新北师大版第2章第9节实际问题中的函数模型作业

课时精练(十四)实际问题中的函数模型[基础达标练]1．(2022·红桥区期末)面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出如图中时间与治愈率关系的是()A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝ax D．y＝logaxB由图象可知，治愈率先减后增，选项B符合题意，ACD选项均是单调函数，不符合题意．2．(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝max＋n(m>0，0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)B由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0，0<a<1.故选B.3．(2022·海南海口二模)在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn(单位：μg/μL)与PCR扩增次数n满足Xn＝X0×n，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNAμg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为(参考数据：lg≈，ln≈)()A．5 B．10C．15 D．20B由题意知X0，Xn＝10，×n，n＝100，取以10为底的对数得nlg＝2，所以n＝eq\f(2,lg1.6)≈10.故选B.4．(2022·安徽淮南二模)1947年，生物学家MaxKleiber发表了一篇题为《bodysizeandmetabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的eq\f(3,4)次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则此时这种动物的基础代谢率为原来的基础代谢率(参考数据：eq\r(4,10)≈3)()A．倍 B．倍C．倍 D．倍C设该哺乳动物原体重为M1、基础代谢率为F1，则F1＝，经过一段时间生长，其体重为10M1，基础代谢率为F2，则5．(2022·山东师范大学附中模拟)已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的eq\f(1,2t)倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则x的取值范围是()A．1<x<2 B．1<x≤2C．8<x<9 D．8≤x<9C由题意得，x小时后的电量为(3000－300x)毫安，此时转为B模式，可得10小时后的电量为(3000－300x)·eq\f(1,210－x)，则由题意可得(3000－300x)·eq\f(1,210－x)>3000×，化简得(10－x)·eq\f(1,210－x)，即10－x>29－x.令m＝10－x，则m>2m－1，由题意得0<x<10，则0<m<10，令m分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等，由函数y＝x和y＝2x＋1的图象可知，该不等式的解为1<m<2，所以1<10－x<2，得8<xC.6．(2022·全国模拟)(多选题)“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是A．如果购物总额为78元，则应付款为73元B．如果购物总额为228元，C．如果购物总额为368元，D．，则购物总额为516元ABD购物总额为78元，则应付款为78－5＝73(元)，A正确；购物总额为228元，则应付款为228×(元)，B正确；购物总额为368元，则应付款为300×0.9＋68×(元)，C(元)，则包含购物总额300元应付的270(元)，(元)对应购物额度为eq\f,0.8)＝216，因此购物总额为300＋216＝516(元)，D正确．故选ABD.7．(2022·武汉模拟)(多选题)某一池溏里浮萍面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝2t，下列说法中正确的说法是()A．浮萍每月增长率为1B．第5个月时，浮萍面积就会超过30C．浮萍每月增加的面积都相等D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过时间分别为t1，t2，t2，ABD函数关系式y＝2t，∵eq\f(2t＋1－2t,2t)＝eq\f(2t（2－1）,2t)＝1，∴每月的增长率为1，A正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，∴B正确；∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确；∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正确．故选ABD.8．(2022·山西期末)(多选题)几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p(x)(单位：万元)与每月投入的研发经费x(单位：万元)有关：当每月投入的研发经费不高于16万元时，p(x)＝－eq\f(1,5)x2＋6x－20，研发利润率y＝eq\f(p（x）,x)×100%.他们现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是()A．投入9万元研发经费可以获得最大利润率B．要再投入6万元研发经费才能获得最大利润C．要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元D．要想获得最大利润，还需要再投入研发经费1万元BC因为产品的月利润为p(x)＝－eq\f(1,5)x2＋6x－20＝－eq\f(1,5)(x－15)2＋25，(0≤x≤16)，则当x＝15时，月利润有最大值为25万元，即在已经投入9万元时需再投入6万元，才能使月利润最大，故B正确，D错误，因为0＜eq\f(1,5)x≤eq\f(16,5)，eq\f(20,x)≥eq\f(5,4)＞0，所以eq\f(1,5)x＋eq\f(20,x)≥2eq\r(\f(1,5)x·\f(20,x))＝4，即y＝－(eq\f(1,5)x＋eq\f(20,x))＋6≤－4＋6＝2，当且仅当eq\f(1,5)x＝eq\f(20,x)，即x＝10万元时，利润率有最大值为2，即在已经投入9万元时再投入1万元，才能使利润率最大，故A错误，C正确．故选BC.9．某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为万元．答案1024解析依题意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(alog48＋b＝1，,alog464＋b＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))所以y＝2log4x－2.令2log4x－2＝8，得x＝45＝1024.10．(2022·福建福州三模)某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位：亿元)与时间t(单位：年)之间的关系为P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0为t＝0时的P值．假定P0＝2，那么在t＝10时，GDP增长的速度大约是．(单位：亿元/年，)注：10≈，当x取很小的正数时ln(1＋x)＝x.答案解析由题可知P(t)＝2(1＋10%)t＝2×t，所以P′(t)＝2×tln，所以P′(10)＝2×10ln≈2××0.1＝≈0.52，即GDP增长的速度大约是0.52.11．(2022·河南月考)某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折．不重复打折．方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元．已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为元．答案11710解析由方案一可知，满10人可打9折，则单人票价为270元，由方案二可知，满5000减1000元，按原价计算eq\f(5000,300)≈，则满5000元至少凑齐17人，17×300－1000＝4100，则单人票价为eq\f(4100,17)≈241，满10000元时，eq\f(10000,300)≈，则需34人，单人票价为241人，满15000元时，eq\f(15000,300)＝50，人数不足，∵241＜270，∴用方案二先购买34张票，剩余13人，不满足方案二，但满足方案一，∴总费用为34×300－2000＋13×300×0.9＝11710(元).12．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(mt)(c，m为常数).(1)求c，m的值；(2)ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解(1)由题意可列方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4m)，,32＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(8m)，))两式相除，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4)．))(2)由题意可列不等式128eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8)，即eq\f(1,4)t≥8，解得t≥32.故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．[技能提升练]13．(2022·广东茂名二模)双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C＝In·t，其中n＝2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10A时，放电时间T＝57h，则当放电电流I＝15AA．28h B．28.5hC．29h D．29.5hB根据题意可得C＝57·10n，则当I＝15A时，57·10n＝15n·t，即当放电电流I＝15A，h．故选B.14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．答案(1)130(2)15解析(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).(2)由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大．而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×，所以x≤x的最大值为15.15．(多选题)市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a(1≤a≤4，且a∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝a·m，其中当0≤x≤4时，m＝eq\f(16,8－x)－1，当4＜x≤10时，m＝5－eq\f(1,2)x.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是()A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为eq\f(20,3)克/升B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度为5克/升D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污ABD对于A，由题意可得a＝4，当0≤x≤4时，y＝eq\f(64,8－x)－4，当4＜x≤10时，y＝20－2x，当x＝2时，y＝eq\f(64,8－2)－4＝eq\f(20,3)，故A正确；对于B，当0≤x≤4时，eq\f(64,8－x)－4≥4，解得x≥0，故0≤x≤4，当4＜x≤10时，20－2x≥4，解得x≤8，故4＜x≤8，综上所述，0≤x≤8，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟，故B正确；对于C，当6≤x≤10时，y＝2×(5－eq\f(1,2)x)＋2[eq\f(16,8－（x－6）)－1]＝14－x＋eq\f(32,14－x)－6，当x＝8时，y＝6＋eq\f(32,6)－6＝eq\f(16,3)，故C错误；对于D，∵4≤14－x≤8，∴y＝14－x＋eq\f(32,14－x)－6≥2eq\r(（14－x）·\f(32,14－x))－6＝8eq\r(2)－6，当且仅当14－x＝eq\f(32,14－x)，即x＝14－4eq\r(2)时取等号，∴y有最小值8eq\r(2)－6≈5.3＞4，∴接下来的4分钟能够持续有效去污，故D正确．故选ABD.16．(2022·芗城区校级期末)土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物．云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.2018年3月，在全国两会的代表通道里，