初等数论 第一章 整除

§5算术基本定理整数分解唯一性定理也称算术基本定理,在给出并证明该定理前,先介绍预备定理.定理若p为素数,则a不能被p整除当且仅当:(p,a)=1

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00:10定理1设a1,a2,…,an都是正整数,且p是素数.若p|a1a2…an,则至少有一个ar,使得p|ar,其中1≤r≤n.证明假设ai不能被p整除,1≤i≤n.从p是一素数和定理得到(p,a1)=(p,a2)=…＝(p,an)=1.所以由定理5推论得到(p,a1a2…an)=1,这与题设p|a1a2…an矛盾,故必有一ar,使得p|ar,其中1≤r≤n.

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00:10推论设p1,p2,…,pn和p都是素数,n≥2.若p|p1p2…pn,则至少有一个pr,使得p=pr.证明由p|p1p2…pn和定理1知,至少存在一个pr,使得p|pr.由于pr是素数,故它只有二个正因数1和pr.由p≠1和p|pr,所以:p=pr.

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00:10定理2

(整数分解唯一性定理)每个大于1的正整数a均可分解成有限个素数之积,并且若不计素因数的次序,其分解是唯一的.证明先证分解式的存在性.唯一性.当a=2时,分解式显然是唯一的.现设比a小的正整数其分解式均是唯一的.考虑正整数a,假设a有两个分解式a=plp2…pk和a=q1q2…ql,其中pl,p2,…,pk和q1,q2,…,ql都是素数.

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00:10于是p1|q1q2…ql,根据定理1知必有一qi,,使得p1|qi，不妨令i=1,即p1|q1,显然p1=q1.令a’=a/p1,则a’=p2p3…pk,a’＝q2q2…ql.若a’=1,则a=p1=q1,即a’的分解式唯一.若a’＞1,注意到a’<a,从而由归纳假设知,a’的分解式是唯一的.因此k=l,并且p1=q1,…,pk=qk,再由p1=ql,知a分解式也是唯一的.

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00:10若将a的分解式中相同素因数合并为它的幂数,则任意大于1的整数a只能分解成一种形式:(2)p1<

p2<…<

psn≥1,其中p1,p2,…,ps是互不相同的素数,

,,…,

是正整数.并称其是a的标准分解式.

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00:10推论3使用式(2)中的记号，有(ⅰ)

d是a的正因数的充要条件是d=(3)eiZ，0≤ei≤i，1≤i≤s；(ⅱ)

n的正倍数m必有形式m=M，MN，iN，i

i，1≤i≤s。

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00:10推论设正整数a与b的标准分解式是

其中pi(1≤i≤k)，qi(1≤i≤l)与ri(1≤i≤s)是两两不相同的素数,i,i(1≤i≤k),i(1≤i≤l)与i（1≤i≤s）都是非负整数，则(a,b)=，i=min{i,i},1≤i≤k，[a,b]=，i

=max{i,i}，1≤i≤k。

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00:10推论4设正整数a与b的分解式是其中p1,p2,,ps是互不相同的素数，i，i（1≤i≤k）都是非负整数，则

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00:10推论5设a，b，c，k是正徐整数右，ab=ck，(a,b)拼=述1，则涂存在飞正整柔数u，v，使壮得a=uk，b=vk，c=uv，(u,v)军=丢1。证明设，其堪中p1,p2,,ps是互挨不相观同的疯素数，i（1≤i≤s）是捏正整秒数。译又设其中i，i（1≤i≤s）都迹是非升负整锋数。朝显然mi查n{i,i}释=但0，ii=ki，1≤i≤s，因此抱，对猫于每竹个i（1≤i≤s），恋等式i=ki，i=害0与i=秧0，i=ki有且截只有址一个翻成立粉。这就余证明揉了推灰论。担证毕皂。6/视26魔/2钢02锅302着:1拼2推论6设a是正曲整数深，历表壶示a的所傅有正煎因数啊的个率数.若a有标准河素因补数分随解式(2婶)，则推论7设a是正鞋整数脊，翼表示a的所害有正屠因数习的之秆和.若a有标傲准素旷因数割分解薯式(2时)，则6/升26诞/2扇02厦302框:1侍2例1证明络：（a,[b刑,c])侨=[乔(a,赏b)翻,(茂a,临c)]例2求杂，例3求6/晕26乔/2炭02知302妨:1艇2§7函数[x]与{x},n!的分庭解式6/葬26第/2初02橡302篇:1奶2定义1设x是实烧数，跃以[x]表示佛不超描过x的最韵大整纳数，称它卖为x的整球数部伪分，显即[x]是一屑个整缘瑞数且案满足[x]≤x<[x]+过1.又称{x}尝=x[x]为x的小扯数部佳分。6/饺26毒/2弊02师302老:1培2定理1设x与y是实法数，茧则(ⅰ姓)x≤y[x]醒≤棋[y]；(ⅱ笔)若x=m+v,m是整露数，0刻≤v<烂1,则m=绵[x],v={x}，特别恒地，收若0翼≤x<础1，则[x]估=苏0，x={x}；(ⅲ溉)若m是整浪数，饥则[mx]序=m[x]；(ⅳ雹)痛[xy]屿=；(ⅴ经)离[x]住=；6/尊26隆/2民02欲302摇:1惩2{x}夜=鸭.(ⅵ除)对正投整数m有(ⅶ)设a和N是正勇整数.那么久，正零整数中被a整除减的正腥整数担的个笑数是6/酱26厦/2转02冷302尊:1若2证明能被a整除盘的正蒜整数从是a,灿2a,赠3a,，因杏此，邀若数1,财2禽,,N中能峡被a整除骂的整完数有k个，规则ka≤N<串(k1)ak≤N/a<k1k=证毕剥。由以锯上结乳论我赶们看坟到，悲若b是正捷整数旱，那晨么对餐于任芒意的整扑数a，有即在峰带余棉数除理法a=bqr，0沫≤r<b中有6/氧26劫/2套02春302浇:1群2定理2设n是正湾整数厉，n!尝=是n!的标供准分绝解式，骑则i=蛾(逮1)证明对于她任意搅固定米的素捉数p，以p(k)表示膊在k的标瞒准分解式作中的p的指肚数，早则p(n!)秒=p(1爸)p(2月)p(n).以nj表示p(1绒),p(2监),,p(n)中指予数等水于j的个嫁数，舞那么p(n!)膛=瘦1n12n23n3，(2猎)显然运，nj就是迅在1,告2困,,n中满衡足pja并且pj+塑1a的整数a的个势数，举所以粘，由使定理杂有6/述26抚/2店02联302径:1局2nj=将上忧式代槐入式(2芳)，得宅到即垦式(1叹)成立诱。6/劫26喉/2摸02稻302孙:1腹2推论设n是正啊整数受，则n!蜘=，其中盾表示而对不近超过n的所价有素宽数p求积桃。6/臣26馅/2萝02丑302菜:1扶2例2求20！的标游准素海因数零分解唐式例320！的竭十进德位表滩示中滴有多驳少个躁零？例4设整邮数aj>0医(1≤j≤s),并且n=a1+a2+…跪+as.证明做：n!/a1!a2!墓…as!是整口数.6/划26意/2棍02坑302每:1揪2例5设n是正嘱整数泰，1≤k≤n1，则N育(卧3)若n是素挤数，肥则n，1≤k≤n1.证明由定甚理2，对绳于任肿意的乓素数p，整捎数n!，k!与(nk)!的标愤准分答解式宿中所旦含的p的指俘