动态规划常见基础模型

动态规划(1)

基础模型戴一桥

电信2011级前言动态规划是信息学竞赛中选手必须熟练掌握的一种算法，他以其多元性广受出题者的喜爱。基本模型：多阶段过程的最优化问题使用动态规划的条件最优化原理无后效性子问题的重叠性给你一个数字三角形,形式如下:12345678910找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大.搜索？2^n怎么办？动态规划！F[i][j]=max(f[i-1][j-1]],f[i-1][j])+a[i][j]三条件最优化原理：一个最优化策略的子策略总是最优的。无后效性：对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。子问题的重叠性：动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。三要素F[i][j]=max(f[i-1][j-1]],f[i-1][j])+a[i][j]状态阶段决策最长上升子序列给出一个由n个数组成的序列a[1..n]，找出它的最长单调子序列的长度。问题分析：如果前i-1个数中用到a[j](a[j]<a[i])构成了一个的最长的上升序列，加上第i个数a[i]就是前i个数中用到i的最长的序列了。从上面的分析可以看出这样划分问题满足最优子结构，那满足无后效性么？显然对于第i个数时只考虑前i-1个数,显然满足无后效性，可以用动态规划解。最长悉上升沉子序箩列状态泥转移骂方程f[嗓i]携=m执ax需(f略[j阴])烧+1(0倒<=幸j<芹i且a[攻j]撇<a添[i讽])Fo醒r监(i土=1刘;i够<=廊n;赴i+海+)Fo氏r非(j荒=1谎;j耐<i谢;j浮++袄)If吵(谦a[锡j]尽<a主[i称])F[役i]愈=棕m永ax凯(f因[i迈],连f[槐j]阅+1蓬);拦截桐导弹po锯j1票88清7某国糖为了蒸防御滤敌国害的导司弹袭困击，牢发展敌出一六种导体弹拦盐截系订统。床但是白这种席导弹熄拦截泡系统俩有庄一个模缺陷黑：虽然然它峰的第过一发位炮弹绕能够甚到达元任意槐的高骄度，团但是血以后轻每一愤发炮防弹都戴不能愚高仍于前杰一发刊的高逐度。禾某萝天，副雷达扇捕捉聚到敌愉国的垃导弹怪来袭痒。由寺于该事系统醋还在远试用滴阶段迁，所兵以煮只有净一套昼系统践，因肝此有婆可能秒不能召拦截泊所有逗的导挎弹。腾输入涝导弹未依次知飞来件的高发度，拉计算做这套列系统殿最多砌能拦斩截多偶少导场弹。状态狡的表糖示f[宝i]表示艺当第i个导探弹必耕须拦按截时铅，前i个导江弹最启多能霜拦截稼掉多巾少。状态酒转移拜方程f[i悉]=怠ma底x(望f[片j]迁)+田1(0宏<=恒j<火i且a[亿j]埋<a誓[i荐])合唱柔队形N位同改学站其成一摆排，血音乐铅老师回要请季其中筑的(N叼-K趴)位同刺学出裳列，循使得贤剩下摄的K位同葛学排终成合宿唱队葱形。合唱锅队形间是指仰这样却的一共种队农形：奏设K位同币学从令左到高右依盯次编斤号为1，2…，K，他交们的争身高哄分别轰为T1，T2，…，TK，价则仅他们级的身敞高满呈足T1所<.汗..车<T磁i>皂Ti锻+1剥>…铜>T叠K(尾1<罢=i饰<=啊K)。你的钓任务娘是，鲁已知候所有N位同帅学的犹身高税，计穷算最亏少需友要几市位同洗学出惧列，届可以欺使得滴剩下梯的同开学排停成合缓唱队邮形。(p喇oj疤2瞎71恭1)分别柱从前腐往后论，从擦后往正前做胸最长么上升旅子序欠列最后谜扫一促遍，溪寻找膛两种跌序列浙和长腊度最角大的鹅值类似赖的问度题：最长黄下降您子序社列最长匆上升刊子串最长著公共殖子串滑雪埋问题（po何j1孙08琴8）Mi饺ch渴ae骨l喜欢野滑雪僚百这翠并不马奇怪加，青因为瞒滑雪必的确鞋很刺歪激。艳可是未为了坚获得解速度黎，滑取的区献域必解须向挤下倾拍斜，艰而且杀当你换滑到罢坡底迈，你牢不得弹不再秤次走粗上坡箩或者矿等待畜升降旧机来喘载你肺。Mi铺ch她ae想l想知叹道在触一个辆区域谦中最伐长底嫁滑坡扔。区彻域由劝一个邀二维兵数组熊给出烈。数巨组的棵每个锐数字埋代表谱点的讯高度怎。下您面是猎一个灯例子1昌2蛇3油4剑516异1萌7灭1叠8涝1竭9剖615战24址25虽20肺714剩2懒3组22腥21伙813后1息2播1泡1与1平0赞9按照岛高度励，从脂大到仁小排往列，恐然后却利用蓄动态归规划诊往一生个高溉度下祥降的章方向多就可椅以处恳理，讯转换齐为类后似于日最长湿上升嫌子序梨列问核题F[稻i]厌=m脆ax画(f内[j俘])术+1(a叨[i刑]<卧a[驻j]断)区域榆动归【石子析合并】在一爱个圆瞒形操鼻场的拳四周束摆放播着n堆石喷子。穗现要土将石役子有魂次序孙地合耕并成纲一堆航。规巡寿定每窃次只筒能选抬相邻衰的2堆石匆子合暗并成沉新的扮一堆纱，并辅将新牵的一中堆石见子数师记为款该次婶合并灭的代最价。试设丘计一令个算义法，芹计算丈出将n堆石臣子合设并成踩一堆瓜的最晒小代造价。阶段音：石俘子的屿每一短次合稻并过秆程，吐先两甜堆合旗并，杆再三修堆合惰并，..沿.最后N堆合杆并状态葱：s[燃i,膨j]表示肉从编绣号为i的石溉头开垒始合耕并j堆决策惭：把浑当前锋阶段自的合惊并方踩法细树分成论前一完阶段剥已计泄算出隐的方排法，诊选择居其中俯的最皇优方哑案第一返阶段俱：两语堆合床并过隙程如衣下，矿其中su也m(粘i,劝j)表示毕从i开始缩慧数j个数浓的和s[趴1,馒2]冶=s候[1失,1逐]+壤s[庙2,茶1]颜+s猾um树(1眯,2筒)揉s[台2,沙2]壮=s面[2会,1涝]+筑s[店3,羞1]楚+s路um贪(2贺,2培)诸s[忠3,仿2]贿=s泻[3欲,1日]+诸s[讯4,弹1]畜+s舌um浇(3述,2届)献s[筝4,滴2]圈=s绪[4屑,1置]+吗s[停5,屠1]扶+s宾um恢(4席,2屠)扶s[坛5,挠2]蛇=s惠[5铅,1朗]+摸s[诊6,仙1]剪+s茧um刘(5视,2储)义s[考6,贵2]颠=s棋[6公,1熔]+恳s[掌1,尸1]椒+s坏um政(6絮,2她)第二淹阶段特：三场堆合淡并可带以拆土成两镰两合驰并，倒拆分元方法家有两顶种，俱前两养个为谨一组义或后改两个泄为一收组s[容1,坚3]朗=s前[1紫,2矿]+负s[宏3,叼1]见+s趣um渗(1困,3顶)s[阴1,拿3]傍=s塑[1锻,1请]+技s[疮2,辩2]谱+s冰um弱(1灰,3宗)s[渡2,丹3]营=s邮[2没,2厉]+锡s[村4,瓣1]乖+s方um岛(2匹,3晌)s[化2,即3]制=s阅[2论,1屠]+颠s[挡3,还2]进+s桥um透(2度,3遮)第三身阶段锤：四肠堆合到并的耕拆分缺方法盾用三宴种，欧同理贸求出士三种凳分法听的得锹分，岔取其振最优腔即可斑。以秃后第危四阶络段、碧第五嘴阶段法依次见类推证，最考后在世最后衡阶段棚中找崇出最缩慧优答舅案即炉可状态肝转移斗方程F[喇i,引j]商=m雷ax掘(f安[i树][普k]誉+f诉[i遮+k认-1访][纱j-忽k)苏])宝+s流um桥[i闪,j道]时间怠轴动旨归To荣m的烦悄恼To迅m加工钳一些欧不同捞零件替，不伴同零泪件的旷加工准费和栗加工妨时间虹要求时不同懂，有转些加惜工时岸间要党求甚穷至是撒冲突凉的（晓但开锦始和农结束纸时间荐相同陈不算罢冲突施）在善某个滩时间杀内他律只能榜选择田某种竭零件柄加工徐（因腿为他下只有傍一台塑机器逃），接为了渗赚得域尽量改多的鼓加工亏费，To摩m不知悲如何臂进行炼取舍患，现翁在请企你帮To季m设计焰一个需程序杂，合响理选己择部稳分（愉或全末部）背零件返进行翅加工口，使堆得得原到最望大的泡加工洞费。输入袋文件in亮pu闸t.胶tx停t的第途一行趁是一史个整般数n表示祥共有n个零基件须慨加工禁。接躬下来盈的n行中沉，每爪行有3个整支数，设分别垦表示嗓每个电零件蒙加工赛的时原间要浮求，眠第一梯个表铜示开眯始时灭间，炸第二河个表浑示该丈零件镇加工肤的结遗束时拳间，凉第三治个表法示加喉工该察零件箱可以查得到杆的加泄工费锅。（朽数据殿中的家每个沾数值绳不会苹超过10乞00济00）输出谋文件ou施tp妙ut墓.t疮xt只包撇含一垫个整问数，酿表示To回m可以律得到骨的最材大加甩工费瞧。结疯果输德出到疏文件ou塑tp鱼ut牛.t窝xt输入豪输出貌样例【输入册样例】31区3苏104蓬6温202王5滑25【输出龄样例】30用su烤m[裁i]表示城到达宫时刻i时所朵能得沾到的帽最大间收益脸，用a[巾j,铁1]表示酱任务j的开墙始时傍间，a[扛j,清2]表示莲任务j的结见束时五刻，b[已j]表示允任务j完成容所得隔的加随工费巨。状态后转移背方程su堵m[伶i]假=m塘ax返{s撞um典[k健]兼+b症[j估]究|阻1<毕=k萄<=祥a[小j,董1]赚<a伙[j貌,2粱]<＝i}核心列程序肝如下su维m[真0]亚:=何0;陡f呢or驻i厌:=邻1虎to粮m妥d奔o笨be长gi烂n龄ma盛x:玩=0义;窝fo置r东j:贷=1想t悬o吓n贴do领i彩f被a[六j,歇2]郑<=摘i筒th客en仁i芬f刚ma眉x<揉su碎m[榜a[部j,宫1]附]+烂b[棋j]耗th皂en稻m盈ax涌:=宝su锤m[胜a[胳j,店1]谣]+抓b[趣j]浅;宪su掀m[谢i]饰:=蜜ma喝x;把e霞nd曾;算法秀优化1、原炎算法梨的时市间复浪杂度公是？2、是阴否有席优化貌的余俘地？3、排妈除重修复是欢本题脾一个四优化到的方接向优化晃后的挽核心但算法馒部分对所沫有任侄务按昼照结恶束时筐间进贸行从任小到速大排课序；计算寄最后敏一个低任务月的结基束时倒刻m；an挤s[挨0]导:=译0;fo预r困i:群=1猎t州o索m旁dobe售gi替nan录s[事i]两:=晓an脆s[货i-熟1]委;if当前约有任有务j刚好忘结束(j可能党不止遮一个)湿th吃enbe去gi芝nif带a尚ns粗[i炒]<塞an课s[揭a[唤j,南1]应]+州b[香j]到t迎he板n娘an挥s[严i]依:=饶a雷ns赛[a育[j完,1级]]岗+b玩[j蚀];en兵d;en维d;传纸纪条no蝴ip恒2宪00下8而小古渊和荣小轩编被安们排在m行n列矩刻阵对芦角线支的两史端，摊因此禾，他李们就符无法掩直接侍交谈饼了。恭幸运腹的是黑，他况们可妨以通销过传旁纸条局来进痛行交纪流。轻从小皇渊传览到小期轩的戏纸条震只可礼以向泻下或叛者向若右传墓递，尚从小粘轩传间给小南渊的戒纸条涉只可侵以向江上或榜者向纽奉左传城递。多进辈程动与归班里迷每个授同学福都可惊以帮坊他们灵传递涂，但之只会睁帮他症们一网次。还有唐一件励事情汉需要兔注意品，全指班每器个同驶学愿勿意帮许忙的长好感禾度有垂高有在低，浮可以梁用一村个0-象10巩0的自游然数尼来表医示，慈数越课大表掌示越渡好心叼。小绑渊和欧小轩懒希望掉尽可闲能找犁好心古程度孝高的秋同学曾来帮察忙传隆纸条候，即示找到巩来回纸两条陡传递泼路径旁，使刘得这喷两条捉路径庸上同货学的饮好心既程度弦之和针最大较。输践出最恼大的些好心插程度姐之。问题忘简化假定酷小渊遭传给塑小轩侮，小握轩无跌需回混复。数字广三角饰形！F[益i]惠[j竟]=敢ma粱x(幼f[幼i-童1]糟[j汪-1堆]+让f[夫i-铁1]千[j亲])浑+a哄[i晋][膛j]两条厦路加一成维！F[母i]减[j吃][协k]位=ma稀x(苗f[射i-浸1]摇[j顶-1泻][晌k-君1]劳,慈f[轧i-笋1]愧[j宣-1锹][委k]班,f[百i-嫂1]滥[j败][确k-贫1]碎,何f蜂[i勾-1障][冬j]脱[k杆])赵+a他[i疤][蛋j]庆+a安[i阵][谷k]对吗藏？加判边断！F[落i]烛[j罩][赚k]盯=ma饺x(染f[往i-遭1]秃[j洒-1判][插k-羊1]梢,华f[仙i-带1]狂[j闭-1心][谅k]妄,f[遣i-票1]杆[j甲][盘k-背1]毙,港f鬼[i骨-1叉][足j]狮[k瘦])踏+a铃[i礼][感j]塞+a唇[i窝][翼k]j!振=k果&宴&不能旬从上塔一行童的同誉一个奋格子追转移背包业引入有N件物浇品和朋一个涌容量挠为V的背淋包。塘第i件物漂品的援容量扁为1，价乔值是w[约i]。求膝解将滋哪些包物品赌装入帝背包科可使眉这些背物品笋的费鹊用总胆和不假超过感背包废容量当，且方价值每总和柳最大源。01背包有N件物柴品和禽一个暑容量看为V的背牢包。次第i件物本品的何费用奖是c[轿i]，价度值是w[害i]。求缠解将要哪些洁物品径装入茎背包问可使之这些洲物品睛的费渠用总员和不超超过桑背包兄容量检，且描价值朴总和堂最大驳。这是叙最基身础的矩背包蒜问题示，特躺点是瞧：每喷种物罗品仅苹有一填件，林可以熔选择废放或薪不放舍。f[购i]吉[v黎]表示狭前i件物晒品恰粥放入择一个弯容量愧为v的背诉包可尿以获修得的包最大根价值拢。f[遇i]伶[v淹]=驳ma矩x{外f[纸i-双1]咏[v么],台f[钥i-殃1]清[v迟-c齿[i劳]]僚+w阁[i掠]}炎。空间阻优化fo袭r跟i=破1.彩.Nfo躁r湿v=素0.瓜.Vf[效v]悬=m院ax匀{f带[v乎],蜓f[屑v-庸c[哄i]榴]+删w[母i]乘};不对牢！会导吼致物蔽品重报复购挺买fo跑r岔i=猾1.房诚.Nfo驱r遭v=挥V.悼.0f[袄v]雀=m猜ax减{f哥[v僵],祸f[篮v-茧c[益i]放]+厅w[割i]固};空间码复杂收度O(摇V)完全盲背包有N种物闷品和限一个泻容量恐为V的背流包，摩每种棕物品间都有糠无限临件可晒用。笨第i种物念品的舒费用跨是c[亏i]，价蜂值是w[观i]。求墓解将选哪些叨物品期装入愧背包名可使楚这些树物品炼的费才用总惑和不伙超过当背包圣容量售，且楚价值石总和蒸最大膀。f[小i]兼[v刚]=惯ma邮x{哗f[输i-蚁1]顷[v象-k士*c裳[i多]]霸+k死*w坐[i摊]|起0<伐=k模*c籍[i鞠]<姥=v}这跟01背包齿问题梅一样蚀有O(勿N*阅V)个状劈燕态需古要求邻解。轻求解戒状态f[犹i]终[v矮]的时恩间是O(薄v/拥c[忘i]始)，总杨的复验杂度钓是超庸过O(华VN狮)的优化把第i种物纱品拆趋成费观用为c[谈i]秀*2脂^k敬、价值干为w[殖i]横*2拖^k的若症干件栏物品井，其饥中k满足c[咐i]悠*2竭^k踏<V二进公制的滥思想这样贴把每穷种物峡品拆亭成O(发lo踩g(针V/导c[大i]鼓))件物鸦品，穿得到陈了更死优的O(亲VN瞎)的算恰法。多重嘴背包有N种物扰品和均一个丈容量弓为V的背显包。私第i种物耀品最勉多有n[恋i]件可悬用，街每件掘费用堂是c[拘i]，价烘值是w[志i]。求赴解将对哪些哗物品基装入爽背包纷可使班这些助物品布的费战用总肆和不姿超过橡背包连容量途，且鼓价值汗总和藏最大棒。这题相目和致完全鸟背包江问题顺很类评似。令基本隆的方瓶程只启需将港完全悉背包地问题抽的方裕程略陶微一傍改即赵可，势因为宫对于耕第i种物赖品有n[愉i]惯+1种策椅略：第取0件，谜取1件……取n[序i]件。浆令f[软i]南[v欣]表示捞前i种物世品恰热放入阿一个虏容量幕为v的背军包的扑最大捉权值筋，则烛：f[树i]歌[v帐]=改ma麻x{插f[渐i-疗1]割[v参-k萍*c寇[i艇]]挺+k巧*w疲[i问]|骗0<文=k垄<=寸n[丈i]钟}。二维枯费用终的背屋包二维移费用俯的背臣包问衬题是源指：赤对于角每件饥物品渔，具放有两装种不丛同的诊费用地；选似择这在件物予品必间须同津时付拔出这钱两种佩代价义；对手于每辱种代圈价都踪蝶有一液个可谊付出仿的最柳大值县（背篇包容黄量）牺。问可怎样荒选择届物品陶可以他得到关最大茎的价帽值。回设这塘两种樱代价玻分别眼为代御价1和代抗价2，第i件物侍品所虎需的流两种障代价答分别按为a[河i]和b[校i]。两代种代上价可侧付出牵的最谱大值炒（两全种背番包容佣量）膨分别再为V和U。物缓品的狮价值名为w[箱i]。费用哈加了摇一维读，只间需状终态也贼加一城维即廉可。续设f[撑i]叹[v摇][负u]表示恢前i件物隙品付酿出两所种代菌价分娱别为v和u时可墓获得豆的最闭大价浩值。婆状态轨转移篮方程权就是五：f[偷i]雹[v秧][诵u]岸=m仪ax笋{f墨[i倘-1沫][俯v]摊[u箱],夜f[敬i-匆1]盛[v驾-a盼[i拆]]宏[u痕-b寺[i删]]孩+w规[i煎]}堆。有依敏赖的着背包这种貌背包逗问题都的物速品间付存在偶某种归“依碎赖”驶的关梯系。巩也就昨是说切，i依赖盼于j，表度示若时选物速品i，则守必须闪选物倦品j。金明议的预斤算金明棚今天直很开劣心，顷家里赔购置盒的新潮房就宏要领膝钥匙污了，兵新房诉里有搬一间煤金明虽自己免专用寨的很矛宽敞搬的房剥间。宇更让饭他高早兴的像是，嫂妈妈状昨天