离散数学第五章

2023/7/11

在了解了代数系统一般概念的基础上，着重介绍几种典型的代数系统：半群、独异点和群，格和布尔代数。讨论这些代数系统中的特殊元素以及这些代数系统具有的性质。主要内容如下：

5.1半群和独异点；

5.2群的定义；

5.3群的性质；

5.4子群及其判别；第五章群2023/7/125.1半群和独异点一、半群

定义5-1

设S是一个非空集合，*是S上的一个二元运算，如果*是可结合的,则称代数系统<S;*>

是半群。

例1

代数系统<N；+>和<N；·>、<I；+>和<I；·>、

<R；+>和<R；·>都是半群，但<I;->和<R-{0};/>不是半群。例2

代数系统<2U；>和<2U；>都半群，

2023/7/13例3

设S={|是集合A上的关系}，对于关系的复合运算可构成代数系统<S;

>，<S;>是半群。

若F={f|f:AA}，则对于函数的复合运算，代数系统<F;>也是半群。对任意a∈S，定义a1=a

an+1=an*a(n=1,2,……)并且对于任意正整数m

和n

，有

dm*dn=dm+n(dm)n=dmn(*)2023/7/14

二、独异点定义5-2

若半群<S;*>中运算*有单位元，则称<S;*>

为独异点。例4

<N;·>;<Z;+>,<Z;·>;<I;+>和<I;·>;<R;+>

和<R;·>;<2U;>和<2U;>。例3中的<S;°>

和<F;°>

在独异点<S,>中，对任意aS,有a0=ean+1=an*a(n=1,2,……)(*)式中的两个等式在独异点中亦成立。2023/7/15定义5-3：如果独异点<S;*>中的运算*是可交换的，则称此独异点为可交换的独异点。定义5-4：在独异点<S;*>中，如果存在一个元素gS，使得每一个元素aS都能写成gi(iZ）的形式，则称独异点<S;*>为循环独异点，元素g称为该循环独异点的生成元。定理5-1：每一个循环独异点都是可交换的。证明：设是一具有生成元g的循环独异点，则对任意的a,bS,

存在i,j

Z，使a＝gi,b＝gj

因此a*b=gi*gj=gi+j=gj+i=gj*gi=b*a2023/7/16三、子半群和子独异点定义5-5

设<S;*>是一个半群，若<T;*>是<S;*>的子代数，则称<T;*>是<S;*>的子半群。例6

对于半群<N;+>，N的子集N2={2n|nN},N3={3n|nN},N4={4n|nN},…

都是<N;+>的子半群。

例7

对于半群<S;*>的任一元素aS,令集合

T={a,a2,a3,…}<T;*>是<S;*>的子半群。2023/7/17

定义5-6设<S;*>是一独异点，若<T;*

>是<S;*>的子代数，且单位元eT，则称<T;*>是<S;*>的子独异点。

例8

对于独异点<Z;+>,子集N2,N3,N4,…,它们均不能构成<Z;+>的子独异点，

令Z2={2n|nZ},Z3={3n|nZ},Z4={4n|nZ}则<Z2;+>,<Z3;+>,<Z4;+>都是<Z;+>的子独异点。2023/7/18定理5-2：设h是从代数系统V1＝<S;*>到V2＝<S;>的满同态，其中运算*和都是二元运算，则（1）若V1是半群，则V2也是半群；（2）若V1是独异点，则V2也是独异点。2023/7/19四、有限独异点的幂等元设<S;*>是生成元为g的有限循环独异点，考虑无限序列：

e，g，g2，g3，....，gn-1，gn，gn+1，......(1)序列中的每一项都是S的元素（因为gS是生成元）(2)S中的每一个元素都在序列中(3)由于S有限，因此，该序列中只有有限个元素是不同的，而其他无穷个元素是相同的。设n是一个使gn＝gm（m<n）的最小正整数。令l=n-m，对任意的i>m，有gi=gi+hl（hZ）20御23筋/6摆/2追610定理5-嫌2：设<S惧;*>是一诊个有移限独扭异点胞，则嗓对每锻一个aS，存吵在一氏个整惯数j≥1，使扭得aj是幂降等元杆。证明途：对日任意区的a∈脾S，令Sa＝{仆a0,a1,a2,.纲..露,an,.良..灯}因为S有限谊，而SaS，所墨以Sa也有袜限。可以添验证<S诊;拍*睡>是一刃具有蛾生成临元a的有举限循督环独雄异点秃。因此虫，至旬少有离一幂揭等元akl，这友里的k和l如前歌定义霸。记j＝kl，即aj是幂币等元智。注：曾这里j≥1，有攻可能aj=e20责23涝/6晋/2板611练习1．判惹断下摊述论过断正倍确与掌否，美在相象应的由括号雪中键迈入“Y”或“N”，(1领)在实最数集R上定级义二紫元运汤算*为：杀对于闸任意截的a,灰bRa*b=巩a+思b+车ab(a育)爆<圣R;*>是一峡个代定数系臂统；段（腐）(b喊)彻<渡R;*>是一捆个半指群；域（怎）（c）<R赤;*>是一刻个独裕异点买。垮（租）(2毅)在实宽数集R上定恩义二逗元运被算为氏，对桐任意a,躺bR,ab=|a译|·新b(其中·表示案通常圾数的外乘法嚼运算)(a稿)脉<R睬;>是一逆个代另数系砌统；啦（响）(b飞)蹈<R众;>是一漂个半缴群；骡（粮）(c淡)策<R锄;>是一净个独值异点逆。健（杜）YYYYYN20纺23却/6说/2杜6125.裁2群的拘定义一、正群的林定义定义5-惯7设<G篇;*>是一婶个代挽数系堵统，拳如果怀运算*是可丹结合的,存在持单位箱元e,且G中任贫何元蹄素a都有茫逆元a-1,则称<G妹;*>是一昆个群赛。(1绝)对于痰任意嚷的a,圣b,框cG，有a*(b*c)悼=驾(a*b)*c；(2下)存在旦一元撕素eG,使得讲对于古任意杏的aG,有e*a=歪a*e=尤a；(3也)对任鞭意aG,相应混存在绒一元蹈素a-1G,使得a-1*a=多a*a-1=e例1德<N迁;涂+>疯<贡Z;需+始>冶<拼I;初·柄>和<R年;旺·>骨<江I;光+宏>、<R忙;垒+>和<R誓-{酸0}临;料·>20秀23嫁/6条/2会613例2设有Z4={底0,毛1,贱2,膨3}星,模4的加柱法运妇算定公义为a4b=也re四s4(a朋+b地)为。括构成榴代数荐系统<竿Z4;4>。401230012311230223013301220鉴23腿/6环/2候614对于界任意孤的a,俗b,芝c∈熔N4，令a+柏b=督4m1+r义es4(a仍+b伪),拒b求+c宪=4飞m2+r浮es4(b问+c俱)a4(b4c)数=扩a4re音s4(b材+c杆)=r琴es4(a惰+r慈es4(b鼻+c艘))=敲re疏s4((强4m1+r饼es4(a间+b摘))赶+c拢)=销re讨s4((浑a+吨b)矛+c徒)于是(a4b)4c=刷r乒es4(a在+b计)4c=雾re违s4(r让es4(a喜+b凡)+尊c)=骨re沿s4(a扭+(串4m2+r伞es4(b坡+c宅))议)兵=洲re迈s4(a酒+(汁b+床c)驴)=绑re走s4((省a+追b)爬+c浓)因此(a4b)4c=煎a4(b4c)，即4满足时结合拥律。0是单亭位元方，0的逆寻元是0，1和3互为肤逆元日，2的逆基元是2。<Z4;4>是一轧个群迎。20门23慰/6昆/2雾615定义5-匆8如果蜜群<G宪;*>的运站算*是可班交换笑的，呈则称忌该群为交惨换群跳或阿袜贝尔共群。20阳23某/6冶/2旗616二、衰循环滋群1．群壁中元义素的板幂对于波任意aG,庸a0=e林,葬an+1=an*a叼(弃n螺=羞0,葛1,没2,专…作)(a-1)0=e躲,爹(a-1)n+1=(据a-1)n*a-1(册n愉=介0,查1,挽2,选…驳)（*）引进律记号a-n=(闲a-1)n=a-1*a-1*…*a-1(勉n个a-1)因此(*)式可表示为(a-1)0=e,a-n-1=a-n*a-1(n=0,1,2…)对于任意整数m和n，下面二式仍然成立。20惊23罢/6化/2学617例如因为20找23志/6这/2摊618又例堆如因为20斗23后/6容/2坛6192．循辩环群定义5-瓣9在群<G猜;*>中,如果谷存在浆一元蛙素gG,使得供每一元素aG都能漫表示兼成gi(惠iI)的形隐式,则称经群<G虽;*>为循环硬群，称g为该捞循环微群的生成岸元,并称群<G驴;*>由g生成从。例3群<I滥;+扯>是循惑环群苗，1是生龟成元姿，10=0，对悲任意鸭正整待数n，n=1计+1润+…励+1，按总照群寒中元葵素的椅幂的柴表示米方法n=1n.对任意负整数,按照群中逆元的表示方法20毅23桃/6词/2衫620例4例2中的螺群<Z4;4>是循特环群龙，因为10=0，11=1，12=141=慎re奋s4(2碰)=冷2,13=1241=灭241=触re通s4(3祖)=沈3所以1是其恶生成序元。又30=0，31=3，32=343=老re兴s4(6齐)=排2,33=3243=绳243=尼re坐s4(5晴)=留1所以3也是毒其生牧成元压。20小23润/6组/2趋621例5设G=化{馅a,挑b,感c,擦e}诱,*是G上的马二元虚运算返，*eabceabcaecbbceacbaeeabca*a=缘瑞b*b=行c*c=沃e*e=楼e,a*b=执b*a=啊c,b*c=症c*b=帽a，a*c=熟c*a=费b<G氧;*>是一谊阿贝恐尔群直，但授它不捐是循般环群王，一规般称醉这个宇群为Kl贸ei曲n四元盆群。20际23疮/6燥/2呼622三、终群的畜阶和觉元素印的周外期定义5-恢10设<G坐;*>是一嫌个群,如果G是有渠限集,则称<G怖;*>是有员限群,G中元寨素的烧个数甩称为抵群<G锣;*>的阶;若G是无州限集,则称<G纹;*>是无晌限群爆。定义5-赤11设<G怒;*>是一狱个群落，aG，若讲存在正整营数r,使得ar=e，则缝称元抵素a具有生有限余周期宋。使ar=e成立辽的最软小的亏正整承数r称为a的周期。如输果对于任狭何正宾整数r，均乒有ar≠e，则厘称a的周叶期为无限虾。注意:阶数织大于1的群愤一定湾没有钉零元.蚊(?彩)20虾23罚/6哄/2撞623例6在群<R泽-{色0}耻;·>中，注单位欣元1的周存期为1。（-1）2=（-1）4=（-1）6=…=1，例7在例2所给理出的远群<Z4;4>中，槽（参舌见例4）14=奏1341=籍341瓦=饿re奸s4(4忠)=傍0并,21=狼2，22=242尾=游re脉s4(4史)=晶0乖,34=晕3343庸=惕143作=黎re坡s4(4浇)脂=路0聚,20把23形/6乞/2约624定理5-衣5设<G训;*>是一泥由元僵素g生成完的循镰环群枝，则（1）若g的周尝期为n,则<G科;*>是一欺个阶击为n的有限与循环冰群；（2）若g的周滨期为犯无限励，则<G箱;*>是一蚊个无限件阶的混循环熟群。例如延循粪环群<I梯;+锅>的生裁成元1和–1，其贤周期象均为骆无限贫，群<I弊;+堤>是一个揉无限就阶的鄙循环挥群。循环燥群<Z4;4>的生甲成元有是1和3。14=1341=犯341=产re巡寿s4(4灰)=树034=3343=锄143=钳re宋s4(4君)=膛01和3的周护期均字为4，循拔环群<Z4;4>的阶刷也为4。20正23嘴/6在/2迎625练习1．设教有集螺合A=羞{a贤,b凶,c策,d逗},是函股数的葱复合移运算呜，判参断下吸述各论断楚是否乡丰正确层，在甲相应海的括嫂号中鸽键入驼“Y”或“N”（1）令FA={f|f:AA},则<FA;>是一俘个群味。(棕)（2）令EA=蔑{f|f:AA是双观射},则<EA;>是一巧个群胞。(蜡)（3）EA定义肢同上雪，<EA;>是一恳个交瓦换群询。(荷)（4）EA定义脑同上沈，<EA;>是一慕个循港环群贱。(裁)NYNN20赞23盛/6忘/2糖6265.讲3群的尤性质一、腐关于慨相约石性定理5-周6设<G米;*>是一谊个群仆，则腰对任牲意的a,断bG，（1）存戒在唯术一的属元素xG，使a*x=泥b；（2）存指在唯纪一的千元素yG，使y*a=绕b。证明（1）因拔为a,罩b刮∈仰G女,所以a-1*bG。令x=悦a-1*b

则，因此,a-1*b是方程a*x=b的解假设x'G也使伙得a*x'裁=b成立哲，则x'=e*x'=a-1*a*x'=a-1*(a*x')=泥a-1*b因此x=决a-1*b是满沙足a*x=智b的唯继一的柴元素卖。20言23挽/6明/2规627定理5-绩7设<G塌;*>是一社个群丽，则蜡对任全意的a,附b,丛cG（1）若a*b=雕a*c,则b=乒c；（2）若b*a=疤c*a,则b=路c。证讽明泰（1）令a*b=败a*c=顷d，根雷据定春理5-愁2，方锤程a*x驳=甜d在G中只监有唯躲一的父解，剃故得b=槐c。20凉23连/6继/2亡628二、允元素框运算番后求艺逆元塌等于珍元素锐分别禁求逆浮元后求颠倒杆次序幕相运项算证明因为(a*b)*(a*b)-1=e根据定理5-7，有对任意有定理5-样8设<G已;*>是一魂个群址，则识对任走意a,bG，有20垦23查/6销/2限629三、贵关于程元素涉的周秤期定理5-皮9若群<贪G;*>的元构素a具有抛有限牌周期r，则左当且貌仅当k是r的倍均数时间，ak=e证明：（1）设k=投mr铅(mI)论(要证ak=e）则ak=amr=（ar）m=em=e避(因为r是a的周沙期)（2）假糟定ak=e顶(要证r罪|元k)令k=凭mr管+i蓄(帆0≤i＜r)则e=捷ak=amr泻+i=(钓ar)m*ai=ai若i≠0则i<哲r，与r是a的周盈期矛陈盾。20雕23舞/6桑/2叮630定理5-鸽10群中溉任一弹元素妨与它反的逆秧元具锁有相誉同的滑周期淹。定理5-种11在有宴限群<G透;*>中，庸每个敌元素蹦均具腥有有珠限周期，纹且周资期不乱超过持群<G丙;*>的阶亦。证明设<G荷;*>是有围限群恐，#G篇=n，对柱任意aG，构求造序列a,拾a2,昏a3…,非an,暂an+1,

因为#G=n，所以序列中必存在ai=aj于是因此a的周期至多为,而。20谈23逗/6伙/2欲631定理5-顿11的结鸣论对伤于无粘限群议不成厨立。例如斥群<I；+被>.例1对于5.鼻2节例2中的匙群<Z4;4>,单位道元0的周葵期是1；1和3的周骂期均晴为4；2的周政期为2，群<Z4;4>的阶4.例2设<G微;*>是一夕个群恩，且由对于边任意榴的a,歼bG，有(a*b)2=a2*b2,则<G雁;*>是阿盼贝尔损群，由已妥知（a*b)²=a2*b2(a*b)*(a*b)晓=(礼a*a)*(b*b)a*(b*a)*b朗=序a*(a*b)*b利用烂定理5-殊7的相片约性翼得b*a厨=泰a*b20妙23渔/6酒/2遣632练习1．填疤空设Z6={息0,盛1,物2,铅3,眼4,熄5}职,6是模6的加扬法，大定义侦为：a6b款=r洽es6(a匠+b某)，<Z6;6>是一押个群输。（1）群<Z6;6>的单悄位元丢是。（2）1的逆凳元是；2的逆衬元是；3的逆秃元是。（3）1的周形期是，1与的周穴期相扁同。（4）2的周陆期是，2与的周咳期相朽同。054365342.判断柿下述潜论断龄正确疾与否抛，在锄相应围的括成号中肿键入为“Y”或“N”设<G怖;*>是群戒，a,竭bG翠,跳a的周迹期为5,绞b的周困期为3。则（1）a3=e柱,裤a5=e江,昌a8=e药,雀a10=e假,禽a14=e(沫)之(醒)阔(授)露(储)昼(要)（2）b2=e哲,婆b3=e案,结b5=e增,剥b6=e升,注b9=e堤,蛙b15=e(王)辱(蜓)订(有)括(丛)盛(涉)家(固)YNNYNN印Y逮N题Y铃YY20桐23撕/6埋/2章6335．4子群盛及其阴陪集一、珠子群勺的定抖义定义5-更12设<G汇;*>是一造个群脊，若<H椅;*>是<G骂;*>的子代数遇，单控位元eH，且暮对于鸽任意吨的aH，有a-1H，则师称<H愁;*>是<G滩;*>的子斤群。

ea

GH若<H侨;*>是<G馅;*>的子拍群，镰则<H盼;*>也是婆群.半群疑，独键异点骑和群陶这三漏个概专念之我间的无区别久：半流群<N握;+佣>，独值异点<Z议;+妹>，群<I留;+享>。20巨23汪/6哭/2资634<I；+>既是邪半群湖、独涛异点唱，也春是一链个群扎，对摇于I的三劫个子让集：<E1；+>只能伞看作恶是<I；+>的子裤半群齿，<E2；+>只能锁看作晃是<I；+>的子倦独异斯点，只有<桨E3；+>才是<I；+>的子弱群。对于接任意灯的整模数m，若状令Im={mi|iI}。则<Im;+较>可构舰成<I；+>的子啊群。20耕23腰/6烧/2语635例1Kl图ei金n的四寨元群<{愈a,昂b,怕c,蛮e}态;>有如奇下子恰群：子集{e,勒a,耽b}不能症构成<G晋;>的子音群，子集{a}或{a,b,c}也不聚能构宵成<G恳;>的子季群eeabcaaecbbbceaccbaeeabc<{e};>,

<{e,a};>,<{e,b};>,<{e,c};>和<G;>20猾23倍/6蓝/2兄636二、牌子群久的判假别要判绪断H对于湖运算宅能否姐构成<G羞;*>的子越群，追需要密弄清煎以下从三个栗问题狱。1封闭捐性：洲对于漂任意a,庙bH，是疤否有a*bH；2单位鬼元：院是否津有eH；3可逆智性；槐对于榨任意aH，是团否有a-1H；定理5-仪12设<G武;*>是群,蒸H是G的非附空子架集,则<H雁;*>是<G氧;*>的子何群。20枕23燃/6疏/2窗637if辱f（Ⅰ）巴（1）对甚任意眨的a,牺bH，有a*bH;（2）对进任意闪的aH，有a-1H。if浙f（Ⅱ）（3）对屿任意绸的a,魄bH，可栋得a*b-1H。if羞f（Ⅲ）（4）<斧H;*>是群扁。证明悄：（Ⅰ）设<排H;*>是<G驾;*>的子往群，垄由子休群的设定义5-蠢12知（Ⅰ）中浊的(1债)和(2滥)成立箱。（1）成完立，递保证<锣H;*>是子日代数量。（2）成沿立，消保证别可逆酷性，汪且e=坛a*a-1H。20干23缩慧/6掩/2甜638证明：（Ⅱ）设<忠H边;*>是<G；*>的子语群，掉则由学定义5-胡12知对漆任意a，bH，存恶在b-1H，因多此a*b-1H若对快任意限的a，bH，有a*b-1H因H非空池，故兰存在志一个aH，由螺条件蚂知a*a-1=eH对任犹意的aH皱,因为eH，所仰以e*a-1=a-1H又设a，bH，由鲜上证庙得b-1H，且a*(毒b-1)-1H即a*bH，于脊是由斜定义5-难12知<洁H另;*>是<G；*>的子矮群。20头23肃/6叙/2葛639证明恼（Ⅲ）设<H鼠;*>是<G延;*>的子牲群,由定饺义5-葡12知<H食;*>群。设<H薪;*>是群,其单勿位元吧为e第'H,则e'*e绘'端=e潜'令G的单贵位元端为e，则e'=e*e'=(e仍'-1*e'言)*e'枣=e'-1*(e丙'*e'矩)=e母'-1*e'状=e即eH，又晃若aH，a对群开的逆恨元为a-1则a1'*a=毛e'蔬=e，另解一方索面aHG，a-1*a址=圆e所以a1'*a=言a-1*a，由碧消去窄律得a-1=a1'H所以<H窃;*>是<G棵;*>的子千群.20君23误/6野/2墨640定理5-体12设<G昌;*>是群止，H是G的非自空子蜜集，谈若(1心)对于丸任意记的a,bH，有a*b∈H；(2皂)对任狭意的aH，有a-1∈H，则<H绑;*>是<G亮;*>的子鞋群。20网23妇/6敲/2裕641定理5-岛13设<G泡;*>是一底个群啄，H是G的一亭个非搏空子晓集，腿若对于师任意a,身bH，有a*b-1H，则<H崖;*>是<G弄;*>的子钟群。

证明

设aH，则由定理5-12的条件由e,aH,则

又设a,bH，由上证得b-1H，因此

,即a*bH,于是根据定理5-12，

<H；*>是<G；*>的子群。20陡23洗/6赔/2殊642解显然H是G的非边空子扮集。例2设<G律;*>是一怖个群恢，a是G中任李一元这素，穿令即H是a的所魔有整割数次仆幂的墓集合趁，问H对于国运算劣能否构成<G商;*>的子搞群？（1）对洋任意ai,ajH，有ai*aj=ai+铁j因为i+役jI，所膝以ai+车jH；

又由H的定义a-iH

于是根据定理5-12，<H;*>是<G;*>的子群。显然<H;*>是由元素a生成的一个循环群.（2）对任意aiH,有a-i*ai=ai*a-i=a0=e,即a-i是ai

的逆元，20千23逢/6斧/2羽643例3设<G夺;*>是一扰个群皆，定博义G的子汪集H为试问H对于峰运算佛能否旷构成<G赖;*陈>的子屋群。解：对任良意xG，有x*e锋=侍e*x耍=补x关,所以eH，故H是G的非敲空子役集。任取a坡,垫bH,则对傲任意xG必有a*x概=浊x*a,b*x仆=施x*b，于脏是根恭据群稍的性腐质因此a*b-1H，根作据定啄理5-具13慢,景<H兆;*>是<G蚊;*>的子暴群。20盼23款/6段/2千644定理5-鲜14的证陡明：恼设aH，由贝定理5-除11，a具有同有限周期求，设青为r，定理5-趴14设<G喝;*>是一勿有限饶群，粗若<H书;*>是<G圈;*>的子代衰数，唇则<H雾;*>是<G泰;*>的子躬群。定理5-稿15设<G壶;*>是一朱个群诸，若<H交;*>是<G引;*>的有瓦限子代戏数，烤则<H清;*>是<G乎;*>的子眉群。其中ar棕–1=ar*a–1=e*a–1=a，因狭此a–1∈H，故<H雾;*>是<G蚁;*>的子垃群。又因忠为运亭算*在H上封勾闭，询所以抗元素a,圆a2,a3,…巾,ar刻-1,ar(=要e)均在H中,20虾23舅/6僻/2蓝645例4对于魄群<Z6;6>，找超出它锐的所蛇有子拌群。单位阀元e=云0，1和5互为维逆元胜，2和4互为头逆元的，3以3自身走为逆卷元。<Z6;6>有如互下子康群：解按照摔运算6的定开义，a6b=给re军s6(a值+b押),作出芳群<Z6;6>的运算苦表如竭下：5

5012340

0123451

1234502

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45012301234520犯23助/6柄/2替646三、麻子群嫂的等约价定质义如前拉所述骨，若<H嫩;*>是群<G盘;*>的子南群，杏则<H屿;*>自身触也必望是群其。反之赔，设<G与;*>是一单个群凳，H是G的非骗空子味集，舌若<H赴;*>也是讯群，扁则<H竖;*>必是<G勤;*>的子齐群。证明峡：*在H上是迫封闭艘的，飞所以<H昆;*>是<G栗;*>的子锹代数刺。又设e'是群<H竿;*>的单傍位元售，e为群<G满;*>的单迹位元坚。则有e'*e'=杂e',妇e*e'=宗e'，于密是e'*e'=泪e*e',由群翼的相太约性拍，得e运=e'，因伶此eH。又对踏任–a∈H，a'表示a在<H汁;*>中的搬逆元睬，a-1表示a在<G炮;*>中的威逆元捉，根据霞定义5-从12，<H障;*>是群<G痰;*>的子标群。于是碗有a*a'=搅e摊=a*a-1.由相蜜约性吐，得a'=a-1，因回此a-1H。20秘23族/6趁/2间647定义5-严12设<G斩;*耕>是一壤个群读，H是G的非爆空子逗集，洒若<H兔;*毁>也是死群，亮则称<H徐;*罩>是<G畏;*攀>的子随群。练霸习1．判洋断下战述论潮断正霜确与别否，巩在相企应的虚括号仔中键王入“Y”或“N”。对于塘群<Z4;4>有如斥下子鲁群。YNYNNY20资23寻/6鱼/2摩648定义5-合13设<H童;*>是群<G代;*>的子古群，a是G的任良意一急个元素，料称集此合H*a={贫h*a|hH}为子牺群<H钟;*>在群<G茶;*>中的剃一个右陪财集。集拿合a*H=语{a*h|据hH}为子经群<H料;*>在群<G项;*>中的诱一个左陪柏集。若aG，有H*a=a*H，则岂称子卡群<H估;*>是群<G兵;*>的正规敬子群，此震时左(右)陪集订简称鬼为陪集。例5令H=婆{k秃m|精kI},则<H谱;+翠>是<I匪;+激>的子婶群。壶又<I得;+谋>是Ab锻el群，戴故其言左右记陪集晓相等碰。问题期：如广何判厅断一丑个子允群是胖否是应正规淡子群童？20陷23殖/6总/2煌649问题1.对于谁给定来的群G和子谊群H,陪集稍与陪避集之缴间有顶何关袄系?2.左右钥陪集饶之间顷有何悦关系?3.对于祝给定猜的群G和子船群H,有多坐少个赖不同感的陪习集?如何俊求得?20糖23仁/6临/2稻650定理5-错16设<H铺;*>是群<G水;*>的一贱个子敲群，搭当且姑仅当aG泥,刑h贼H,都有a*h*a-1H时,<H腐;*>是群<G放;*>的正欢规子僚群。例6设G是全侄体nn可逆末实数患矩阵槽，则<G音;•>构成逆群。H是G中全体北行列盲式为1的矩划阵集悄合，皮则<H沙;•>是G的子宪群，境并且是正忠规子窝