第一章 数值计算方法课程介绍

数值分析主讲：刘敬刚Tel:7/2/20231

数值分析(计算方法)课程介绍考虑如下线性方程组

或者：其中,由克莱姆法则可知(1)有唯一的解，而且解为：(1)引例

7/2/20232若行列式用按行（列）展开的方法计算，用克莱姆法则求解（1）需做乘除法的次数:

当方程组阶数较高时，计算量很大，因此克莱姆法则通常仅有理论上的价值，计算线性方程组的解还要考虑:

数值分析(计算方法)课程介绍引例首先看一个简单的例子：（若是更高阶的方程组呢？）人类的计算能力是计算工具和计算方法效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中，成为继实验和理论研究之后的第三种研究方法。数值解法=算法+计算机。7/2/20233研究对象和主要内容

数值分析(计算方法)课程介绍7/2/20234数值计算方法，是一种研究如何求解数学问题数值近似解的方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。包括直接方法和迭代方法!数值计算方法的计算对象是线性代数，微积分，常微分方程中的数学问题。内容包括：求解线性方程组的数值方法;计算矩阵特征值和特征向量的数值方法;非线性方程和非线性方程组的迭代解法;插值与拟合;数值微积分;常微分方程数值解等问题。

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数值分析(计算方法)课程介绍特点7/2/20236学好本门课程需要做到：认清算法的计算对象；掌握基本的计算方法及其原理；编制程序，在计算机上对算法进行验证；对于算法要多思考多比较！

数值分析(计算方法)课程介绍数值计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性等技术特征，它是一门理论性和实践性都很强的课程。在20世纪70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算方法课程几乎已成为所有理工科大学生的一门必修课程。7/2/20237参考书目：1谷根代等，数值分析与应用，科学出版社，20112钟尔杰.数值分析.高等教育出版社,2004.3颜庆津.数值分析.修订版.北京航空航天大学出版社,2000.4李庆扬.数值分析.清华大学出版社,2001.5白峰杉.数值计算引论.高等教育出版社,2004.6王能超.计算方法.北京:高等教育出版社,2005.7/2/20238第一章绪论1、算法设计技术2、误差3、数值计算中需要注意的一些问题4、算法的稳定性5、病态问题内容:7/2/20239§已1.1算法豪设计雁技术古希陷腊哲暗学家Ze圣no雨(芝引诺)在两愁千多请年前养提出将过一渗个骇临人听牌闻的每命题逝：一峰个人蓬不管怕跑得耻多快犬，也岂追不以上爬馆在他俗前面墨的一策只乌熄龟。屠这就勺是著质名的Ze妹no悖论穿。Ze涂no在论扩证这毒个命鼓题时资采取撤了如吩下形宋式的翠逻辑杀推理火：设菌人与猪龟同畅时同弄向起算跑，堡如果箭龟不游动，阳那么弓人经派过某纠段时攀间便戏能追幼上它泳；但泉实际尖上在麦这段立时间超内龟袍又爬盟了一秆段路木程，梨从而绘人又滔得重使新追费赶，妇如下足图所薯示，罩这样根每追垮赶一森次所追归结领的是某同样秒类型街的追淘赶问坚题，惨因而巾这种括追赶涂过程美“永举远”梁不会岁终结商。引例6/歌26方/2抹02炮310耐人等寻味繁的是惊，尽叼管Ze嚷no悖论雅的论利断极顿其荒猪谬，沫但从音算法其设计猪思想织的角鉴度来统看它院却是削极为派精辟再的。Ze绒no悖论粥将人雾龟追得赶问柄题表淡达为冒一连碌串追钻赶步版的逐罪步逼智近过颜程。而设人射与龟庸的速承度分侧别为V与v，记Sk表示生逼近蹄过程显的第k步人谅与龟帐的间劫距，灰另以tk表示野相应弱的时废间，余相邻灯两步及的时潮间差△tk。Ze董no悖论回将人钥龟追今赶问遭题分初解为裤一追香一赶堤两个梦过程世：追的伐过程棒：先令移龟不通动，挡计算回人追龙上龟茧所费晶的时阀间赶的浑过程沃：再令猴人不性动，臣计算辫龟在沟这段量时间改内爬险行的造路程tkSk-1SkVvtk-1vV图示:人龟追赶过程6/扫26切/2差02笑311若以拌人和拥龟之焦间的铅距离扬定迈义问葛题的规模大小昼，则箱上述哲过程得将问能题规复模压洞缩了楚倍：由于等龟的削速度揪远远活小于血人的粪速度闷，故切很慨小，队因此仿按上泰述步认骤很大快问讯题的窄规模虽就后可以得忽略伤不计洋，从汽而得容到人秧追上堂龟所挎花时直间垮，绕Ze焰no宁的解曾释可博用如额下过禁程表木示：——阴Ze嫩no选算法可见唯，Ze泽no算法梁的设晕计思牢想是趟，将扒人龟忌追赶源计算糕化归富为简百单的滩行程冤计算茅的重销复，碑它的尿设计涛方法注是逐葬步压打缩计站算模冶型的眯规模茫，这摊种“箭化大约为小洞”的拉设计烧策略熟称为规模垫缩减抖技术，简徐称缩减相技术。算法良的设嗓计精趁髓：“简律单”申的重舍复生戏成复泥杂！6/驴26早/2捷02勾312则计鉴算结计果即勇为所达求的离和值毕：（3）数列网求和辞问题件：（1）1束直瓶接法影的缩析减技婆术若用bk表示帽前k项的带部分萄和，如则有（2）6/则26诱/2够02央313这样斩，如胁果定尿义和亭式的时项数澡为数亏列求珠和问奔题的规模，则桶所求币和值让为（1）的退芦化情勒形。敲因之黎，只民要令肉和式桃的规诱模逐以次减1，最罚终当厚规模顽为1时即腹可直伪接得压出所莲求的熄和值缎，而球这样秘设计组出来黎的算皇法就尝是累亦加求考和算帽法（2）。可见壁，上酱述累宇加求粥和算体法的骑设计仿思想拨是将帖多项充求和穗（1）化辛归为法两项福求和薪（2）的病重复组，最句终加搏工成高一项星和式柔（3）（政(1尘)的灰退化煌情形跪）,纷从而蓬得出映和值惑。6/总26沿/2犯02蹲314考虑利用竖缩减牧技术惯可得牛如下吴算法秒：算法培流程壮图6/锤26仓/2断02陈3152尤迭舟代法宁的校植正技讽术易得硬人追画上龟岩所花闹的时乖间是有些摆问题罩的“恒大事扎化小睁”过招程似厦乎无胃法了帮结。Ze北no悖论宏强调鬼人“壤永远妻”赶出不上酒龟正别是为规了突涨出这东层含莫义。掘这是浊一类嚼无限闹逼近湖的过愈程，挣适于资用所抛谓预报膊校正菊技术来处感理。设人龟起初相距，两者的速度分别为和，则有秤方程（1）6/变26废/2抽02恭316注意永到v是个俩小量队，设看△t也是企个小鸣量，则可孕从上蔽式中丽略去v△t，即决令校营正量棵△t满足河如下坐方程誉(近似)设解t*有妙某个预报勾值t0，希阅望提缝供校网正量丽△t，使校正友值t1=t0+△t能更缠好的勤满足矿所给确方程端（1），恩即使轰得求解挂上述已方程师即可种定出匆校正谦值6/掠26初/2胁02槐317进一盲步视t1为新眉的预窑报值呜，重傲复实坚施上遮述手付续，粮求出款新的兄校正贡值t2，再浙由t2定t3，如絮此反撤复可覆生成山一系奶列近陆似值t1,t2,t3,…里这就凤规定丘了一越个迭屋代过塔程，(2誓)Ze厅no悖论休所描寨述的坏逼近猾过程多正是元这种浑迭代塌过程真，当k→∞同时，tk→t*脱。大杨家知严道，晕任何幕形式凝的重稼复都蛇可看欣成是闪“时扣间”伤的量守度。Ze辱no在刻夸画人竿龟追白赶问壳题中暑设置加了两狡个“侦时钟尸”：摘一个盾是日驴常的膝钟，经另外Ze末no又将窜迭代抽次数冬视为秆另一肚种时呈钟，鸽不妨犹称之乎为Ze炕no钟。Ze稼no公式枪（2）表迫明，局当Ze士no钟趋破于∞冠时人朽才能凡追上列龟，Ze桂no正是六据此连断言炸人永宗远追以不上板龟。6/璃26就/2炎02敬318给定屿，颂求开故方值乘的问携题就雪是要龟求解故方程设给德定某姐个预重报值滩，蚂希望男借助傍于某妈种简尾单方颠法确雀定校狮正量寻，使止校正秘值能够紧比较伴准确络地满嫂足方染程（1），似即使扑成立挖，设校夹正量净是次个小芳量，详舍去煎上式脏中的足高阶减小量茄，单令表，隐从中位定出边，追继而就可得绒校正染值：（1问）利用衰校正习技术辛，设板计求慎解抄（革）的炕算法链。近似6/提26如/2慕02俘319反复今实施谊这种缘瑞预报谢校正拢手续涂，即繁可导介出开方代公式：从某蝇个初锣值位出狱发，托利用浅上式计反复纸迭代或，即吃可获父得满责足精执度要名求的兵开方浅值称。校正骄技术亲的基避本思将想：删繁固就简，逐步声求精！6/翠26榆/2颤02木320其中捕，3麻算笔法优棉化的扇松弛巾技术对于给定的预报值

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