线性规划的对偶理论

第二章线性规划的对偶理论和灵敏度分析从经济意义上研究线性规划的对偶问题，通过对对偶问题的研究，从不同的角度对线性规划问题进行分析，从而利用有限的数据，得出更广泛的结果，间接地获得更多的有用信息，为企业经营决策提供更多的科学依据主要内容原规划与对偶规划的转换对偶定理影子价格的概念和经济学意义对偶单纯形法灵敏度分析的目的和主要内容问题的提出线性规划对偶问题线性规划有一个有趣的特性，就是对于任何一个求极大值的线性规划问题都存在一个与其对应的极小值线性规划问题，而且二者之间联系紧密，可以互相转化。对偶性

（教材P53-54例题）从例子中可以看出：（1）原规划问题为生产计划问题，而其对偶问题为赋予该生产计划可行性的潜在价值问题（2）原规划的目标函数是从资源拥有者的角度得出利润最大化，而其对偶规划的目标函数是从想获得该资源方的角度得出成本最小化

（3）两个问题共用一套参数，但组合方式不同原问题和对偶问题的关系原问题（P）对偶问题（D）决策变量xi第i种产品数量yi第i个约束条件目标函数约束条件对偶问题在解释资源的影子价格、扩大单纯形法计算方法以及对问题进行灵敏度分析等方面有很多应用。从表中可以看出对称形式的对偶关系具有如下的对应关系：目标函数最大最小；约束条件不大于不小于约束矩阵：一个为另一个的转置常数向量b和c互换目标变量皆为非负线性规划对偶问题对称形式对偶问题原问题和对偶问题的关系非对称形式的对偶问题

不具备对称形式的一对线性规划称为非对称形式的对偶问题转换方式为：4、若原规划中的某个变量没有非负限制，则在对偶问题中对应的那个约束为等式。1、将模型统一为规范形式，然后先按对称形式转换2、对等式约束按（3）或（4）处理3、若原规划中某个约束为等式，则在对偶规划中与此对应的变量取值没有非负约束教材P56例题线性规划对偶问题原问题和对偶问题的关系原问题与对偶问题的转换线性规划对偶问题原问题和对偶问题的关系原问题与对偶问题的转换线性规划对偶问题原问题和对偶问题的关系原问题与对偶问题的转换线性规划对偶问题对偶理论从本章的第一个例子可以看出原规划问题追求的是生产利润最大化，而其对偶规划考虑的是比生产更有利的可行性。线性规划对偶问题前者的目标函数值应当不大于后者的目标函数值，即定理3.1（弱对偶性）：若对偶规划（D）的可行解，则分别为原规划（P）和证明：从原规划的约束条件有从对偶规划的约束条件有对偶钻理论线性悄规划虹对偶被问题定理3.1（弱对偶性）：若对偶规划（D）的可行解，则分别为原规划（P）和推论1（最参优性颗）：分别为原规划（P）和对偶规划（D）的可行解设若分别为P和D的最优解则显而舌易见推论2（无捡界性团）：如原闲规划参（P）或蛙其对师偶规耽划（D）具引有无夫界解谢，则教对偶牧规划黑（D）或与原规息划（P）无琴可行各解。显而浴易见注意体：改以推论香不可减逆，铅教材P5逗8对偶鬼理论线性致规划谎对偶袜问题推论3：若规姿划（P）或弄（D）有输可行扔解，治则（P）或琴（D）有形最优雁解的寺充要条条件暴是规共划（D）或松（P）有拐可行沟解例试用对偶理论判断下面线性规划是否有最优解解：此规划存在可行解其对教偶规丝式划为显然无可行解所以…对偶窄理论线性我规划括对偶扰问题例用对蓄偶理寻论判闹断下设面线旋性规哥划是晒否存丽在最慕优解解此规划存在可行解其对偶规划为存在可行解因此原规划存在最优解对偶透理论线性惯规划抛对偶愿问题定理3.踏2（强璃对偶孙性，流或称呼对偶浴定理吼）：若原址规划庸（P）有鱼最优必解，葱则对毛偶规咸划（D）也毛有最至优解较，反问之亦记然。狸且二帽者最起优解础的目绑标函口数值之相等绢。（证呜明：怨教材P5至8-舰59）在线捐性规锁划问红题的靠最优乡丰解中主，如蚂果某耍一约忍束条宜件的态对偶挂变量拨值为业非零破，则篮该约雨束条棋件取沙严格屋等式狡；反凝之，排若如淹果约爸束条羞件取环严格趋不等探式，盲则其腊对偶逐变量螺一定沟为零烧。定理3.舱3（互漫补松晌弛性材）：线性机规划燃问题承的原惊问题宰和对辜偶问通题存闷在一婚对互坏补的窑基本销解，侄其中迟原问离题的络非基撒变量译（松廊弛变屠量）面对应滚对偶稼问题往的基资变量帜，而冒对偶乐问题尸的非飞基变胁量（论松弛限变量象）对暴应原踩问题亦的基品变量熄。定理3.秆4（互咸补基晴本解混）：对偶牢理论线性黄规划赞对偶壮问题线性挽规划城问题衔的原纵问题融和对金偶问撤题存霸在一讽对互担补的确基本颜解，防其中漏原问治题的陈非基握变量铺（松变弛变杆量）捧对应兴对偶晶问题器的基饥变量峡，而锅对偶丈问题谣的非每基变匹量（庸松弛道变量恨）对兆应原等问题依的基怕变量炼。定理3.红4（互装补基芒本解烛）：在单捞纯形导法迭王代的饺每一警步：如果原问题是可行解，而对偶问题非可行解，则如果对偶问题是可行解，而原问题非可行解，则如果键原问务题和萌对偶反问题毁同为南可行顾解，深则为融最优尊解影子周价格线性闸规划捧对偶抬问题考虑被如下咏的互煌为对烂偶的齿线性部规划设为（D）的最优解，则称为规划（P）的第i个约束对应的影子价格（ShadowPrice）

换句话说，为第第i种资源（例如设备台时）的一种估价

这个傻价格泼不是弃市场穴价格筐，而干是针懒对具忘体企谎业在凤一定夜时期要内存化在的纤一种咽特殊衡价格臭，它棒蕴含衬在追湿求最孟大利清润的乔生产起计划之之中婚。资秤源的散市场垂价格网随供恋求关抹系而冬变，葱而他葬的影增子价倒格则陕有赖浓于资部源的桂利用嘴情况童，随圾企业误生产旗任务蜻、产爆品结确构等感情况墓发生农变化悔而改汉变。影子宗价格线性疯规划歇对偶狗问题影子铲价格郑的经点济含壳义影子榴价格冠是对塑现有压资源狠实现从最大脚效益钩时的居一种堆估价虾，由递此可劫以决迷定是否杀将既最有资搞源出盐租或仔投资短购买抖新资谎源。从低这种朵意义超上说张，影俯子价抓格是识一种机会状成本冶。影子价格是一种边际价格，衡量资源变化对总效益的影响投资影子价格最高的资源可以让总效益最大。但要注意，影子价格不是一成不变的，当约束条件、产品利润发生变化时，有可能使影子价格发生变化。另外，资源增加有个度的问题，这在后面的灵敏度分析中会讲到。定理3.3（互补松弛性）表明当某种资源未得到充分利用时，即时，其影子价格为0。不为0，则说明该种资源已经耗费完毕：而当该资源的影子价格影子付价格线性蝇规划兆对偶缎问题影子耻价格暮的经佳济含沃义一般瓦而言亡，线姑性规仍划问抛题的区求解著是确凝定资楼源的驴最优艘分配著方案咱，而敏对于耻对偶季问题代的求娃解则澡是确煮定资刊源的炊恰当做估价习。例如浩，用伤于公德司内元部结动算等剩。单纯滴形法字中各检验毕数的蔑经济氧意义：某种产品的产值生产该产品的消耗资源的总和即隐劲含成掏本因此饮，当检案验数雷为正管时，月说明鼠生产水有利，可等以在挡计划跪中安汤排。影子蚁价格线性讨规划布对偶垫问题例：某外固贸公惧司准吃备购漏进两乓种产梳品A1拖,城A菠2。购云进产城品A1律,每件席需要10元，当占用5立方你米的显空间万，待临每件A1卖出姑后，胡可获换纯利回润3元；撤购进刘产品A2，每肉件需炕要15元，暴占用3立方木米的臣空间怎，待膛每件A2卖出聚后，适可获爸纯利窄润4元。否公司动现有勾资金14金00元，剖有43镜0立方广米的刷仓库戴空间器存放逮产品楼，根咽据这蒸些条伞件，睛可以赤建立优求最笛大的辨线性铸规划辈模型广：资源1资源2影子协价格线性沙规划泛对偶良问题求解步后的跳如下耍的最妖优单搬纯形胁表：cBxBb3400x1x2x3x44x260011/9-2/93x15010-1/151/3cj-zj00-11/45-1/9由表迎中可挑知最阅优方酷案是尼分别绿购进A1和A2产品50和60件，燥最大升利润抬为39芹0元。假设婆公司易现有粉闲余铺资金58忍5元，缸准备特用于趟投资毅，增吨加每恼立方厦米仓细库需0.我8元。滩问这炎笔资哨金是栏用来德投资林仓库们好呢划还是泥购买继产品给好？影子谢价格线性砖规划蓝对偶级问题cBxBb3400x1x2x3x44x260011/9-2/93x15010-1/151/3cj-zj00-11/45-1/9假设么公司居现有灵闲余绪资金58覆5元，币准备股用于看投资枪，增津加每杨立方抖米仓的库需0.全8元。桥问这播笔资谅金是泄用来铺投资丙仓库歪好呢舰还是馒购买稼产品报好？分析愧：从表顺中个自可以科看出信，对抢应产拣品和狸仓库杆的影谱子价台格分高别为11碍/4罚5和1/胖9元。每投混资1元用庆于仓迫库的陶边际翻效益伙为：1/恒9/塞0.缸8=就0.阅14元每投券资1元用梨于产修品的菌边际巧效益麻为11坟/4靠5=谋0.萝24元应该考虑购买产品将585元投资购买产品后，最大利润增加为：585*11/45=143元可以通过新模型求解验证，最优解为对偶豪单纯绑形法线性吸规划戴对偶胜问题基本仰思路从原献规划曲的一愿个基柏本解丝式出发呜（未给必为售可行损解）抵，其花对应耗一个对偶偿可行此解（检验梢数非吧正）。检验愤原规杨划的搏基本闯解是舍否可混行（边即是容否有玻负分档量）炭，如口果有类小于0的分掌量，饶则进雾行迭惕代，羊求另塌一个惜基本耐解，刷此基底本解树对应刊着另箭一个慰对偶眉可行彻解（检验身数非竞正）。如果宿得到节的基些本解纪的分份量皆幼非负界，则超该解推为最喂优解江。也就扯是说茄，对蛮偶单损纯形碎法在壁迭代队过程哈中始终沟保持鞋对偶润解的汇可行摩性（李即检敞验数邻非正柜），使原铃规划翠的基绝本解滚逐步突变为姐可行是，并案得到金最优棍解。对偶淹单纯剃形法线性规规划薄对偶销问题主要是步骤建立门初始侄单纯闪形表。炎根据诱典式并形式普建立陆初始斤对偶槽单纯似形表膏，此谈表对剖应原父规划浆一个率基本球解。符要求痛：检腐验数遭行个恨元素没皆非虎正，联但原杯规划歪基本泻解可凯以有满小于也零的池分量残。确定出基变量。若基本解的所有分量皆非负，则得到原规划的最优解。若基本解中有小于零的分量，且所在行所有系数，则原规划无可行解。若，且存在，则确定最小的对应变量为出基变量。

(3)确定进基变量。计算确定为进基变量

(4)迭代更新单纯形表。以为中心元素，参照单纯形法对表进行迭代计算。(5域)通过僵循环而迭代蜜找出婶最优采解。对偶策单纯神形法线性佛规划淋对偶愁问题例：用对至偶单蹄纯形骂法求小解下马面的美线性筹规划（s.涨t.）对偶梢单纯央形法线性遇规划熊对偶叫问题解：(1)引入松弛变量 化为标准形,并在约束等式两侧同乘-1，得到 为基变量，此式即为典式形式，并且检验数皆非正，因此可构造初始对偶单纯形表。初始表中基本解的三个分量小于零，不是可行解，需进行迭代求解新的基本解。对偶民单纯若形法线性弱规划贪对偶舱问题基本解分量<0，非可行最小x4为出基变量计算（与单纯性表格计算反过来）确定x2为进基变量因此道，以a2懒2=肠-3为中违心元傻素，漆更新虏表格耽，并钥继续轻迭代对偶战单纯往形法线性关规划泡对偶何问题仍然有负数，非可行最小x3为出基变量计算确定x1为进基变量因此束，以a1餐1=齐-3百/5为中倍心元好素，由更新拉表格在，并牢继续暗迭代对偶奏单纯申形法线性至规划静对偶赵问题用对控偶单脑纯形俊法求企解此旧问题钥，只兼经过旷两次歌迭代姓便得猪到了才最优为解。家如果仗仍采慰用单少纯形练法求统解的兔话，蚊在化孕成标辛准形法式后衫，为咬得到掀初始远基本茂解，艘需要胶加3个人弊工变监量。慈这样竭，为破了得益到问逆题的胀最优映解，拣至少本需要3次迭斑代，酬才能锡让人吐工变肝量出案基，澡显然匙，计起算量购大大扣增加钞。对偶蹦单纯棍形法线性域规划肥对偶垂问题对于嘱有些解线性止规划虫问题鹿，如薪果在爬开始莫时不担能很木快让羡所有寻检验狮数非俊正，最好饲还是恶使用甲单纯利形法孤求解，免冶去使盗所有啊检验悦数非撤负所何做的掉工作陈。对偶计单纯蒸形法辫使用钻于如饥下形德式的雹模型在引沾入松全弛变遥量并裂华为向标准号形式构后，增约束托等式闭两边盾同乘解以-1，能桂够立赵即得扶到检争验数野全部郊非正华的原本规划顶基本递解，静可以油直接舱剪力子初始桂对偶床单纯猴形表粱求解学，非趋常方血便。灵敏宏度分渐析线性宰规划顽对偶电问题在前面的线性规划问题中都认为线性规划模型中的各个系数是确定的常数。

但实席际中才由于间种种恋原因储，这粪些系梯数很党难确逆定，灿一般蹄只是箩估值棵。对问贯题求政解后港需要律最这姐些估熟值进糊行一姥些分档析以貌决定是否碗需要萝调整。另外垒，周直围环政境的哥变化滩也会惯使系尝数发喊生变群化，唐影响思最优江解。因此，还需要研究最优解对数据变化的反应程度，以使决策者全面地考虑问题，以适应各种偶然变化灵敏棒度分否析线性暮规划征对偶披问题（1）变疗量变钩化对勇最优屿解的衬影响灵敏拌度分缎析研级究的丽内容：（2）增钢加变指量或手约束牛对最卡优解针的影来响灵敏便度分旁析采踏用的考方法：不必艰重新怨求解语，而帐是从胖已经厚得到河的最化优解蓄出发半，通斜过对纤变化宪数据变进行刑一些百简单盏的计贸算，饮便可纲迅速推得到叨所需呈要的那结果雹，以资及变莫化后摔的最歉优解沟。灵敏弱度分贺析的因步骤：（教雹材P6昆7）灵敏鹅度分焰析线性苗规划记对偶湾问题由前坏面的忌讲述弄我们团知道敬，对惕于线宝性规麦划模辈型s.飘t.有代入如果基本舱解的霞矩阵逃表示时的基解灵敏炉度分扮析线性宫规划季对偶宫问题检验塔数的懒向量堆表示由前表知检羡验数已可以装用如战下的猴形式别表示闲出来丹：其中B为可行基，分别为基变量和非基变量的目标函数系数向量和展开灵敏饿度分惨析线性皆规划怖对偶扶问题检验疾数的光向量件表示因此得到检验数的向量表示为若令检验数的另一表达方式灵敏种度分爆析线性缩慧规划容对偶溉问题目标白函数政系数刷（cj）的裙变化假设素只有况一个cj发生凡变化桨，分咱两种妙情况趋：研究娘最优甚解受护数据车变化自的影悉响情饭况主鬼要考甩虑两货个方敏面:一是吃解的榨最优挑性，残即检验己数是脖否仍估然非绑正;一是解的哪可行索性，即的基本赠解的唱各个偷分量忆是否励非负已。下冲面的景讨论债将围鲁绕这派两个恩方面未展开蒸。（1）ck是非碰基变睁量只需考虑其对应的的变化是否会引起最优解的改变只要满足则最优解不变；否则，最优解将发生变化，需继续迭代求出最优解。灵敏刃度分纠析线性杰规划气对偶钩问题目标言函数朋系数傅（cj）的志变化（1）ck是非瓦基变桨量（2）ck是基躁变量当基变量的系数发生变化时，检验数计算式的第二项发生了变化，从而所有的检验数将发生变化。对某一非基变量对应的已有的检验数，有原对应列灵敏干度分沉析线性惊规划凝对偶已问题目标川函数钓系数食（cj）的想变化（1）ck是非年基变下量（2）ck是基朋变量满足所有的可保证最优解不变，否则需要重新迭代寻求最优解。（例再子：鼠教材P6险7-早68）灵敏储度分惜析线性夏规划凳对偶巩问题目标乎函数男系数帝（cj）的催变化右端葡常数姿（bi）的饿变化bi的变忙化不猾会引电起检另验数鹿的变饼化，僚但将槐影响梦解的帐可行铃性若则最优基保持不变，只需将变化后的b1代入计算即可得到最优解；若出现负值则最优解将发生变化，需要继续迭代。（例绵子：财教材P6骡9）增加舱新的候变量对某一新增变量对应的约束系数列，由 有如果满足所有的则最优解不变增加剪一个派约束轮条件看教刻材其实觉，还食有约脂束系锤数变倦动的读情形本章勤小结线性胁规划县对偶纪问题线性纱规划劳问题涂的特擦性就莫是对走于任窝何一蚊个求饮极大袖值的传线性躺规划丑问题治都有网一个寨与之宾对应柄的求朋最小搂值的昂线性去规划抖问题逃，这两个却问题川互为时对偶川，存屿在密护切关姥系。线喉性规豆划的坝对偶妥性在室经济做学的诱角度头看可碎以认告为是拥一个猜问题追的两物个方趟面，即优证化生及产组粘织和袭提高完资源晕利用动率。本章斩首先兵引人修了线耽性规栗划的萄对偶浴问题匙，分谊析了防线性蕉规划偏问题击及对性偶问五题的初特征拣及在腔形式克上相扁互转拉换的良规则健，并份介绍大了对游偶定薯理，疤揭示统了线纽奉性规兄划与告其对茄偶问涛题的画深刻充的内蹄在联嫩系。狡然后绩阐述影子良价格挖概念，指仆出影凳子价鸦格就妇是线末性规也划问午题的眠对偶均问题誉要解焰决的竟资源界的潜卧在价伶值的姓反映拍。影论子价傻格可嚷用于管知道仇生产贩过程猛中是伏否投循资或吼转移棒某种殿资源确的决尿策。对偶椒单纯智形法柳是把查单纯堂形法莲思想促和对竹偶思菠想结小合的虫方法春，其馋求解脾步骤凳与单敲纯形衰法有鸽一定参的对漫应关饺系，重对偶至单纯袜形法沟有明洞确的少适用佣范围姑，是馆单纯新形法导的重铃要补溪充。由于粱在现父实中背线性被规划参模型