求不定积分的几种基本方法

关于求不定积分的几种基本方法第1页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三

一般地，如果是的一个原函数，则而如果又是另一个变量的函数且可微，那么根据复合函数的微分法，有由此得第2页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三

是具有原函数于是有如下定理：定理1

设可导，则有换元公式（5-2）由此可见，一般地，如果积分不能直接利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式能表示为的形式，且较易计算，那么可令第3页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三代入后有这样就得到了的原函数.这种积分称为第一类换元法.由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分因子因此第一类换元法也称为凑微分法.例2

求解

第4页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三

再以代入，即得例3

求解

被积函数可看成与构成的复合函数，虽没有这个因子，但我们可以凑出这个因子：，

如果令便有第5页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三

，

一般地，对于积分总可以作变量代换，把它化为第6页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三，

例4

求解令则第7页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三

，

例5

求解

令,则,有凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤．第8页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三例7

求

例6

求解

解

第9页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三解

例8

求第10页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三例9

求解

类似地可得第11页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三例10

求解

第12页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三例11

求解

类似地可得第13页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三类似地可得例12

求解

例13

求解

第14页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)第15页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三二、

第二类换元法

第一类换元法是通过变量代换，将积分化为积分．第二类换元法是通过变量代换，将积分化为积分在求出后一个积分后,再以反函数代回去,这样换元积分公式可表示为:上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边的不定积分要存在，即被积函数的第16页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三有原函数；其次,的反函数要存在.我们有下面的定理．定理2

设函数连续,单调、可导，并且，则有换元公式(5-3)下面举例说明公式(5-3)的应用．第17页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三例14

求解遇到根式中是一次多项式时，可先通过适当的换元将被积函数有理化，然后再积分．令,则，故第18页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三例15

求解令，则,则有例16

求解为使被积函数有理化．利用三角公式令则它是的单调可导函数，具有反函数,且第19页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三因而例17

求解令则于是第20页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三其中例18

求解

被积函数的定义域为,令，这时故第21页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三其中,当时,可令类似地可得到相同形式的结果．以上三例中所作的变换均利用了三角恒等式，称之为三角代换，可将将被积函数中的无理因式化为三角函数的有理因式．一般地，若被积函数中含有时，可作代换或；含有时，可作代换；含有时，可作代换第22页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换即等．例19

求解

令,则因此当时，,有第23页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三当时，有综合起来，得在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中常数a＞0).第24页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)第25页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三(21)例20

求解

利用公式(18)，可得第26页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三例21

求解

利用公式(21)，可得第27页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三三分部积分法

.上一页目录下一页退出一、分部积分公式的推导思考：诸如此类的不定积分，用换元积分法都不能求解．特点：被积函数是两种不同类型的函数的乘积.需要用到求不定积分的另一种基本方法――分部积分法．设函数及具有连续导数．那么，移项，得第28页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三对这个等式两边求不定积分，得（5-4）公式（5-4）称为分部积分公式.如果积分不易求,而积分比较容易时,分部积分公式就可用了.为简便起见,也可把公式（5-4）写成下面的形式:（5-5）现在通过例子说明如何运用这个重要公式.第29页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三例22

求解由于被积函数是两个函数的乘积,选其中一那么另一个即为如果选择则个为得如果选择则得第30页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三上式右端的积分比原积分更不容易求出．由此可见，如果和选取不当，就求不出结果．所以应用分部积分法时，恰当选取和是关键，一般以比易求出为原则．例23

求解

第31页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三例24

求解

由上面的三个例子知道，如果被积函数是指数为正整数的幂函数和三角函数或指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并选择幂函数为经过一次积分，就可以使幂函数的次数降低一次．例25

求解

第32页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三例26

求解

第33页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三例27

求解

总结上面四个例子可以知道,如果被积函数是幂函数和反三角函数或对数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并选择反三角函数或对数函数为一般地,如果被积函数是两类基本初等函数的乘积,在多数情况下,可按下列顺序:反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数，将排在前面的