晶体中电子的运动特征

在我们了解了电子在晶体周期势场中运动的本征态和本征能量之后，就可以开始研究晶体中电子运动的具体问题了，由于周期势场的作用，晶体中的电子的本征能量和本征函数都已不同于自由电子，因而在外场中的行为也完全不同于自由电子，我们称之为

Bloch电子。首先分析一下它和自由电子的区别及其一般特征。一.Bloch电子的准经典描述波包与电子速度电子的准动量电子的加速度和有效质量见黄昆书5.1节p237第七篇

晶体中电子的运动特征

一.Bloch电子的准经典描述：

当外加场（电场、磁场等）施加到晶体上时，晶体中的电子不只是感受到外场的作用，而且还同时感受着晶体周期场的作用。通常情况下，外场要比晶体周期势场弱得多。因为晶体周期场强度一般相当于108V/cm。而外电场是难以达到这个强度的。因此，晶体中的电子在外场中的运动必须在周期场本征态的基础上进行讨论。采用的方法有两种：

求解含外场的单电子波动方程。或者是在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。通常情况下求解含外场的波动方程，但只能近似求解。含外场的波动方程外场较弱且恒定。不考虑电子在不同能带间的跃迁。不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。另一种方法是在：等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。这种方法图像清晰，运算简单，我们乐于采用。

经典粒子同时具有确定的能量和动量，但服从量子力学运动规律的微观粒子是不可能的，如果一个量子态的经典描述近似成立，则在量子力学中这个态就要用一个“波包”来代表，所谓波包是指该粒子（例如电子）空间分布在r0附近的△r

范围内，动量取值在附近的范围内，满足测不准关系。把波包中心r0

看作该粒子的位置，把看作该粒子的动量。

晶体中的电子，可以用其本征函数Bloch波组成波包，从而当作准经典粒子来处理。二.波包与电子速度：

在晶体中，电子的准经典运动可以用Bloch函数组成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征态，因此，必须用含时间因子的Bloch函数。首先考虑于一维情况。设波包由以k0为中心，在k的范围内的波函数组成，并假设k很小，可近似认为不随k而变。对于一确定的k

，含时间的Bloch函数为

把与k0相邻近的各k’状态叠加起来就可以组成与量子态k0相对应的波包：波包令为分析波包的运动，只需分析2，即几率分布即可。令0波函数集中在尺度为的范围内，波包中心为：w＝0。有若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为布里渊区的宽度：2/a，而假设k很小，一般要求即推广到三维情况，电子速度为注意，这里给出了把Bloch波当作准经典粒子处理的条件。由于Bloch波有色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围△k应是一个很小的量。Bloch波有独立物理意义的波矢被限制在第一布里渊区内，因为测不准关系这表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶体中电子的运动就可以用波包的运动规律来描述。对于输运现象，只有当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况下，才可以把晶体中的电子当作准经典粒子，波包移动的速度（群速度）等于处于波包中心处粒子所具有的平均速度。附录他：更畅简明盖的说激明：量子念力学半告诉不我们洋，晶渣体中捐处于哀状态痰的电溉子，陵在经典近琴似下歌，其般平均资速度蛋相当啄于以k0为中销心的文波包盾速度妖，而波包饰的传予播速垄度是恰群速芽度：量子翠力学讨中的号德布盛罗意盖关系避：所以猴电子钞的平遥均速虾度：考虑圆到不娇同能缠带的区电子崇，晶持体中四电子土速度怨的一榴般表暂述：这个梅公式展表达场了一圣个非勿常重黑要的趴事实贿，那践就是索：晶体锡中电融子的导平均速度歪只与煮能量拼和波破矢有少关，郑对时食间和俗空间淡而言室，它殖是常沿数，爽因此鲁平均疤速度梅将永借远保消持不透变而识不衰炼减。体也就疮是说弹可以林一直槽流动麻下去誉而不宰衰减庸。这兔意味糊着：储电子射不会溉被静舒止的辟原子桌所散殖射，础严格嚷周期绕性晶身体的沙电阻斥率为班零。这一诞点和损自由惠电子生论中婆离子杏是作征为散歇射中摄心对扶电子夫产生无散射矩而影舰响电竿子的充平均勿（漂父移）携速度秃的概慢念完状全不果同。下一戚节还根将仔意细分神析这转种情腔况。换句刺话说稻：若电爸子处钟于一鞋个确碑定的筑状态究时，且只要吓晶格两的周期瞒性不蛙变，掩则永捐远处死于这弓个态呆，因乒此，杯只要织这种舅情况史不变付，则电奔子将娃以同贯样的哄速度系在整辉个晶搜体中搭不断税运动丑，而铃不被艰任何剧晶格所图阻碍，即弯电子帆速度妇是一哥个常参数，分因为晶格岸对传笼播速招度的皮影响，蝴都已抬经通盏过能洞量骨包括比在内适了。当然珠，晶捐格对管周期寸性的慰偏离梨会引无起电撇子的情散射闪，使奥它的歇速度发沿生变稳化，苍例如婶，电敢子在吐热振窄动的予晶格暮中运恰动，期会和悔声子嚼多次碰障撞，四对电猜子的回速度印产生途极大谋影响继；此耗外，爱外加罩电场婚和磁谷场也会困对电丝式子运姓动速饼度带亿来变箭化，叔以后满将陆突续讨胜论到骨这些披情况述。这个悟公式割还表虑明：电子叔速度颈的方皮向为k空间额中能纵量梯卡度的喂方向腹，即腿垂直搞于等携能面。因馒此，必电子坑的运良动方俗向决梢定于芦等能煤面的凤形状爹，在一般甘情况雹下，在k空间供中，泡等能灰面并汪不是鸡球面堂，因周此，v的方勇向一丈般并瘦不是k的方硬向。下图耽比较阴准确稿地反侦映了Bl趁oc陷h电子盖的这俘一特坚点。只有签当等爷能面器为球校面，或在某暖些特柏殊方砖向上页，v才与k的方向相寇同。电子礼运动爬速度听的大肤小与k的关皂系，据以一鼻维为处例说架明在能蛛带底贸和能输带顶搜，E(k)取极竹值，因此群，在雁能带雾底和勒能带葡顶，催电子护速度v＝0。E(k)v(k)而在历能带海中的畜某处械：电子糊速度明的数孙值最大，爪这种鸡情况与自柴由电笔子的骄速度掩总是准随能陷量的蜂增加兆而单渗调上挖升是侄完全骆不同翁的。上页滩图取塔自黄国昆书棒图5-巩2，右盆图表专示的江更准击确，载一维攻晶格爷的能候带结由构（骄上图伟）相售应的汗电子苗速度罢（下骄图）财，虚科线表揪示自奔由电穿子的桃速度扰。这种裳变化程可用NE务F模型黎来解冶释：美在区废心处翁，电份子可鱼以用肺平面伍波描屈写，仍因而右速度编成线兽性变洪化，蝴但随节着k值的付增加脉，自些由波绩受晶捞格散科射波碌的影朝响越双来越浮大，冶散射啦波对藏入射沾波的互消弱慕越来旱越明袖显，酿直到劫布里特渊区求边界库，强你的Br流ag矮g反射烛使散烦射波个和入只射波茅相等灯，所迫以波多速度娃为零叮。这狱个结撞果和仰一切耻幅射骨波在迈有周飘期性票的晶扮体中赚的传殃播是窃一样遥的。三.电子斤的准馆动量赤：在外成场中左，电魔子所股受的初力为F，在dt时间添内，介外场欧对电磁子所遭做的凶功为Fvdt根据粥功能贴原理冈，有在平歪行于v的方简向上败，dk辫/d孙t和F的分隔量相掠等；妇当F与速舌度v垂直勾时，测不能架用功档能原雁理来末讨论需电子浩能量状砖态的秧变化殖，但弊是我灭们仍抛可以忧证明砌在垂违直于彩速度的方溪向上哈，dk你/d赶t和外退力F的分围量也办相等滴。上式饱是电唐子在精外场和作用丹下运赚动状科态变弹化的拥基本凤公式，具有诵与经巴典力迅学中末牛顿嘱定律殊相似分的形秘式。k是电应子的岂准动以量，准动抹量不掠是严执格意阳义上怖的Bl劣oc吼h电子乡丰的动窃量，严格兆意义砌上的奇动量季的变馆化率书等于歉作用外在电子纱上面再所有猴力的南和，妈而准待动量刊的变庄化率鸣只是央外场缝力作用袭的结雷果，招这里承没有馒包括辽晶格旁势场才作用迫力。晶惊格势场的抚作用膝被包秘含在仁准动源量中挑。是Bl趋oc绵h电子阵准动极量的猜另一晃种说打明：对于版自由碍电子坛，k=屡p就是禁电子唐的动话量。对于苗晶体旷周期禽场中高的电虏子用Bl肆oc懂h波描编述，诞动量孕算符胀作用嫌下：这表战明Bl保oc务h波不豪是动跨量算丸符的歪本征策函数。描在晶肌体周酒期场中，抢k是动垦量概专念的锣扩展推，称灯为准动填量或电子教晶格芬动量。四.电子滩的加棉速度痛和有板效质断量晶体基中电估子运广动的赖准经孤典模般型为铁，外斑场用愉经典触方式伐处理督，晶童体周按期场受用能瞎带论萍的处上理，棍电子浮位置搏用Bl百oc蝴h波包嘉的中趟心位极置代厦替。准经劈燕典运堡动的队基本瓶关系香式：此外针，假拦定能拒带指疲标n是运踪蝶动常建数，代即电耕子总撑是呆铜在同渐一能绒带中辈，忽伟略电璃子在乏能带鉴之间喜的跃邪迁。相当侮于牛痰顿第梨二定阳律从电舍子运石动的垄基本见关系烤式可撑以直益接导消出在伴外力腔作用消下电子俗的加镇速度亩。1.一维转情况引入归电子乒的有效缎质量：由于稍周期伤场的扯作用辛，当衔把加轻速度蛾在形蛋式上党写成赴仅由骡外力市引起馅的形货式时渠，外竭力与删加速欠度之裳间的魄关系乞显然盼不是致由电看子的狡惯性滤质量遗所联旅系的抢，而近必须需引入品一个识有效种质量奶的概黄念，它计荒入了汽周期标场的宅影响。有由于聋周期割场中英电子召的能封量E(k)与k的函禽数关卫系不两是抛伤物线关系带，因泛此，电子炭的有耻效质蚀量不非是常六数，m*与k有关。在能嫂带底阻，E(k)取极路小值描，这时兼，m*>0；E(k)取极挎大值座，所以监，m*<0。在能匹带顶2.三维姐情况其分酿量形划式为＝1,袖2士,艘3矩阵幅形式与牛圣顿定狭律相比著可知告，现桨在是辫用一厅个二需阶张量碍代替眨了称为竭倒有注效质范量张色量。只由于坊微商宿可以梳交换漠顺序担，倒搁有效劫质量殃张量忍是一断个对民称张建量。忍同时闸，晶源体的斑点群舒对称辜性也恒会使例张量锄的独亦立分脖量减染少，对于虽各向言同性秋晶体蔬，它乓退化归为一腥个标沸量。由于矩倒有矛效质块量张福量是类对称济张量绘，如习将kx、ky、kz取为秀张量歉的主瘦轴方计向，喝就可毒将其叙对角膜化。这时严有有效少质量炼的作衡用在湖于它贩概括分了晶厘体内艳部周爪期场届作用遵（把这剪个作创用用祥有效里质量壶代替），灶使我屯们能达够简贵单地勿由外按场力用确定消电子穗的加暂速度箩。需要挪注意份电子层的加昂速度沿方向烘并不亮一定球与外茫场力烟的方腐向一丑致，盲这是灯由倒含有效夸质量塌张量驻的性分质所停决定嫌的。电子若有效绳质量酷常用瞧电子柴比热房诚数据骨计算讲得到耳：其中0为自悦由电好子的高比热汽系数巩，ex占p为实杜验值归。对于搅有些远材料舞，这工个比渔值可彩以很不大，10珠0～10出00倍，课即电娱子的街有效诞质量光很大亩，称我为重费物米子，相归应材帜料称弊为重厚费米魔子材探料。叔这类书材料艺对应奸于费渠米能皱级处猴非常忘高的妨态密枕度。刑这一杏点我巩们可顿以从熔自由搁电子键气比悠热系谎数中违看到γ∝N(敞EF)例如蒸，19丹75年发汽现化烤合物Ce徐Al3，其兴低温土电子迹比热款系数γ高达16紫20扒m巡寿J/神mo晃l·萌K。通限常把γ值大瘦于40雪0敬mJ历/m铁ol墨·K的材蜂料称痕为重剂费米茫子系漫统。侮（掠见黄秒昆书p2放86）例：续求简棉单立欢方晶已体s态电咱子的始有效武质量谷。,宅1终,独2,井3即kx,膝ky,伏kz为张差量的旧主轴弱方向鹊，由痒此可撞得这表降明有阴效质燥量的促三个痕主分饱量均证与J1成反豪比，网若原缩慧子间顷距越大制，J1越小煤，则警有效弊质量躁就越搅大。在能愈带底点蓄：k=破(0封,侧0,撇0悦)，这时宫有效容质量号张量告退化弱为一袋个标漂量。在能许带顶R点：这表切明，在能暂带底事和能景带顶环电子角的有修效质遥量是串各向碎同性割的，械退化锅为一财标量富，这拉是立羊方对贤称的求结果纽奉。在X点：有效甲质量信是一达个很税重要溜的概猛念，库它把梢晶体正中电复子准则经典挖运动荒的加幸速度福与外说力联环系起斥来。有效救质量隆中包域含了福周期齿场对盛电子坊的作谈用。劫在一降般情见况下塘，仔有葡效质烤量是削一个损张量灶，在尸特殊传情况存下也桨可以答退化凤为标廊量。扒有效朝质量堵不仅陆可以睡取正停，也样可以类取负泄。在能淋带底凶附近跨，有喷效质插量总岂是正吨的；泻而在或能带拖顶附茎近，祸有效传质量笨总是铜负的信。这炼是因牌为在泥能带鹿底和枪能带乖顶E(k)分权别取弄极大仆值和谅极小王值，秩分别变具有土正的妹和负炼的二海价微介商。补充期：有球效质抢量的侨再理未解：电子诊的运击动应拿该同盟时受摊到晶难格力Fl和外正场力F,但在里实际士中，划是难欠以表初示清敞楚的跌，因签此可核将公