲x).二、肾一阶辜齐拥次微宁分方季程1.齐次撕微分借方程形如的一阶微分方程,称为齐次微分方程,简称齐次方程.令：(或y=xu),其中u是新的未知函数.对y=ux两端摊关于x求导,得下面询介绍针求解陶方法:分离嘱变量兔并积假分得得齐庄次方趟程的圾通解原方图程化微为求解章方程两边积分并还原为变量x,y,可得原方程的通解为代入族原方歌程并湿分离企变量由得解原方纺程可锅化为例1解例2微分鹊方程偶的通解解为两端假积分衡得微分华方程战的通惰解为解例3练习解方遍程例4我们疾知道玻生产捡某产亿品的扑可变暗成本y是产贿量x的函牢数y=y(图x),现已扎知且固拨定成赚本C0=1，又留当x=呢1时，y=洽3，求战总成雹本函糕数y(葛x)。以x=鸭1,条y=旺3代入助通解红，得又固郑定成啊本C0=1三、芒一功阶线墨性微菜分方凝程形如y+P(x)y=Q(x)的方际程叫名做一阶片线性惊微分担方程.其中P(x),Q(x)为x的已防知连懂续函呜数,Q(x)称为珠自由侨项．1.求齐怪次方浮程恭的通绸解显然y=0是顾它的漠一个辽解.当y0时,分离权变量煤得积分商得此式岛可写叔成故方程的通解为设方盯程y+P(x)y=Q(x)的通循解为代入寺方程y+P(x)y=Q(x),得化简后,得2.求非掠齐次蹦方程盈的费通解.积分后得方程任的通踪蝶解为对应齐次方程通解非齐次方程特解注分析产的支通解叮为什以么是的形暴式.事实市上，稼由用常牙数变距量法趋确定C（x）方程的通解为

将方稀程化绳为解例1解例2代入碰所给桂方程,得所求椅方程歇的通献解为解例3例4已知具连续惭函数f(x)满足抵条件解因原积方程登右端摇函数若可导解，所周以f(x)可导绒．＝e3x(-2e-x+C)=－２e2x+Ce3x．f(x)＝，求f(x)．由一绍阶线开性方饭程的束通解精公式拾，得同时似求导户，得对方遍程两插端f(x)例5设y=f(x)是第永一象忘限内子连接杆点A(0，1)，B(1，0)的一段上连续俱曲线准，M(x,y)为该饿曲线赤上任摧意一鸡点，乎点C为M在x轴上坏的投乞影，O为坐路标原娱点．掀若梯寄形OC械MA的面差积＋，求f(x)的与曲就边三路角形CB烟M的面献积之评和为表达醉式．解参看脚图，送由题哗设得求导具，得将条岸件f(1字)=斗0代入区到通硬解中肚，得C=-废2，于抄是有贝努枝里方粥程(略)第三江节桨高须阶微查分方仅程一、织几溪类可麻降阶必的高肾阶微伐分方通程二阶纽奉及二这阶以组上的即微分赠方程跟称为夜高阶掌微分塘方程.1.y(n)=f(x)型的无微分剑方程对方程y(n)=f(x)积分一次,得到一个n-1阶方程

再积分一次,得到一个n-2阶方程

依次积分n次,便可得到方程的通解.例1

求的通解.逐次积分得这就是所求的通解．解2.F(x,y,y)=货0型的羞微分可方程(略)则原方程可化为若上式可解,设通解为,则有积分便得原方程的通解若作变换令代入方程并分离变量得积分，得再积分,得所求特解为解例3.F(y,y,y)=怠0型的乏微分仪方程(略)原方程化为如果此微分方程是可解的,设其通解为分离变量后再积分,便得方程的通解代入筑原方至程得前者对应解后者对应方程积分得即解例再分离变量后积分得因此原方程的解为则原方程可化为分离变量得积分得由此式易推出解例上两式相加得积分,得通解为

二、形如y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的方术程,称为二阶弟线性奋微分痕方程.方程测右端f(x)称为闹自由孩项,P(x)与Q(x)称为兵方程牵的系隶数．当f(x)≡绸0时,方程特变为y+P(x)y+Q(x)y=0称之采为二阶枯齐次渗线性盯微分唤方程。当f(x)≠骄0时,称,为二阶秆非齐盟次线货性微嚷分方孝程.二阶旺线性滴微分喇方程1.二阶应线性危微分盘方程该解的哲性质屋与结绕构定理1如果y1,y2是方程的两个解,则它们的线性组合也是方程的解,其中C1,C2是任意常数．定义1设是定义在区间I上的n个函数,如果存在n个不全为零的常数,使得对任意的x,等式恒成立,则说在区间I上它们是线性相关的,否则称它们是线性无关的（线性独立的）．定理2如果y1,y2是方程的两个线性无关的解（亦称基本解组），则为方程的通解，其中C1,C2是任意常数．解例1对y1与y2分别伐求一盾阶导朵数和扶二阶鲜导数,并代齿入方尼程,能使眉方程天成为土恒等养式,故y1与y2都是唤方程化的解.方程醒的通坚解为y=C1e-x+C2e2x(C1，C2为任号意常饲数)．定理3设y*是非齐次线性方程的任一特解,是方程所对应的齐次方程的通解,则是方程的通解．定理4若与分别是方程与的解,则是方程的特解．2、悄二阶狡常系颤数线纱性微工分方寒程的驳解法.二阶月线性揪微分枣方程唐中,当系拿数P(x),Q(x)分别毒为常大数p,q时,则称料方程y+py+qy=f(x)纠(f(x)≠乐0)为二阶字常系炼数非摊齐次义线性武微分袜方程.若f(x)≡命0,方程亩成为y+py+qy=0级,称为二阶钉常系园数齐题次线格性微疫分方止程.设方程y+py+qy=0的解为y=erx,其中r为待定常数,将y=erx代入方程,得

y=erx为方屠程y+py+qy=0的解墓的充承分必远要条矮件是r为方歉程r2＋pr+q=0的根.称代户数方限程r2＋pr+q=0为微掏分方雀程y+py+qy=0的特征血方程.特征乔方程且的根描称为特征盯根．先求齿齐次辟方程背的通境解:分三梁种情肃形来径考虑:(1)如果特征方程有两个相异实根r1与r2,这时可得方程的两个线性无关的解方程的通解为(2)如果特征方程有重根，这时可得到方程的一个解，因此方程的通解为(3替)如果苦特征冒方程岩有共撕轭复鸟根则可尘以验蜜证方钳程有古两个昏线性努无关起的解于是方程的通解为例2试求贿方程格的豪通解.特征方程具有两个不同的实根因此,和构成原方程的基本解组.原方程的通解为解例3求微伤分方娘程互的现通解版．它具有共轭复根特征方程为因此所求方程的通解为解例4求方灰程y″-杆10y′+贝25y=0满足骆条件y|x=0字=1且在x=0处取每到极诸值的犁解，钱并说液明解词在x=0处取碧极大值还卷是取封值小塘值．其根牙为,故方眯程的知通解依为解特征木方程贿为由条备件y|寇=技1得C=1．又由档于所菜求解泛在x=0处取父到极且值，翠故y′|迁=们0x=0由此围有C+5C=0耳,故C=-锻5．从掘而所构求初尼值问菌题的从解为矛：212y=y(x)=点(1下-5x)e5x1x=0因为玻对于妄此解托有y″(秆0)肺=1威0y′(宰0)吃-2萌5y(0颂)=植-2陷5＜0,y=y(x)=肠(1链-5x)e5x所以谣，它骄在x=0处取疫到极宰大值敏．例5已知们某二龄阶常范系数善齐次雅线性俩微分复方程机的特征据方程虽有一缝个根r=1止+3谅i，试燥建立爆这个认微分方程蚊，并研求出干它的州通解次．1解设所熟求的卷方程y″+ay′+by=0方,它对凤应的留特征梢方程例为由于绢上面吧这个尸方程杜有一爷个根r＝1＋3i娘,则另桐一个斧根为r=1品-3起i．由销韦达桶定理浪可知12故特胆征方关程为所求凭微分画方程游为y″-颤2y′+伟10y=0．y=e（Cco济s3x+Csi居n3x)通解吗为x12再求的非齐献次方界程的华通解:二阶友常系坝数非伟齐次霉线性虎微分允方程y+py+qy=f(x)的通腐解归血结为戒求它佩所对捎应的井齐次巾线性趴方程铅的通合解和蝴它自管身的勺一个沟特解.下面田考虑萌求特镰解.类型1,其中Pm(x)是m次多项式.将y*代入方程,得设方程的特解为显然当q≠0时,Q(x)应为m次多休项式,故可忆设y*=Qm(x)＝A0＋A1x＋…＋Amxm,其中A0,A1,…坟,Am是待品定系撒数.当q=0且p≠0时,Q(x)应为m+1次多洽项式,故可头设y*=x·Qm(x)＝x(A0＋A1x+…＋Amxm),其中A0,A1,…建,Am为待盟定系袍数.当p=q=0时,Q(x)应为m+2次多治项式,故可刚设y*=x2Qm(x)＝x2(A0＋A1x+…＋Amxm),其中A0,A1,…复,Am为待贺定系吊数.例1求方泳程愉的一保个特慌解．由于帝右端f(x)=Pm(x)=x-2,q=3≠0,故可蔑设特孙解为y*=A0+A1x,解代入勿原方撕程得4A1+3(A0＋A1x)=x-2类型2,这里是常数,Pm(x)是m次多项式.显然飞，设盒方程食的特症解为其中Q(x)是x的多庭项式,将y*代入黑方程子并消荣去壳得(1)若不是的特征方程的根,那么与应同次,于是可令其中A0，A1，…，Am为待定系数’将Q(x)代入原方程,比较等式两端x的同次幂的系数确定m+1个待定系数,从而求得方程的一个特解

(2)若是特征方程的单根,那么,而.此时，应是m次多项式,再注意到此时，为常数)为的解,故可令从而求得方程的一个特解

(3)若是特征方程的重根,那么这时应是m次多项式，再注意到此时和为常数)均为的解.且故可设从而求得方程的一个特解

综上蛇所述,有如悉下结摆论：如果,则方程具有形如的特解，其中是与同次的特定多项式，而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者是特征方程的重根依次取0,1或2.(2强)求非庸齐次乖方程因的一威个特路解y*：因,故,而0不是特征方程的根,从而可设例2求微分方程的通解．有二重根故所求齐次方程通解为

(1)求微分方程的通解因为特征方程解(3)原方程的通解为从上列方程组解出故代入原方程并比较同次幂的系数可得类型3其中A1,A2为待定系数,且当±iw为特征方程的根时,取k=1;当±iw不是特征方程的根时,k=0．

类型4

其中a1,a2,a,w为实常数．

其中A1,A2为待定系数,且当a±iw为特征根时,取k=1;当a±iw不是特征根时,取k=0.

例3求方程的一个特解.的一个特解首先求方程因2i不是特征方程的根，所以可以设上列方程的特解为代入方程得从而故解即的实部即为原方程的一个特解,即为原方程的一个特解.是特征方程的根，代入原方程,比较两端同类项系数,得例4求方程的一个特解．解这个方程组得故求得一个特解y*为解第四额节杜微分备方程墨在经完济学搞中的梳应用一、记供厅需均厨衡的原价格瞒调整阵模型某商尤品的坝供给眯量S及需役求量D与该殊商品档的价汉格有受关.假设气供给嗽函数修与需叙求函歉数分奶别为S=a1+b1P,D=a-bP,其中a1,b1,a,b均为映常数,且b1＞0,b＞0;P为实疯际价供格.供需均衡的静态模型为静态模型的均衡价格为瓦尔拉（Ｗalras）假设：超额需求[D(P)-S(P)]为正时,未被满足的买方愿出高价,供不应求的卖方将提价,因而价格上涨;反之,价格下跌,因此,t时刻价格的变化率与超额需求D-S成正比,即

瓦尔拉假设下的动态模型为其中l=k(b+b1)＞0

方程靠的通旅解为P(t)=Pe+Ce-lt假设细初始命价格注为P(0扇)=P0,代入欲上式漫得,C=P0-Pe,于是夜动态比价格鹿调整寺模型据的解场为P(t)=Pe+(P0-Pe)·e-lt，由于