弦弧圆心角张雅丽

24.1.3弧、弦、圆心角o

平行四边形绕对角线交点o旋转180°后与原来的平行四边形重合，我们知道这样的图形叫中心对称图形，o是对称中心。1、圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?·圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.2、圆除了旋转180°后能重合外，旋转的角度是多少的时候也能与原图形重合？思考：把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NO把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，ONN'把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON'把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON'把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，由此可以看出，点N'仍落在圆上。NON'

平行四边形绕对角线的交点0任意旋转一个角度后并不总能与原图形重合；而⊙

0绕圆心旋转任意一个角度后总能与原图形重合。圆特有的性质：圆的旋转不变性概念：∠AOB是圆心角∠AOB不是圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.．BAOBAO任意给出一个圆心角，对应出现两个量：圆心角弧弦·OBA探究：问题：这三个量之间会有什么关系呢？

如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？·OABA·OBA′B′A′B′AB=A′B′即：AB=A′B′︵︵根据旋转的性质：（1）∠AOB＝∠A′OB′，则射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．（2）OA=OA′，OB=OB′，则点A与A′重合，B与B′重合．因此，AB

与A′B′

重合，AB与A′B′重合．︵︵同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧________．这样，我们就得到下面的定理：相等相等相等相等在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．A1B1O1ABO如图，在圆0和圆01中，如果圆心角∠AOB=∠A1O1B1，那么弦AB与A1B1相等吗？AB与A1B1相等吗？为什么？⌒⌒不相等，因为他们不是在等圆中思考：OαABA1B1α

同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。等对等定理延伸：知一推二等对等定理整体理解：等弧等圆心角等弦圆心角(2)弧(3)弦如图，AB、CD是⊙O的两条弦。（1）如果AB=CD，那么

，

。（2）如果AB=CD，那么

，

。（3）如果∠AOB=∠COD，那么

，

。（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？巩固练习1：︵︵︵AB=CD︵︵AB=CD︵∠AOB=∠CODAB=CDAB=CD∠AOB=∠CODOE=OF（三角形全等或全等三角形同一边上的高相等）例1：已知如图（1）⊙O中，AB、CD为⊙O的弦，∠1=∠2，求证：AB=CD变式练习1：如图（1），已知弦AB=CD，求证：∠1=∠212ABCDO（1）变式练习2：如图（2），⊙O中，弦AB=CD，求证：BD=ACABCDO变式练习3：如图（2），⊙O中，弦BD=AC，猜测∠A与∠D的数量关系。（２）证明：∵AB=AC∴AB=AC，△ABC是等腰三角形又∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠AOC例1:如图，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。应用1：︵︵OBCA︵︵如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。OABEDC︵︵︵∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°∴∠AOE=180°-∠COB-∠COD-∠DOE证明：∵BC=CD=DE︵︵︵应用2：=180°-35°×3=75°4.如图：已知OA.OB是⊙O中的两条半径，且OA⊥OB,D是弧AB上的一点，AD的延长线交OB延长线于C。已知∠C=250，求圆心角∠DOB的度数，ＣＯＤＢＡ应用3：OCABDMN例2：如图所示，AB是⊙0的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB交圆于点C，DN⊥AB交圆与点D，求证：

AC=BD︵︵证明：连接OC、OD∵M、N分别是AO、BO的中点,

而OA=OB∴OM=ON在Rt△COM和Rt△DON中OC=ODOM=ON∴Rt△COM≌Rt△DON（HL）∴∠AOC=∠BOD∴AC=BD︵︵已知：AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的中点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。求证：AC=BDＡＤＣＮＭＢ练习·O例3：已知：如图（1），已知点O在∠BPD的角平分线PM上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，求证：AB=CDOPACDMB（1）变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与A、B、C、D，AB=CD求证：点O在∠BPD的平分线上OPACDB（2）变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB，求证：PA=PBPABO(3)变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中还存在相等的弦吗？APCBDO（４）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=＿＿＿度。BACO思考1°弧n°1°n°弧∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做1º的弧.这样,1º的圆心角对着1º的弧,1º的弧对着1º的圆心角.nº的圆心角对着nº的弧,nº的弧对着nº的圆心角.性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.小结（2）所对的圆心角和所对的圆心角相等在两个圆中，分别有,若的度数和相等，则有