届高考数学考点回归总复习《第三十四讲 基本不等式及其应用》课件

第三十四讲基本不等式及其应用回归课本1.算术平均数如果a,b∈R+,那么 叫做这两个正数的算术平均数.2.几何平均数如果a,b∈R+,那么 叫做这两个正数的几何平均数.3.重要不等式如果a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,取“=”);均值定理:如果a,b∈R+,那么

(当且仅当a=b时,取“=”).均值定理可以叙述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.5.已知x、y都是正数,则(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取最大值(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.应用此结论要注意三个条件;“一正二定三相等”,即:①各项或各因式为正;②和或积为定值;③各项或各因式都能取得相等的值.考点陪练1.函数y=log2x+logx2的值域是()A.(-∞,-2] B.[2,+∞)C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案:D2.已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为()答案:A答案:C答案:B答案:D类型顶一所证明扯不等定式解题遍准备秤:证裕明不锋等式澡是均歪值不牛等式却的一河个基舍本应吧用,附注意裙分析搞不等汁式的逆左右涉两边存的结遥构特浓征,愿通过扛拆(捷添)闹项创盒设一谎个应轨用均畏值不转等式送的条馋件.葡在解屡决本佩类问次题时昂注意佳以下脑几点或:(遭1)庄均值农不等候式成猜立的昂前提锹条件管;(诉2)篮通过河加减户项的初方法谨配凑溪成算锻术平盒均数膜、几挑何平叼均数苍的形抱式;络(3跪)注置意“院1”尝的代柱换;省(4绣)灵渐活变伍换基夫本不敞等式薄的形呢式并猜注意俭其变飘形式斤的运跌用.【典巨例1估】证量明:园a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥a似bc参(a腰+b荐+c泰).[分贷析]栽利用独a2+b2≥2菌ab密(a玻,b色∈R明)求接证即篮可.[证领明]伶∵a4+b4≥2掌a2b2,b4+c4≥2席b2c2,c4+a4≥2降c2a2,∴2上(a4+b4+c4)≥蚕2(案a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2团ab2c,鬼b2c2+c2a2≥2参ab怪c2,c2a2+a2b2≥2及a2bc浪,∴2船(a2b2+b2c2+c2a2)≥妻2(句ab2c+西ab落c2+a2bc字),即a2b2+b2c2+c2a2≥a凶b2c+发ab危c2+a2bc粉=a反bc葛(a犁+b旷+c枯).即原拐命题锁可得肯证.类型英二发求最自值解题络准备禽:1污.利衫用基拨本不辰等式参可以犹求一控些函千数或路代数均式的念最值针.2.编应用鼓重要学不等滚式和窗基本胃不等厨式可淡以得比到一死些常伸用的呢不等迹式,逢主要衰有:类型光三降利用即均值童不等案式解毛应用疫题解题草准备用:均巷值不搭等式距作为匠求最友值的你常用讽工具盖,经积常在蛙有关江最优富解的脱实际榆问题滨中应牙用.膝应用金均值昨不等吧式解跃决实茶际问娱题的铸基本享步骤纷是:仓①仔碌细阅蝴读题赖目,锯透彻劝理解隙题意康;②抄分析免实际剩问题颈中的锋数量探关系鼓,引拜入未躬知数也,并宴用它岁表示素其它砌的变捎量,抱把要飞求最跟值的微变量她设为肿函数籍;③斥应用滚均值盖不等袋式求坝出函势数的辜最值淡;④蔑还原耳实际翻问题镰,作递出解逢答.【典绝例3邀】某安工厂桂拟建剩一座貌平面征图为骨矩形敞且面颂积为鲁20确0寨m2的三秆级污五水处床理池助(平夜面图睡如图族所示泡).鄙如果应池四溜周围炮墙建然造单雾价为籍40扛0元责/m藏,中愉间两播道隔圣墙建衡造单梳价为纷24省8元穗/m惹,池留底建遵造单歪价为拐80格元/眯m2,水离池所代有墙崖的厚恼度忽降略不演计.(1蜘)试烤设计忘污水必处理辨池的昨长和牢宽,眉使总译造价箱最低眨,并膜求出妈最低惧总造坚价;(2残)若衣由于跳地形皮限制睡,该致池的搁长和米宽都钓不能绒超过谨16娇m北,试冠设计达污水寸池的需长和差宽,切使总瞧造价落最低芳,并均求出衔最低英总造顺价.[反叶思感寄悟]恨不等搏式应验用的碎特点互是:犹(1征)问效题的琴背景垄是人常们关遗心的酸社会训热点抵问题厚,如撇“物时价､罪税收始､销明售､督市场荒信息便”等燃,题记目往暗往篇关幅较欢长.股(2险)建密立函裤数模涌型常编见的增有“钩正(斯反)维比例料函数夫､一铺次函源数､触二次何函数果､指蒸数函肚数､岁对数掉函数第､三代角函嗓数,浙以及废”等课形式炊.解关函数筹应用嗽题中府的最导值问封题一征般利紫用二撤次函影数的身性质私或基侦本不器等式列来解思决.错源慢一聪忽气视等板号成薪立的宰条件[剖样析]扬解法纹一和透解法畏二的音错误摔原因凑是等恋号同探时成械立的虑条件乌不具酒备,纳因此搁使用惯基本锡不等班式一灿定要悼验证来等号拔成立码的条恩件,夺只有余等号绵成立奔时,尽所求初出的服最值傲才是勺正确国的.错源旨二乒忽停视均伞值不久等式坡应用袭条件训致误[答案](汗-∞派,-燃1]所∪[发3,萍+∞她)技法丑一衔快速矩解题牲(三听角换没元)【典烦例1嚷】已蚀知a辩、b拥、c书、d断∈R言,x盟、y凳∈R+,且宅x2=a2+b2,y2=c2+d2.求证深:x齐y≥哲ac雁+b符d.[快洒解]已联想辨到圆巩的参船数方猛程,慎设a丽=x俗co音sθ置,b解=x胖si附nθ未,c吓=y甚co冈sφ华,d换=y哪si栋nφ寄,则秘ac忆+b努d=颈xy拍co穿sθ垂co斑sφ关+x溜ys娱in古θs色in趁φ=心xy编co队s(税θ-峰φ)残≤x类y.[另茅解切堤入点凭]有药a2+b2、c2+d2的形跪式出获现,炮就可稳以用支a2+b2≥2怒ab或.由胡于a析、b主、c变、d暖∈R脾,故糠ac赞+b纳d可隐能为朗正,四也可用能为煌负.榴当a墓c+嘱bd诵<0魄时,旧显然氏不需费证明骂,只局需考管虑a把c+煮bd告>0沈的情丝式况.[证女明]窑证法稀一:当a州c+效bd新<0到时,多显然鲜有x矿y≥峰ac敞+b凶d成久立.当a盆c+赛bd帽≥0菠时,x2y2=(间a2+b2)(娃c2+d2)=化a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2股ab斑cd棉=(约ac买+b船d)2,即徐xy合≥a药c+绩bd巧.证法粒二:当a善c+德bd崖<0副时,师显然倾有x惜y≥赵ac悔+b屡d成派立;当a嫂c+拌bd津≥0掠时,吊欲证谎xy娱≥a泉c+产bd驴,只济需证锋x2y2≥a2c2+b2d2+2照ab犯cd激.∵x2=a2+b2,y2=c2+d2,∴(蹦a2+b2)(双c2+d2)=聚a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2泥ab巨cd心.即x2y2≥a2c2+b2d2+2骂ab坏cd泥成立妖,因识此,练原不四等式净成立图.[方笼法与畜技巧逝]证蔽法一柜与证亚法二尝基本江相同浪,只辈是形顷式不腰同而境已.续而快虑解联快想到估圆的债参数通方程洽,进撑行三破角代杠换,打又不坛必考必虑a棉c+催bd津的正绵负问菜题,尸仅注孔意到嫌xy佳>0宿、-殖1≤铜co惭s(亿θ-理φ)堂≤1励就行兄了.[得奋分主壁要步迎骤]翻本题作证明河步骤乔简单乔,但拳需考两虑a撑c+絮bd茂或正堤或负妥的两六种情势况.肢若a贤c+萄bd替<0拐,则狮(a敲c+思bd屑)2与x2y2的大驻小不蹦能确摄定,形证题推时需尚注意滥此处霜.[易误丢分挪原因帐]没皱有考拖虑到幕ac窃+b榜d≥唇0还抛是a察c+私bc掏<0近.技法尚二供如何缴解决范含有目多个减变量感的条骗件最耕值问董题求解竹含有策多个芝变量湖的条辱件最肃值问仅题,片一般脖方法领是利甜用给巾出的变条件久,通撇过代盗换减罩少变决量的乞个数障,将诊问题泳转化枣为只毛含有苗一个凉变量灾的函断数的立最值妻问题膝进行印解决奶.如宫果条泳件等僻式中发含有窗两个内变量美的和饶与积诊的形艘式,幅可以胀直接捕利用透均值勾不等敏式对因两个它正数豪的和脏与积疏进行义转化淹,然映后通仙过解盾