“关联速度”模型

“关联速度”模型

建构物理模型，巧手解决问题“关联速度”模型作者：太原市第十二中学姚维明模型建构：本模型以绳子或杆牵连物体，研究关联速度问题。在力学问题中，经常出现牵连运动，即两个物体用轻绳或轻杆相维系着向不同方向运动，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同。这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解。大多可以通过运动效果分解或功能关系分析（标量运算），也可以用微元法（借助三角函数）来处理。准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。在本模型中，我们将重点探究绳子（或杆）牵连物体，求解关联速度的问题。由于两个物体相互关联，一般地我们都要按照运动效果分解成沿着绳子（或杆）的速度分量（改变绳子或杆速度的大小）和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量（改变绳子或杆速度的方向）。模型典案：典案1：如图1所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M的上升速度大小为多少？（结果用v和θ表示）解析一：运动效果分解法物体M与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与M左段绳子在沿绳长方向运动的速率v1是相等的。与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v相同。分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。将车速v分解为沿绳方向的速度v1和垂直绳子方向的速度v2，如图2所示。根据平行四边形定则可得v1=vcosθ。因此，物体M上升速度的大小为v'=vcosθ。解析二：位移微元法如图3所示，假设端点A水平向左匀速移动微小位移Δs至B，此过程中左段绳子长度增大了Δs1（过A向OB作垂线AP，因顶角很小，故OP≈OA），即物体上升了Δs1。显然，Δs1=Δs·cosθ。【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。物理意义很明显。这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。由于△s和△t都很小，根据速度的定义v=△s/△t，可以得到物体M上升的速度大小为v/=vcosθ。这种方法揭示了“运动效果分解法”的本质，常常利用三角函数求解。另一种解法是通过功能关系来解决问题。在不考虑滑轮、绳子质量和摩擦的情况下，汽车对绳子的拉力F所做的功W（对应功率设为P）等于绳子对物体拉力F'所做的功W'（对应功率设为P'）。通过联立功率公式和功能关系，可以得到物体上升的速度大小为v/=vcosθ。对于交叉放置的两细棒a、b，交叉点A相对于b棒做直线运动，相对于棒a做向O点的运动，并随着棒a做旋转运动。因此，可以把A沿b棒的运动分解为沿a棒径向的直线运动和切向的圆周运动，得到实际速度是径向速度vx和切向速度vy的合速度。这种方法可以通过平行四边形法则画出A运动的矢量图，从而求解A的速度。综上所述，建构物理模型是解决物理问题的关键。通过巧妙地利用数学、功能关系和矢量图等工具，可以更加深入地理解物理问题的本质，并得到准确的解答。题中给出a棒转动的角速度为ω，我们可以利用这个条件来求解a棒转动的线速度。根据公式v=ωr，我们可以求出切线方向的速度。然而，A点的速度是由径向和切向速度合成得到的，因此还需要进行转化。具体地，我们可以利用三角函数关系，将线速度v表示为v=ωOA*sinθ/sin(2θ)，其中OA为a棒的长度，θ为a棒与切线方向的夹角。题目中给出了一个系统，包括两个物体A和B，通过一根轻绳相连。我们可以将这个系统看成一个整体，对其进行受力分析。在B下降的过程中，重力对B做正功mgh，而地面摩擦力对A则做负功Wf。由于A与水平面间的正压力是变化的，且动摩擦因数未知，因此我们无法用功的定义来求解Wf。但我们可以利用动能定理，将Wf表示为Wf=mgh-1/2Mv^2-1/2mv1^2，其中v1为物体B的瞬时速度，即v1=vcosθ。通过运动的合成与分解，我们可以求出v1，从而得到Wf的值。本题中，一个人与一辆汽车相距L=200m，人想以最小的速度赶上汽车。我们可以将汽车看作参考系，分析人相对于汽车的合运动方向。具体地，我们可以将人相对于汽车的速度合成为v合，然后利用三角函数关系，求出人应该沿与v成多大角度的方向以多大的速度跑动，才能以最小的速度赶上汽车。为了使速度最小，需要让v垂直于OP连线方向。设汽车运动方向与OP连线夹角为θ，则tanθ=0.25，解得θ=arctan(0.25)。因此，v=min=vsinθ=10×sin(arctan0.25)m/s=2.4m/s。可以利用物理模型解决问题。另一种方法是利用数学方法。假设人在时间t内正好在B点赶上汽车，设人车方向OP与公路夹角为α，OB与公路的夹角为θ。根据正弦定理，OB=Lsinθ/sinαπ。当θ=arcsin(sinαπ/2)时，OB最小，所需速度最小。因此，v=min=vsinθ=10×sin(arcsin(sinαπ/2))m/s=2.4m/s。通过选择参考系，可以简化问题。对于一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上。如果物块以速度v向右运动，小球A的线速度需要求出。选取物与杆接触点B为连结点，因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v。B点又在杆上，参与沿杆向A点滑动的速度和绕O点转动的线速度。因此，将这个合速度沿杆及垂直于杆的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=vsinθ。设此时OB长度为a，则a=h/sinθ。令杆绕O点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=vsin2θ/h。因此，A的线速度vA=ωL=vLsin2θ/h。如图15所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与M平面镜平行放置。SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？根据几何光学知识可知，当平面镜绕O逆时针转过30°时，有∠SOS′=60°，且OS′=L/cos60°。因此，选取光点S′为连结点，由于光点S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v；光点S′又在反射光线OS′上，它参与沿光线OS′的运动，速度为v1和绕O点转动，线速度为v2。因此，将这个合速度沿光线M30°OS′及垂直于光线OS′的两个方向分解，由速度矢量分解图16可得：v1=vsin60°，v2=vcos60°又由圆周运动知识可得，当线OS′绕O转动角速度为2ω时，有v2=2ωL/cos60°。因此，有vcos60°=2ωL/cos60°，解得v=8ωL。注：本题中需要注意选取连结点和判断参与运动的方向，以及注意计算过程中的单位。另外，由于题目中给出的是瞬时速度，因此需要使用微积分的知识进行求解。Cos30°=vB/sin30°③，解得vA=2gr/(3-√3)r，球落地后反弹速度vA'=vA√5/5，竖直上抛运动的最大高度Hm=(3-1)r/2。【体验1】如图19所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是：绳的拉力小于A的重力。小车的速度可以分解为沿着绳子方向的速度分量v∥和垂直绳子方向的速度分量v⊥，沿着绳子方向的速度分量v∥就是物体A的速度。随着绳子与水平方向的夹角α减少，物体A的速度减小，加速度a<0。再根据牛顿第二定律：F-mg=ma得到F<mg，正确答案为绳的拉力小于A的重力。【体验2】如图21所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高。则当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度v'为vcosα。物体M的速度可以分解成沿着绳子的速度v/（即小车的速度）和改变绳子方向的速度v//。【体验3】如图23所示，A、B以相同的速率v下降，C以速率vx上升，绳与竖直方向夹角α已知，则vy=vcosα。本题最容易出现的错误是，按图25分解，认为vy=2vcosα。正确方法是：按图24分解，物体C的运动能分解成沿着绳子的分量v和垂直绳子的速度分量v/。由几何关系得：vy=vcosα。【点评】学生对物体运动的性质不明确，容易出现速度分解错误。同时有的同学认为物体C的速度是2vy，这也是错误的。需要仔细斟酌类似的题目。【体验4】重物A、B由刚性绳相连，跨过定滑轮处于图中实线位置，绳恰好拉紧，重物静止在水平面上。现用外力水平向左推A，当A的水平速度为vA时，求此时B的速度vB。解析：对A、B进行速度的分解，得到vAcos30=vBcos60，解得：vB=3vA。绳子的速度是联系两者速度的桥梁，按照运动的效果分解后，列出速度方程，问题应能解决。【体验5】物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D。BC段水平，当以速度v拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v。解析：当跨过B的两段绳子夹角为α时，根据几何关系可得到v=v1+cosα。建立几何模型，根据三角函数关系解得速度v。【体验6】均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。当杆滑到如图位置时，B球水平速度为vB，加速度为aB，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小。解析：小球的运动是合运动，根据速度和加速度的分解，可得到vA=vBtanα，aA=aBtanα。建立几何模型，根据三角函数关系解得速度v和加速度a。【体验7】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体。设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计。开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H。提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C。设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB。求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。解析：以物体为研究对象，开始时其动能为0。随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加。当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度v，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量。根据功的定义，绳Q端的拉力对物体做的功为重物的重力与重物上升的高度之积。在重物上升的过程中，它受到绳的拉力T和重力mg的作用，上升的高度为H，重力做的功为WG=-mgh=-mgH。因此，根据动能定理，重物的动能增加为Ek2=1/2mvB2。其中，vB表示重物上升后的速度。两车A和B通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上。当A车以速度v向右匀速运动时，若绳与水平面的夹角分别为α和β，求B车的速度。根据题意，B车的速度可以表示为vB=cosαv/cosβ。在一个半径为R的半圆形轨道边缘上，固定着一个定滑轮，一根轻绳两端分别系着质量为m1和m2的物体，且m1＞m2，绳子跨在定滑轮上，放手后，m1将从半圆形轨道边缘处沿光滑轨道滑下。求当m1经过半圆形轨道最低点时的速度。根据动能定理，可以得到m1的速度为v=2gR(m1/m2+m1)^(1/2)。在水平固定的光滑细直杆上穿着A、B两个刚性小球，并用两根长度均为L、不可伸长的轻绳分别将A、B两小球与另一小球C连接。已知三个小球质量均相同且都可看作质点，现将两根轻绳拉直呈水平状，并同时自由释放三个小球。在A、B两小球相碰前的某一时刻，A、B两小球的速度大小v与C小球下落高度h之间的关系式为v^2/2=gL(1-cosθ)-h，其中θ为轻绳与竖直方向的夹角。题目：求小球B上升过程中水平力F做功的大小。如图37所示，竖直平面内固定一直角杆，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两杆上分别套有质量为2kg和1kg的小球A和B，其中小球A与水平杆之间的动摩擦因数为0.2，A、B间用不可伸长的细线相连接，图示位置处OA=1.5m、OB=2m。现用水平力F沿杆向右拉动小球A，并使小球B以1m/s的速度匀速上升。求在小球B经过图示位置上升0.5m的过程中，水平力F做了多少功？（tan37°=0.75、tan53°=1.33、g=10m/s²）解析：由题意可知，要使小球B沿竖直杆匀速上升，作用于小球A的水平力F不可能为恒力，故不能用W=Fs来计算F对小球A做功，又因为小球A与水平杆之间有摩擦，系统也不满足机械能守恒定律，应对系统适用动能定理或一般意义的功的关系式求解。显然，当小球B经过图示位置时，细线与竖直杆之间的夹角α应满足tanα=OA/OB=1.5/2=0.75（如图38所示），此刻两小球之间的速度vA'→B=OB/tanα=2/0.75=2.67m/s（即α=37°）。当小球B经过图示位置上升0.5m时，细线与竖直杆之间的夹角β应满足tanβ=OA'/OB'=2/1.5=1.33（如右图39所示），此刻两小球之间的速度vA'→B=OB'/tanβ=1.5/1.33=1.13m/s（即β=53°）。于是，可以对小球A、B组成的系统在此过程中适用动能定理：mAvA²/2+mBvB²/2=(mA+mB)gh-μmAgs，并注意到式中s=OA'-OA=2-1.5=0.5m。取各已知量代入可解得水平力F做功：W=F×s≈6.78J。或者也可考察水平力F做功效果，建立一般意义的功的关系式：W=F×(sA'-sA)=mAvA'²/2-mAvA²/2。取各已知量代入可解得水平力F做功：W≈6.78J。从以上例子可以看出，在解决牵连运动问题时，需要先确定两个物体在牵连方向上的速度大小相等关系，然后将这种速度牵连关系应用于相应的