知识点37解直角三角形及其应用2018-2

一、选择题1.（2018吉林省长春市，6，3）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）.为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则A、B两地之间的距离为（A）800sin米（B）800tan米（C）米（D）米【答案】D【解析】由题中条件可知，在RT△ABC中，∠ABC=，AC=800米，建立数学模型tan=，可得AB=米.【知识点】解直角三角形，锐角三角函数，俯角问题.2.（2018江苏苏州，8，3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏两30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之问的距离（即PC的长）为A．40海里 B．60海里 C．20海里 D．40海里【答案】D【解析】本题解答时要利用直角三角形的边角关键和勾股定理来进行计算.由题意可知AB=20，∠APB=30゜，∴PA=20，∵BC=220=40，∴AC=60，∴PC=（海里），故选D.二、填空题1.（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，15，3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向nmile处，则海岛A，C之间的距离为nmile．【答案】【解析】本题主要考察三角函数的应用．过A作AD⊥BC于D．设，∵∠C45°，∠B30°，∴，，．∵，∴，解得．∴．【知识点】三角函数的应用2.（湖北省咸宁市，13，3）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为_________m.(结果保留整数，)【答案】300【解析】在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝110m，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝110m∴CD＝，∴BC＝BD+CD=110+≈300m【知识点】解直角三角形的应用3.(2018辽宁葫芦岛，15，3分)如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿水平方向飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时，测得景点A的俯角为45°，景点B为的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为__________米(结果保留根号)．【答案】：100+100，【解析】∵MN∥AB，∴∠A＝∠MCA＝45°，∠B＝∠NCB＝30°．∵CD＝100，∴AD＝＝100，DB＝＝100．∴AB＝AD＋DB＝100＋100．4.（2018广西南宁，16，3）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°．已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是m．（结果保留根号）甲甲楼ABCD乙楼30°第16题图45°【答案】40EQ\R(,3)，【解析】∵俯角是45°，∴∠BDA＝45°，∴AB＝AD＝120m，又∵∠CAD＝30°∴在Rt△ADC中，tan∠CDA＝tan30°＝EQ\F(CD,AD)＝EQ\F(EQ\R(,3),3)．∴CD＝40EQ\R(,3)．5.(2018湖北黄石，14，3分)如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是____________米．(结果保留根号)第14题图【答案】100(1＋)【解析】由题意可知∠A＝30°，∠B＝45°，∴AD＝＝100米，BD＝CD＝米，∴AB＝AD＋BD＝100＋＝100(1＋)米.6.（2018·宁夏，15，3）一艘货轮以18km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离为____________km．【答案】18．【解析】如下图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD＝45°，∠ACB＝105°，从而∠B＝30°，AC＝×18＝9．在Rt△ACD中，sin∠CAD＝，从而CD＝ACsin∠CAD＝9×sin45°＝9×＝9．在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝2CD＝18（km），故填18．【知识点】解直角三角形；方向角7.（2018辽宁锦州，16，3分）如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6，0）作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E，交AD于点B，作射线OB，以AB为边的△AOB的外侧作正方形ABCA1，延长A1C交射线OB于点B1，以A1B1为边在△A1OB1的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB于点B2，以AB为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3……按此规律进行下去，则正方式A2017B2017C2017A2018的周长为【答案】4×，【解析】本题为规律探究题，先根据图形运用三角函数∠AOD=60°,OD=3,AD=3,BD=2,AB=,B1C=1,A1B1=+1,B2C1=tan30°A1B1=A1B1,A2B2=A1B1+A1B1=A1B1(+1)=(+1)2B3C2=A2B2,A3B3=A2B2+A2B2=A2B2(+1)=()2(+1)3A2017B2017=()2016(+1)2017A2017B2017C2017A2018的周长4A2017B2017=4×()2016(+1)2017三、解答题1.（2018广西省桂林市，23，8分）如图所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于BA前往救援，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，结果精确到0.1小时）【思路分析】过点B作BD⊥DC于点D，由题意可知，∠BCD＝45°，∠ACD＝60°，先根据BC＝60，利用特殊角的三角函数值求出BD的长，再求出AD的长即可．【解题过程】解：如图（1），过点B作BD⊥DC于点D，由题意可知，∠BCD＝45°，∠ACD＝60°，DC＝BD，则在Rt△DEF中，∵BC＝60，∴sin∠BCD＝，即，解得BD＝，∴DC＝BD＝，则在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，即，解得AD＝，∴AB＝AD－BD＝－≈30（－）＝31.2（海里），∴渔船在B处等待得到海监船A的救援需要的时间为＝1.04≈1.0（小时），答：渔船在B处等待得到海监船A的救援需要约1.0小时．【知识点】锐角三角函数的实际应用；二次根式的化简2.（2018海南省，22，8分）如图10，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在AH的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A，B，C三点在同一水平线上．（1）计算古树BH的高；（2）计算教学楼CG的高．（参考数据：，）【思路分析】（1）在Rt△DEH中，∠HDE=45°，∴HE=DE，BH=HE+BE，从而求出BH的长．（2）设EF=x米，在Rt△GEF中，∠GEF=60°，用x表示出GF的长，GF=x，在Rt△GDF中，∠GDF=45°，∴DF=GF，7+x=x，求解出x，从而得到GF的长，GC=GF+FC，故求得CG的长．【解题过程】（1）在Rt△DEH中，∵∠DEH=90°，∠HDE=45°，∴HE=DE=7米．∴BH=HE+BE米．（2）设EF=x米，在Rt△GEF中，∵∠GFE=90°，∠GEF=60°，∴GF=EF·tan60°=x．在Rt△GDF中，∵∠GFD=90°，∠GDF=45°，∴DF=GF．∴7+x=x．将代入上式，解得x=10．GF=x=17．∴GC=GF+FC米．答：古树高为，教学楼高为．【知识点】解直角三角形，解直角三角形的应用3.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.【答案】甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．详解：如图，过点作，垂足为.则.由题意可知，，，，，.可得四边形为矩形.∴，.在中，，∴.在中，，∴.∴.∴.答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．4.(2018甘肃省兰州市,23,7分)(7分)如图,斜坡BE,坡顶B到水平地面的距离AB为3米,坡底AE为18米,在B处,E处分别测得CD顶部点D的仰角为30°,60°.求CD的高度.(结果保留根号)BBADCFE【思路分析】作BF⊥CD于F,然后在两个直角三角形中分别表示出BF,CE,然后利用BF和CE相等即可求解.【解题过程】作BF⊥CD于F,设CE=x米,因为∠DEC=60°,所以DC=x米｡DF=(x-2)米,因为∠FBD=30°,所以BF=(x-2)米｡因为BA⊥AC,DC⊥AC,所以四边形BACF为矩形,所以BF=AC,所以(x-2)=x+18,解得x=12+10.答:CD的高度是(12+10)米｡【知识点】解直角三角形三角函数5.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号23，分值12）折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪呰数学结论.实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B’落在矩形所在平面内，B’C和AD相交于点E，连接B’D.解决问题(1)在图1中，①B’D和AC的位置关系为______________;②将△AEC剪下后展开，得到的图形是_________________;(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形.则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为____________；拓展应用(4)在图2中，若∠B=30°，AB=，当△AB’D恰好为直角三角形时，BC的长度为__________. .【思路分析】(1)由折叠的性质可知，∠ACB=∠ACE,再由四边形ABCD为矩形，AC为对角线可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’,又∵∠B’ED=∠AEC为对顶角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’，∴B’D∥AC,将△AEC剪下展开后，能得到四条边均相等的四边形，即菱形，故答案为①B’D∥AC，②菱形；(2)利用（1）的思路即可得出矩形变平行四边形时也可得到B’D∥AC和菱形的结论；（3）当矩形为正方形时符合题意，即长宽之比为1：1；当∠ACB=30°时符合题意，即长宽之比为：1；（4）由（2）可知，AE=CE，B’E=DE,AC∥B’D.当∠AB’D=90°，且点B’在AD上方时，可得出∠B’AC=∠AB’D=90°,∴BC=;当点B’在AD下方，∠ADB’=90°时，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos∠ADC×CD.当∠B’AD=90°,且点B’在AD上方时，∵∠AB’C=30°，AE=CE,AB’=AB=4，可得出BC=B’E+CE=B’E+AE=+tan∠AB’C×AB’.当∠B’AD=90°,且点B’在AD下方时，∠ADC=30°，∵B’E=DE,∴AB’=AB=AE+B’E=AD×tan∠ADC+.【解题过程】解：（1）由折叠的性质可知，∠ACB=∠ACE.再由四边形ABCD为矩形，AC为对角线可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’.又∵∠B’ED=∠AEC为对顶角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’.∴B’D∥AC.将△AEC剪下展开后，能得到四条边均相等的四边形，即菱形.故答案为①B’D∥AC，②菱形.（2）结论仍然成立.若选择结论①证明：∵B’C=AD,AE=CE,∴B’E=DE.∴∠CB’D=∠ADB’.∵∠AEC=∠B’ED,∠ACB’=∠CAD.∴∠ADB’=∠DAC.∴B’D∥AC.若选择结论②证明：如图所示，设点E的对应点为点F.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥AE.∴∠DAC=∠ACF.由折叠可得，∠ACE=∠ACF，CE=CF.∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE.∴AE=CF.∴四边形AECF是菱形.（3）当矩形为正方形时符合题意，即长宽之比为1：1；当∠ACB=30°时符合题意，即长宽之比为：1.（答对一个得1分，写成“1或”也正常给分）（4）由（2）可知，AE=CE，B’E=DE,AC∥B’D.当∠AB’D=90°，且点B’在AD上方时，可得出∠B’AC=∠AB’D=90°.∵∠B=∠AB’C=30°，∴在Rt△AB’C中，BC==8；当点B’在AD下方，∠ADB’=90°时，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos∠ADC×CD=6.当∠B’AD=90°,且点B’在AD上方时，∵∠AB’C=30°，AE=CE,AB’=AB=4，可得出BC=B’E+CE=B’E+AE=+tan∠AB’C×AB’=12.当∠B’AD=90°,且点B’在AD下方时，∠ADC=30°，∵B’E=DE,∴AB’=AB=AE+B’E=AD×tan∠ADC+=4，解得AD=4.故答案为4或6或8或12.（答对一个得1分）【知识点】折叠的性质，平行线的判定与性质，锐角三角函数的应用，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质.6.（2018湖南省怀化市，23，12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E为CD边上一点，AE与BE分别为DAB和CBA的平分线．（1）请你添加一个适当的条件________，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作ʘO（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)；（3）在（2）的条件下，ʘO交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE＝4，sinAGF＝，求ʘO的半径．【思路分析】（1）在四边形中，一组对边平行且相等，那么这个四边形为平行四边形．（2）由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到，通过AE为的角平分线，可知，所以在三角形AFG和三角形AEB中有两角对应相等，所以两三角形相似，所以sinAGF＝sinABE，又已知AE＝4，所以通过直角三角形的三角函数可求出直径AB的值，继而求出半径的值．【解题过程】（1）令AD＝BC，又∵AD//BC，根据平行四边行的判定定理，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）∵ʘO交边AD于点F，∴点F为圆上一点，∴，因为AE与BE分别为DAB和CBA的平分线，AD//BC，所以，即得，在中，又∵AE为的角平分线，∴，所以在三角形AFG和三角形AEB中，有，，∴∽，∴sinAGF＝＝sin＝，已知AE＝4，所以可得出直径AB＝5，即半径等于2.5．【知识点】平行四边形的判定定理尺规作图三角形相似的判定定理和相似三角形的性质直角三角形的三角函数求值圆周角的性质7.（2018年江苏省南京市，23，8分）如图，为了测量建筑物的高度，在处树立标杆，标杆的高是.在上选取观测点、，从测得标杆和建筑物的顶部、的仰角分别为、，从测得、的仰角分别为、.求建筑物的高度（精确到）.（参考数据：，，.）【思路分析】在△CED中，得出DE，在△CFD中，得出DF，进而得出EF，列出方程即可得出建筑物AB的高度。【解题过程】解：在中，，∵.∴.在中，，∵∴.∴.同理.∴.解得.因此，建筑物的高度约为.【知识点】解直角三角形的应用8.（2018浙江嘉兴，22，10）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝20°．当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．（1）上午10:00时，太阳光线与地面的夹角为60°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）（2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）【思路分析】（1）只要证明△CFP1是等腰直角三角形，即可解决问题；（2）解直角三角形求出CP2的长即可解决问题；【解答过程】（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP0=2m，如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P0P1．∵∠1=90°，∠CAB=90°，∠ABE=65°，∴∠AP1E=115°，∴∠CP1E=65°，∵∠DP1E=20°，∴∠CP1F=45°，∵CF=P1F=1m，∴∠C=∠CP1F=45°，∴△CP1F是等腰直角三角形，∴P1C=m，∴P0P1=CP0﹣P1C=2﹣≈0.6m，即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6m．（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P2处．∵P2E∥AB，∴∠CP2E=∠CAB=90°，∵∠DP2E=20°，∴∠CP2F=70°，作FG⊥AC于G，则CP2=2CG=1×cos70°≈0.68m，∴P1P2=CP1﹣CP2=﹣0.68≈0.7m，即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．9.（2018湖南娄底，22，8）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼高达，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼高，为了测量高楼上发射塔的高度，在楼底端点测得的仰角为，，在顶端E点测得A的仰角为，求发射塔的高度.【思路分析】本题通过构造方程，先求出CD的长，在求出AC，最后求AB【解题过程】解：过E作，由题意得，四边形EDCF是矩形EF=CD，CF=DE=340设CD=x，则EF=x，在中，在中，，AC=AF+CF，解得x=140CD=140，AC=480，AB=AC-BC=480-452=28米答：发射塔AB的高度为28米【知识点】三角函数的实际应用10.（2018吉林省，21,7分）数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺.请帮助组长林平完成方格内容，用含a,b,c的代数式表示旗杆AB的高度.【思路分析】将所求AB的长度转化为AE和EB的长度，在直角三角形AED，利用三角函数，求得AE的长度,而BE=CD，所以AB=AE+CD.【解题过程】测量步骤：（1）测角仪（2）皮尺计算过程：如图，∠ADE=α，DE=BC=a，BE=CD=b，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∵tan∠ADE=∴DE=AE·tan∠ADE=a·tanα∴AB=AE+BE=(b+a·tanα)（米）【知识点】解直角三角形的应用11.（2018江苏扬州，27，12）问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为_________；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．【思路分析】（1）根据方法归纳，运用勾股定理分别求出MN和DM的值，即可求出tan∠CPN的值；（2）仿（1）的思路作图，即可求解；（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；【解题过程】解：（1）如图进行构造：由勾股定理得：DM=，MN=,DN=，∵()2+()2=()2，∴DM2+MN2=DN2，∴△DMN是直角三角形；∵MN∥EC，∴∠CPN=∠DNM，∵tan∠DNM=QUOTE=QUOTE=2，∴tan∠CPN=2．也可以这样做：（1）如图1中，∵EC∥MN，∴∠CPN=∠DNM，∴tan∠CPN=tan∠DNM，∵∠DMN=90°，∴tan∠CPN=tan∠DNM=2．（2）如图，cos∠CPN=cos∠QCM=．也可以这样做：如图2中，取格点D，连接CD，DM．∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM=∠D=45°，∴cos∠CPN=cos∠DCM=．(3)如图，∠CPN=∠CMQ=45°．也可以这样：如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．∵PC∥MN，∴∠CPN=∠ANM，∵AM=MN，∠AMN=90°，∴∠ANM=∠MAN=45°，∴∠CPN=45°．【知识点】正方形网图，非直角三角形中锐角三角函数值12.（2018青海，24，8分）A处观测对岸点C，测得∠CAD=45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD=30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，2≈1.414，3【思路分析】先添加辅助线：过C作CE⊥AB于E，然后设CE＝米，借助三角函数将AE、BE都用x的代数式表示，最后通过EB=EA+AB列方程求得答案．【解题过程】过C作CE⊥AB于E，设CE＝米．Rt△AEC中，∠CAE＝45°，AE＝CE＝x．在Rt△ABC中，∠CBE＝30°，BE＝CE＝x．∴x＝x＋60．解得x＝≈81.96．答：河宽为米．【知识点】解直角三角形的应用，勾股定理13.（2018贵州铜仁，22，10）如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平选取C，D两点，在点C处测得A的仰角为45°，距点C的10米D处测得A的仰角为60°，且C、D、B在同一水平直线上，求铁塔AB的高度.（结果精确到0.1米，）【思路分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用特殊角的锐角三角函数分别表示出CB、BD的长度，然后列方程，解方程可得铁塔AB的高度．解答过程】由题意，易得：AB⊥BC，∴∠ABC=90°，设AB=，在Rt△ABC中，，∴BC=；在Rt△ABD中，，BD=；∵CB-BD=CD，CD=10米，∴，（米）.答：铁塔AB的高度约为23.7米.14.(2018湖南湘西州，23，8分)如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．(1)求景点B与C的距离；(2)为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．(结果保留根号)第23题图【解答过程】(1)根据题意可得：∠CAB＝30°，∠CBA＝120°．∴∠C＝180°－120°－30°＝30°．∴∠CAB＝∠C．∴AB＝BC．∵AB＝10，∴BC＝10．即景点B与点C的距离为10km．(2)如图，过点C作CD⊥AB于点D．根据“垂线段最短”可得CD即为最短公路．∵∠CBA＝120°，∴∠CBD＝60°．在Rt△CBD中，BC＝10，∠CBC＝60°．sin60°＝＝＝．∴CD＝5．即：这条最短公路的长为5km．15.（2018江苏常州，25，8）(本小题满分8)京杭大运河是世界历史文化遗产，综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m．再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽(即CH的长)【解答过程】过D作DE⊥AB，垂足为E。易知四边形CDEH为矩形，CD=HE=40m，DE=CH设河宽为xm，则DE=CH=xm，在RtΔACH中，∠CAB=30°，可得AH=m在RtΔDEB中，∠DBA=60°，可得BE=m∵AH+HE+EB=160m解得m答：该段运河的河宽为m。16.（2018•徐州，26，8分）如图，1号数在2号楼的南侧，两楼的高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号数在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号数在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共有30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin，cos，tan，sin，cos，tan）．【解答过程】解：（1）过点C，D分别作CE⊥PB，DF⊥PB，垂足分别为E，F．则有AB＝CE＝DF，EF＝CD＝42．由题意可知：∠PCE＝32.3°，∠PDF＝55.7°，在Rt△PCE中，PE＝CEtan32.3°＝CE；在Rt△PDF中，PF＝CEtan55.7°＝CE；∵PF－PE＝EF，∴CE－CE＝42，∴AB＝CE＝50（m）答：楼间距为50m．（2）由（1）得：PE＝CE＝（m），∴AC＝BP－PE＝90－＝（m），＝，∴点C位于第20层答：点C位于第20层．17.（2018内蒙古通辽，20，6分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地的海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一条隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据EQ\R(,3)）．【思路分析】过B作BD⊥AC垂足为D，在Rt△ABD中利用三角函数求得AD，然后再在Rt△BCD中求得BD，根据AC＝AD＋DC即可求解．【解题过程】作BD⊥AC垂足为D，（如答图）由题意可得BD＝1400－1000＝400（米）∠BAC＝30°，∠BCA＝45°在Rt△ABD中，∵tan30°＝EQ\F(BD,AD)，即EQ\F(400,AD)＝\F(\R(,3),3)，∴AD＝400EQ\R(,3)（米）在Rt△BCD中，∵∠BCA＝45°，∴DC＝DB＝400（米）∴AC＝AD＋DC＝400EQ\R(,3)＋400≈1092.8≈1093（米）答：隧道最短约为1093米．18.（2018山东莱芜，20，9分）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是，A端到地面的距离AC为4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角为45°，在水池的內沿E测得支架A端的仰角为50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到）（sin65°≈，cos65°≈，tan50°≈）【思路分析】过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G．先解Rt△ABF求出AF和BF的长；再解Rt△ACE求出CE的长；利用DE=CD－CE可解．【解题过程】解：过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G．在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB·sin∠BAF×．AF=AB·cos∠BAF×，∴FC=AF+AC．由题意可知四边形FCGB是矩形，∴BG=FC，CG=BF．∵∠DBG=45°，∴∠DBG=∠GBD，∴GD=GB，∴CD=CG+GD．在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE==≈．∴DE=CD－CE－≈．答：小水池的宽是m．【知识点】解直角三角形；锐角三角函数19.（2018上海，21，10分）如图7，已知△ABC中，AB=AC=5，tan∠ABC=.(1)求边AC的长；(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值.【思路分析】(1)过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△AEB中，根据tan∠ABC==，设出AE=3x，BE=4x，根据勾股定理求出AB的长，进而求出x的值和BE、CE的长，再在Rt△AEC中，运用勾股定理求出AC的长.(2)根据条件得出DF∥AE，再运用平行线分线段成比例定理求解.【解答过程】(1)过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△AEB中，∠AEB=900，tan∠ABC==，设AE=3x，BE=4x，根据勾股定理，得AB=5x=5，则x=1，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC-BE=5-4=1.在Rt△AEC中，∠AEC=900，∴AC=.(2)如图BC的垂直平分线交AB于D，交BC于F，则BF=CF=BC=2.5，∴EF=FC=EC=2.5-1=1.5.∵∠AEC=∠DFC=900，∴DF∥AE，∴.20.（2018云南省昆明市，19，7分）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB＝10m，隧道高6．5m（即BC＝6．5m），求标语牌CD的长．（结果保留小数点后1位）（参考数据：sin42°≈0．67，cos42°≈0．74，tan42°≈0．90，≈1．73）【思路分析】（如上图（1），连接CB，过点A作AE⊥BD于E，在Rt△ACE中，利用特殊角的三角函数值求出CE的长，再在在Rt△ADE中，求出DE的长，即可求得CD的长度．【解题过程】解：如上图（1），连接CB，过点A作AE⊥BD于E，则在Rt△ACE中，∵∠EAB＝30°，AB＝10m，∴AE＝AB·cos30°＝10×＝5，BE＝AB·sin30°＝10×＝5，又∵BC＝6．5m，∴CE＝BC－BE＝CE＝6．5－5＝1．5，在Rt△ADE中，∵∠EAD＝42°，AE＝5，∴DE＝AE·tan42°＝5×0．9≈5×1．73×0．9＝7．785，∴CD＝DE－CE≈7．785－1．5＝6．285≈6．3（m）．【知识点】解直角三角形；勾股定理，三角函数；相似三角形的判定和性质；一元二次方程的解法；矩形的判定和性质21.(2018黑龙江大庆，22，6)如图一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向。与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间之后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离。(参考数据:≈2.449，结果保留整数)【思路分析】作PC⊥AB于C，由已知可得△ABO中∠A＝60°，∠B＝45°且PA＝80m，要求OB的长，可以先求出PC和BC的长．【解答过程】解：由题意可知：作PC⊥AB于C，∠ACP＝∠BCP＝90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°．在Rt△ACO中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°∴AC＝AP＝40m，PC＝AC＝40m．在Rt△BPC中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝40m．∴PB＝＝40≈40×2.449≈98(海里)．答：轮船所在的B处与灯塔P的距离大约为98海里．22.（2018湖北恩施州，20，8分）如图9所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30方向上，然后向正东方向前行100米至B处，测得此时C在北偏西15方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据1．41，1．73）【思路分析】这是一个有关三角形的实际应用问题，考虑用勾股定理．而勾股定理的应用前提是在直角三角形中，因此必须在三角形内作垂线，构造出直角三角形．过点B作BD⊥AC，这样就得到等腰直角△BCD和一个角为的Rt△，各边边长迎刃而解．【解答过程】过点B作BD⊥AC，垂足为D．∵∠ABD＝30°，AB＝100m，∴AD＝50m，BD＝，又∵△BDC为等腰直角三角形，∴CD＝BD＝m，∴AC＝AD＋CD＝m即旗台与图书馆之间的距离为()m．23.（2018湖北十堰，19，7分）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45度方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30度方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：EQ\R(,2)≈1.414，EQ\R(,3)≈1.732，结果取整数）【思路分析】过C作CD垂直于AB，根据题意求出AD与BD的长，由AD＋DB求出AB的长即可．【解答过程】作CD⊥AB于D．（如答图）在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，∠ACD＝90°－45°＝45°．∴CD＝AC•cos45°＝100×EQ\F(\R(,2),2)＝50EQ\R(,2)在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝30°．∴BC＝2CD＝100EQ\R(,2)海里≈173海里答：B处距离灯塔P有173海里．24.（2018湖北随州20，8分）（本题满分8分）随州新厥水一桥（如图1）设计灵感来源于市花——兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC＝∠DEB＝45°，∠ACB＝30°，BE＝6米，AB＝5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．【思路分析】（1）证明∠BDE＝90°后，在Rt△BDE中，已知∠ABC＝45°及斜边BE的长，求∠ABC的对边DE的长，需用∠ABC的余弦求解．（2）根据BD＝DE，AB＝5BD，先求得AB长，再过点A作AM⊥BC于点M，利用解直角三角形知识和直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半求解．【解答过程】（1）∵∠ABC＝∠DEB＝45°，∴∠BDE＝90°，BD＝DE，在Rt△BDE中，DE＝BE·sin∠ABC＝6×sin45°＝3(米)．即最短斜拉索DE的长为3米．（2）过点A作AM⊥BC于点M，由（1）知，BD＝DE＝3，AB＝5BD＝5×3＝15．在Rt△ABM中，AM＝AB·sin∠ABC＝15×sin45°＝15(米)．∵∠ACB＝30°，∠AMC＝90°，∴AC＝2AM＝2×15＝30（米）．即最长斜拉索AC的长为30米．25.(2018湖南邵阳，24，8分)某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图(十四)所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．，温馨提示：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)【思路分析】本题考查的是解直角三角形.在Rt△ABD中，根据“含30°角直角三角形的性质”求出AD的长；再在Rt△ACD中，根据sin∠ACD＝，求出AC即可．【解答过程】解：由题意可知，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB＝5m．在Rt△ACD中，sin∠ACD＝．因为∠ACD＝15°，AD＝5m，所以．解得AC．答：AC的长度约为19.2m.26.（2018湖南省株洲市，22，8）下图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速线右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝，MN＝2千米，点A和点N是城际铁路线L上的两个相邻的站点．道路线道路线l1道路线l2道路线l3αMNABC城际铁路线L第22题图（1）求l2和l3之间的距离；（2）若城际火车的平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数形式表示）【思路分析】（1）直接利用锐角三角函数关系得出DM的长即可得出答案；（2）添加辅助线，得到包含MN的直角三角形，再解直角三角形即可．【解题过程】（1）过点M作MD⊥NC于点D．∵cosα＝，MN＝2千米，∴cosα＝．解得DM＝2（千米）．2分答：l2和l3之间的距离为2千米．（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米．∴tan30°＝．解得AB＝3（千米）．可得AC＝3＋2＝5（千米）．4分∵MN＝km，DM＝2千米，∴DN＝（千米）．则NC＝DN＋BM＝5（千米）．6分∴AN＝＝＝10（千米）．∵城际火车平均时速为150千米/小时，∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要：小时．8分道路线道路线l1道路线l2道路线l3αMNABC城际铁路线L第22题答图D【知识点】解直角三角形的应用−方向角问题27.（2018辽宁省抚顺市，题号21，分值12）如图，BC是路边坡角30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A，B，C，D，M，N均在同一平面内，CM∥AN）.（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度(结果精确到0.1米）.(参考数据：)【思路分析】（1）延长DC交AN于E，根据题意，得∠DBN=60°，BC=10米，∠CBN=30°，CM∥AN，∴∠BDE=30°，∠DEB=90°.∴CE=BC=5米,BE=BC=米.∴DE=BC=15米.∵DE=DC+CE,∴CD=10米.（2）由（1）可知，DE=15米，BE=米.由AE=AB+BE，tan∠DAN=,∠DAN=37°，即可求出AB的长度.【解题过程】解：（1）延长DC交AN于E，∵∠DBN=60°，BC=10米，∠CBN=30°，∠DCM=90°，CM∥AN，∴∠BDE=30°，∠DEB=90°.∴CE=BC=5米,BE==BC=米.∴tan∠DBE==,解得CD=10米.（2）由（1）可知，DE=15米，BE=米.∵AE=AB+BE，tan∠DAN=,∠DAN=37°，∴,解得AB≈11.4米.【知识点】解直角三角形的应用—坡度，锐角三角函数的定义，特殊角三角函数值.28.（2018·宁夏，21，6）已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N．（1）求证：△ABE≌△BCN；（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE．【思路分析】（1）先利用正方形的性质，得AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，再利用CN⊥BE，结合同角的余角相等的性质，得∠ABE＝∠BCN，最后利用两角及夹边分别相等的两个三角形全等即可证明△ABE≌△BCN；（2）由线段中点定义，得BN＝AB，再根据△ABE≌△BCN，得AE＝BN，最后利用正切函数定义即可得到tan∠ABE的值．【解题过程】解及证：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°．∴∠ABE＋∠CBM＝90°．∵CN⊥BE，∴∠BCN＋∠CBM＝90°．∴∠ABE＝∠BCN．在△ABE和△BCN中，，∴△ABE≌△BCN（ASA）．（2）∵△ABE≌△BCN，∴AE＝BN．∵N为AB的中点，∴BN＝AB．在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝＝．【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定；锐角三角函数29.（2018四川眉山，22，8分）知识改变世界，科技改变生活。导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)【思路分析】本题考查锐角三角函数在实际生活中的应用，解题的关键是通过作高将原三角形分割成两个直角三角形，设线段的长，运用三角函数表示出其余各边的长，最后列方程解决问题．【解答过程】过B作BD⊥AC，垂足为D，设AD＝x，在Rt△ABD中，tan∠A＝，即：∴BD＝，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，即：，∴CD＝，＋x＝13，解方程得：x＝．∴BD＝12－，在Rt△BCD中，cos∠CBD＝，即：，∴BC＝．答：B、C两地的距离为（）千米．30.（2018年浙江省义乌市，21，10）如图1，窗框和窗扇用“滑