微分方程的物理背景

微分方程的物理背景—动力机制的数学模型

机动目录上页下页返回结束第二节为什么要学习常微分方程？常微分方程是物质运动动力机制的数学表述，大量的客观现实世界运动过

程（包括自然界和社会界）的数学模型是常微分方程。因此，建立数学模型以后运用数学的技巧求解方程则能精确描述运动过程。如何建立数学模型？从物理、力学等已确定的自然规律出发，考虑其主要因素、忽略次要因素，提炼出状态变量，包括自变量和因变量（未知函数），然后运用相应规律和实际情况，构造出自变量、未知函数及其导数的关系式，即相应的微分方程。1.质点的弹性振动机动目录上页下页返回结束F(t)yo已确定的自然规律：1.牛顿第二定律:F=ma

2.胡克(Hooke.R)定律:质点受到的弹性回复力与位移成正比，即f2=-ky其它事实：质点在介质中运动所受阻力与质点运动速度成正比，即f1=-rv.令质点离开平衡位置的距离为y(t),介质中运动所受阻力为f1，弹性回复力为f2，所受外力为F=f3，各力的数学表示代入牛顿第二定律得：即得再令得规范式特例1：真空中落体运动机动目录上页下页返回结束当r=k=0,即介质阻尼与弹性约束为0，且F=mg,则微分方程为再若t=0时，v(0)=v0,y(0)=y0则得特例2：简谐振动当r=0，F=0,则微分方程为可以验证方程的解为机动目录上页下页返回结束2.RLC交变电路CRU(t)L已确定的事实：1.欧姆定律：2.楞次定律:3.Kirchhoff定律:其它事实：令电流i=i(t)，电阻的电势降uR=uR(t)，电感的电势降uL=uL(t)，电容的电势降uC=uC(t)，电容电荷Q=Q(t)，电路输入电压U=U(t),根据Kirchhoff定律有即得再令得规范式※这说明有阻尼的机械振动与RLC电路，其运动变化机理，在数学上是统一的。机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束3.冷却与衰变例1.1一温度为500℃的物体置于20℃的环境中，2分钟后温度降为400℃，问10分钟后温度降至多少？冷却定律：物体温度下降速率和物体与环境温差成正比令温度为T=T(t),将冷却定律表示成数学形式即得其中k为比例常数，从而得t与T的微元关系两边积分得根据初始数据t=0,T=500以及t=2,T=400即得C=480,在表达式中代入t=10得第二节目录上页下页返回结束例1.2放射性衰变已确定规律：放射性物质的放射速率与质量本身成正比令放射性物质的质量为m=m(t),将放射律表示成数学形式即得其中k为比例常数，从而得t与m的微元关系两边积分得令初始数据为t=t0,m=m0即得从而放射过程为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束4.人口增长（1）马尔萨斯人口律：若人口的生存环境宽松，食物充裕，则其增长率与人口基数成正比。设某地区人口总数为N=N(t),由马尔萨斯人口律得从而得t与N的微元关系两边积分得令初始数据t=t0,N=N0即得（2）Logistic人口律：在人口群体中，由于生存竞争而产生一个与人口平方成正比的负增长率。设某地区人口总数为N=N(t),由Logistic律得令a<<b,N(t0)=N0解得otNN05.溶液淡化例1.3.容器内有100升浓度10﹪的盐溶液，若以3升/秒的匀速往容器中注入净水，同时又以2升/秒的速度将搅匀后的溶液排出，问过程开始后1分钟时溶液的浓度？溶液淡化是一不均匀的过程，须用微元法来分析！设时刻为t时溶液的含盐量为x=x(t),任选时间微元区间[t,t+dt],由于dt充分小，因此微元时间间隔内过程可视为均匀的。根据微分的定义即得根据厨师数据x(0)=10,即得溶液淡化的数学模型：求解后得：，1分钟后，浓度为6.二体照运动窗（行慢星绕琴日运鸣动）Ke擦pl饱er三律死（被虑称为粗“太床空宪爬法”蹄）：（A）行熄星绕刃日运像动轨贼道是舟椭圆晚，太萌阳是井轨道另的一舅焦点威上；（B）太蹄阳与披行星胜的连误线（域经线玻）在夏相同裳时间信间隔枣内扫竖过相逼同的呼面积洽；（C）行撑星公菌转周菊期的废平方饶与它凉到太伞阳平暗均距晶离的嚼立方的成正胳比。精确秆解释建立蹦行星乌绕日器运动锄的数虎学模通型万有浇引力省定律江：行殊星受挠到太大阳的熊引力f与矢遥径r的平确方成坝反比墙，与屑行星暖质量m与太怒阳质锯量M的乘汁积成丸正比等，引滋力方当向与粗矢径蹄方向布相反列。运用酬牛顿荡第二垂定律塌，表翠示成傅数学压表达消式得例：其中ur表示框单位们矢径捡。xPoɵ令骨这里表示乞动点P的极凉坐标此时灶矢径胀为记表示骄矢径兽方向负的单井位向宜量，表示结与矢立径正萝交的蚁单位某矢量则有洁如下浩关系守式：令v=v(讯t)表示U(舍t)的瞬稍时速赞度，送则有令a=a(线t)表示v(象t)的瞬世时加妥速度喉，则蒜有简记则有代入赢牛顿变第二坦定律势得由于租两个谊单位柄向量村的正茶交性吉即得这就御是二废体运扬动方起程——由极岛坐标祖表示芬的行也星绕按日运续动的载微分斩方程本。试建川立具绵有下牲列性屡质的赖曲线响满足链的微唇分方孔程。1，曲线上任意点的切线与该点的径向夹角为。2，曲恳线上照任意络点的桥切线耽介于欺两个殊坐标母之间榆的部颂分等秀于定啄长a.3.容器宪内有10抬0升浓鼻度20眼﹪