人教版九年级数学上册221-二次函数的图像和性质-课件

22.1二次函数的图像和性质22.1.1二次函数人教版数学九年级上册

如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？

上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？导入新知1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是二次函数.2.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.素养目标正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=6x2①二次函数的概念探究新知知识点1问题1多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？如果多边形有n条边,那么它有

个顶点,从一个顶点出发,可以作

条对角线.n(n-3)

MN

②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.探究新知问题2某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？

这种产品的原产量是20件,一年后的产量是

件,再经过一年后的产量是

件,即两年后的产量为

y=20（1+x）220(1+x)20(1+x)2即y=20x2+40x+20③

③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.探究新知问题3函数①②③有什么共同点?y=6x2①

y=20x2+40x+20③探究新知【思考】学生以小组形式讨论，并由每组代表总结。y=6x2自变量函数函数解析式yydxxn【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．这些函数有什么共同点？这些函数自变量的最高次项都是二次的！探究新知

一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数。（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（3）等式的右边最高次数为

，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。注意（2）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是。整式.a≠0.2任意实数探究新知二次函数的定义

概念

一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.二次项系数自变量一次项系数常数项探究新知二次函数的定义

二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c

(其中a、b、c是常数,a≠0)探究新知二次函数的形式当b＝0时，y＝ax2＋c（只含有二次项和常数项）当c＝0时，y＝ax2＋bx（只含有二次项和一次项）当b＝0，c＝0时，y＝ax2（只含有二次项）二次函数的特殊形式:

二次函数的识别例1

下列函数中是二次函数的有

。二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）√a=0×最高次数是4××√=x2√①⑤⑥素养考点1探究新知方法点拨运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；（3）判断自变量的最高次数是否是2；（4）判断二次项系数是否不等于0.探究新知下列函数中,哪些是二次函数？(1)y=3(x-1)²+1(3)s=3-2t²(5)y=(x+3)²-x²(6)v=10πr²（是）（否）（是）（否）（否）（是）(7)y=x²+x³+25(8)y=2²+2x（否）（否）(2)(4)右边不是整式右边不是整式自变量的最高次数是1整理后，自变量的最高次数是1自变量的最高次数是3巩固练习1.

例2

关于x的函数

是二次函数,求m的值.解:

由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0注意

二次函数的二次项系数不能为零.

利用二次函数的定义求字母的值解得

m=2.因此当m=2时，函数为二次函数.素养考点2探究新知解：根据二次函数的定义，得解得a=-1.巩固练习2.是二次函数，求常数a的值.根据实际问题确定二次函数解析式根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言；②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式；③取值：联系实际，确定自变量的取值范围.知识点2探究新知例3一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。

xm

y

m2

xm

（40-2x

）m解：由题意得：

y=x(40-2x)即

y=-2x2+40x(0<x<20)当x＝12m时，菜园的面积为y=-2x2+40x=-2×122+40×12

=192（m2）素养考点2建立二次函数的模型素养考点3探究新知方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等。①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.y=πx2y=2(1+x)2S=4πr2做一做:(x>0)(x>0)(r>0)说一说以上二次函数解析式的各项系数。巩固练习3.1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（

）A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.y=x2+巩固练习连接中考C2.已知函数y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，

解得m=0或m=1，又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，

得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1；∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.

巩固练习连接中考1.下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为()A.y=ax2+bx+c

B.y2=x2-4x+1C.y=x2D.y=22+x+12.

函数

y=(m-n)x2+mx+n

是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m≠0B.m,n是常数,且n≠0C.m,n是常数,且m≠n

D.m,n为任何实数CC课堂检测基础巩固题3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s

与半径r

之间的关系式.4.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.S=4πr2

课堂检测基础巩固题解：由二次函数的定义得

当m为何值时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.课堂检测能力提升题

∴当m=1时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.解得m=1.问题导入，列关系式探索二次关系式共同点总结二次函数概念二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）二次函数的判别:①含未知数的代数式为整式；②未知数最高次数为2；③二次项系数不为0.确定二次函数解析式及自变量的取值范围课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业22.1二次函数的图像和性质22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质人教版数学九年级上册（1）你们喜欢打篮球吗？导入新知（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？素养目标3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.1.正确理解抛物线的有关概念.2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.二次函数y=ax2的图象的画法x…-3-2-10123…y=x2…

…

画出二次函数y=x2的图象.94101941.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：探究新知知识点124-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2

的图象．探究新知-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy

二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.探究新知画出函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-9xx…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

探究新知

根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.1.y＝x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点．二次函数y=ax2的图象性质探究新知知识点2说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.1.y＝-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．探究新知1.顶点都在原点（0,0）;3.当a>0时，开口向上；

当a<0时，开口向下．2.图像关于y轴对称;探究新知二次函数y=ax2的图象性质

观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？

二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2探究新知二次函数y=ax2的性质1.观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)探究新知知识点3对于抛物线y=ax2（a＞0）

当x＞0时，y随x取值的增大而增大；

当x<0时，y随x取值的增大而减小.探究新知二次函数y=ax2的性质(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)2.观察图形，y随x的变化如何变化？探究新知对于抛物线y=ax2（a＜0）

当x＞0时，y随x取值的增大而减小；

当x<0时，y随x取值的增大而增大.探究新知二次函数y=ax2的性质解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5在同一直角坐标系中，画出函数的图象．探究新知xyO-222464-48【思考】二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？当a>0时，a越大，开口越小.探究新知【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数的图象．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5探究新知xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.【思考】二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线

y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．探究新知y＝ax2a>0a<0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减yOxyOx探究新知（3）函数y=

x2的图象的开口

,对称轴是

,

顶点是

;顶点是抛物线的最

点（2）函数y=－3x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

顶点是抛物线的最

点.（1）函数y=4x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

;

向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)（4）函数y=－0.2x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

.向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)高低填一填探究新知例1已知y=(m+1)x

是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m2+m解:依题意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1因此m=1

此时,二次函数为:y=2x2.利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值素养考点1探究新知已知

是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=

.解：

是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，，解得k=2.2巩固练习1.

二次函数y=ax2的实际应用二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值）

质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值）物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值）探究新知知识点4例2已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，（1）求S与C之间的二次函数关系式；

即：S=（c＞0）（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.

二次函数y=ax2与不等式的综合运用注意自变量的范围素养考点2探究新知解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为cm，∴S与C之间的关系式为S=

；（2）作图如右：（3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm（4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8.，或c≤-8(舍去）.因此C

≥8cm.探究新知(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．<巩固练习2已知二次函数y＝2x2.

(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，

∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，

∴OA＝OB，

∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.巩固练习方法点拨

二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．探究新知

已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（

）．A.y1＞0＞y2

B.y2＞0＞y1

C.y1＞y2＞0

D.y2＞y1＞0C巩固练习连接中考

1.函数y=2x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧，y随x的增大而

,在对称轴的右侧,

y随x的增大而

.

2.函数y=-3x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧,y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xxyyOO课堂检测基础巩固题

3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是

.xyk>14.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O课堂检测基础巩固题已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．解：在二次函数y=x2中，a=1＞0

因此当x=0时，y有最小值.∵当x≥m时，y最小值=0，

∴m≤0．课堂检测能力提升题已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解：由题意得

解得因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝×4×1+×4×4＝10.课堂检测拓广探索题二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业22.1二次函数的图像和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质第一课时第二课时第三课时人教版数学九年级上册第一课时二次函数y=ax2+k的图像和性质返回这个函数的图象是如何画出来呢？xy导入新知素养目标3.能说出抛物线y=ax²+k的开口方向、对称轴、顶点.1.会画二次函数y=ax2+k的图象.

2.理解抛物线y=ax²与抛物线

y=ax²+k之间的联系.在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象.【解析】x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=x2+1……y=x2-1……105212510830-1038二次函数y=ax2+k图象的画法探究新知知识点11.列表：

y=x2+1108642-2-55xy

y=x2-1y=x2O2.描点，连线：探究新知【思考】抛物线y=x2

、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？解：抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=x2向上x=0（0,0）y=x2+1向上x=0(0，1)y=x2-1向上x=0

(0，-1)探究新知二次函数y=ax2+k的图象的画法例1在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象。解析

先列表：x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2+1…95.531.511.535.59…y=2x2-1…73.51-0.5-1-0.513.57…素养考点1探究新知x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2+1…95.531.511.535.59…y=2x2-1…73.51-0.5-1-0.513.57…然后描点画图：268y4O-22x4-4

y=2x2-1y=2x2+1-1探究新知268y4O-22x4-4

y=2x2-1y=2x2+1-1

抛物线y=2x2+1

,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？【思考】抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+1向上x=0（0,1）y=2x2-1向上x=0（0，-1）解答：探究新知1.

在同一坐标系中，画出二次函数，

，

的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.

-4-2y-6O-22x4-4如图所示抛物线开口方向对称轴顶点坐标向下x=0（0,0）向下x=0（0,2）向下x=0（0，-2）巩固练习解：先列表：x···－3－2－10123···············在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．二次函数y=ax2+k的图象和性质1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)探究新知知识点2xy-4-3-2-1o1234123456再描点、连线，画出这两个函数的图象：探究新知【思考】抛物线，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？抛物线开口方向顶点坐标对称轴向上向上（0,0）（0,1）y轴y轴【想一想】通过观察图象，二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？探究新知开口方向：向上对称轴：x=0顶点坐标：（0，k）最值：当x=0时，有最小值，y=k增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小；

当x＞0时，y随x的增大而增大.探究新知二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质y-2-2422-4x02.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：探究新知根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是

.(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________(4)从上而下顶点坐标分别是

_____________________抛物线向下直线x=0(0,0)(0，2)(0,-2)探究新知(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________(6)函数的增减性都相同：____________________________________________________高大y=0y=-2y=2对称轴左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小探究新知y=ax2+ka＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴（x=0）y轴（x=0）顶点坐标（0,k）（0,k）最值当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k增减性当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.注意：k带前面的符号！探究新知二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质例2已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.解析由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.c【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．二次函数y=ax2+k的性质的应用素养考点2探究新知

抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是

,对称轴是

，在

侧，y随着x的增大而增大；在

侧，y随着x的增大而减小.巩固练习2.

（0,3）

y轴对称轴左对称轴右解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标函数对应值表x……y=2x2-1……y=2x2……y=2x2+1……4.5-1.53.55.5-1213x2x22x2-1(x,)(x,

)(x,)2x2-12x22x2+1从数的角度探究二次函数y=ax2+k的图象及平移2x2+1探究新知知识点44xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1观察图象可以发现，把抛物线y=2x2

向

平移1个单位长度，就得到抛物线

；把抛物线y=2x2

向

平移1个单位长度，就得到抛物线

y=2x2-1.

下y=2x2+1上从形的角度探究探究新知二次函数y=ax2+k的图象可以由

y=ax2

的图象平移得到：当k>0时,向上平移个单位长度得到.当k<0时,向下平移

个单位长度得到.上下平移规律：

平方项不变，常数项上加下减.探究新知二次函数y=ax2

与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(

)A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到解析

二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．D巩固练习3.

1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？2.抛物线y=ax2+k

中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，分两步即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.【想一想】探究新知

将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是

．连接中考巩固练习连接中考y=x2+2

1.抛物线

y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线

．

2.填表：y=2x2－4函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2y=3x2＋1y=-4x2－5向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点课堂检测基础巩固题3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k

.在=2>2<2课堂检测基础巩固题5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x

时，

y随x的增大而减小；当x

时，函数y有最大值，最大值y是

，其图象与y轴的交点坐标是

，与x轴的交点坐标是

.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.向下平移1个单位.>0=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.课堂检测基础巩固题

1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=____.3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.2-28能力提升题课堂检测1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴.二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：k正向上；k负向下.课堂小结课堂小结第二课时二次函数y=a（x-h）2的图象和性质返回导入新知a,c的符号a>0,c>0a>0,c<0a<0,c>0a<0,c<0图象开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0,c）（0,c）当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.x=0时，y最小值=cx=0时，y最大值=c说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.导入新知二次函数

y=ax2+k(a≠0)与

y=ax2(a≠0)的图象有何关系？答：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)

的图象平移得到：

当k>0时，向上平移

个单位长度得到.

当k<0时，向下平移

个单位长度得到.【思考】

函数的图象，能否也可以由函数平移得到？导入新知素养目标3.能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.

2.理解抛物线y=ax2

与抛物线

y=a(x-h)2的联系.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质在如图所示的坐标系中，画出二次函数

与

的图象．解：先列表：x···－3－2－10123···············探究新知知识点1xy-4-3-2-1o1234123456再描点、连线，画出这两个函数的图象：探究新知抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值增减性向上向上y轴x=2(0,0)(2,0)根据所画图象，填写下表：【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＞0）的性质是什么？探究新知当x=0时，y最小值=0当x=2时，y最小值=0当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值增减性y=a(x-h)2（a＞0）向上x=h（h，0）当x=h时，y最小值=0当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小探究新知二次函数y=a(x-h)2（a＞0）的图象性质【试一试】画出二次函数

的图象，并说出它们的开口方向、对称轴和顶点．x···－3－2－10123···············－2－4.5－200－2－2－22－2－4－64－4－4.50xy－8探究新知xyO－22－2－4－64－4抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值增减性当x=-1时，y最大值=0当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小当x=0时，y最大值=0当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小当x=1时，y最大值=0当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小向下直线x=-1(-1,0)直线x=0直线x=1向下向下(0,0)(1,0)探究新知函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质（结合图象）抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值增减性y=a(x-h)2（a＜0）

向下x=h（h，0）当x=h时，y最大值=0当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质是什么？探究新知

y=a(x-h)2a＞0a＜0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性探究新知二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象性质向上直线x=h（h,0）当x=h时，y最小值=0当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.向下直线x=h（h,0）当x=h时，y最大值=0当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.

y2＜y3＜y1二次函数y=a（x-h）2

的图象和性质素养考点1探究新知方法点拨

利用函数的性质比较函数值的大小时，首先确定函数的对称轴，然后判断所给点与对称轴的位置关系，若同侧，直接比较大小；若异侧，先依对称性转化到同侧，再比较大小.探究新知1.已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时，y随x的增大而增大，当x>-3时，y随x的增大而减小，当x=0时，y的值是（

）

A.-1

B.-9

C.1

D.9巩固练习

B

向右平移1个单位二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系抛物线，与抛物线有什么关系？xyO－22－2－4－64－4向左平移1个单位探究新知知识点2可以看作互相平移得到.左右平移规律：

括号内左加右减；括号外不变.y=a(x-h)2当向左平移︱h︱

个单位时y=a(x+h)2当向右平移︱h︱个单位

时y=ax2探究新知二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2

的图象的关系例2

抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，，因此平移后二次函数关系式为y＝(x－3)2.方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．二次函数平移性质的应用素养考点2探究新知2.

将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(

)A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位解析抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．C巩固练习

已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（

）A．3或6

B．1或6

C．1或3

D．4或6连接中考巩固练习连接中考B

1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是

.2.二次函数y=2(x-)2图象的对称轴是直线_______，顶点是________.3.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1

，y2

，y3的大小关系为_______________.

y=-(x+3)2或y=-(x-3)2

y1

＞y2

＞y3课堂检测基础巩固题

4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上直线x=3(3,0)直线x=2直线x=1向下向上(2,0)(1,0)课堂检测基础巩固题

在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.yOx

y=2x2

2课堂检测能力提升题

在直角坐标系中画出函数y＝(x-3)2的图象．(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)说明该函数图象与二次函数y＝

x2的图象的关系；(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少?课堂检测拓广探索题解：（1）开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，0）.（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0.-224yO-22x4-4（2）该函数图象由二次函数y=x2的图象向右平移3个单位得到.复习y=ax2+k探索y=a(x-h)2的图象及性质图象的画法图象的特征描点法平移法开口方向顶点坐标对称轴平移关系直线x=h（h,0）a>0,开口向上a<0,开口向下y=ax2平移规律：括号内左加右减；括号外不变.课堂小结第三课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质返回y=ax2y=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2k>0k<0上移下移左加右减说出平移方式，并指出其顶点与对称轴.顶点在x轴上（h，0）顶点

在y轴上(0,k)对称轴

y轴

对称轴x=h导入新知【思考】

顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？素养目标3.能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点.1.能画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.2.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质解：-4-2y-6O-22x4-4开口方向：对称轴：顶点：向下x=-1(-1,-1)探究新知知识点1-4-2y-6O-22x4-4探究新知画一画，填写下表:画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2)-22xyO-2468-4241.

巩固练习a>0a<0图象h>0h<0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小.当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大.向上向下直线x=h直线x=h（h,k）x=h时，y最小值=kx=h时，y最大值=k（h,k）探究新知二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质例1已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(

)解析

根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．A利用二次函数y=a(x-h)2+k的性质识别图象素养考点1探究新知

在同一坐标系内，一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是（

）巩固练习2.

C-4-2y-6O-22x4-4向左平移一个单位向下平移一个单位向左平移一个单位，再向下平移一个单位二次函数y=a(x-h)2+k的图象与平移探究新知知识点2怎样移动抛物线就可以得到抛物线？向左平移1个单位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10【思考】还可以怎样移动抛物线来得到抛物线

？平移方法：向下平移1个单位探究新知y=a(x-h)2+ky=ax2平移关系？二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？探究新知方法点拨

一般地,抛物线y=a(x－h)²＋k与y=ax²形状相同,位置不同.把抛物线y=ax²向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)²＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k

向上(下)平移|k|个单位y=ax²+k向左(右)平移|h|个单位平移方法:探究新知(1)当a>0时,开口向上;当a<0时，开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).探究新知抛物线y=a(x－h)2+k的特点可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.探究新知二次函数y=ax2与y=a（x-h)2+k的关系如果一条抛物线的形状与形状相同，且顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.巩固练习3.

例2要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?二次函数的应用素养考点2探究新知C(3,0)B(1，3)

AxOy123123解:如图建立直角坐标系,

点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.

因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3,0)，∴0=a(3－1)2＋3.解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3).当x=0时,y=2.25.答:水管长应为2.25m.34a=－y=(x－1)2＋3(0≤x≤3)34－探究新知如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值.巩固练习4.

巩固练习解:如图,建立平面直角坐标系,设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意得B（9,0），C（8,1.7）.把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得解得∴y=-0.1x2+8.1,∴h=k=8.1,即大门高8.1m.点拔:此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点,建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式，进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.1.抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（

）A．（1，1）

B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1）

D．（1，﹣1）连接中考巩固练习连接中考A2.将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1

B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3巩固练习A连接中考二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,－2)向下向下(3,7)(2,－6)向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3,5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下表:基础巩固题课堂检测2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________.

4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到

y=-3x2.3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为

_____________.答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位.基础巩固题课堂检测5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.y=a(x-h)2+ky=5(x+1)2+3基础巩固题课堂检测

已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．解：由函数顶点坐标是（1，-2），设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2，

解得a=2∴这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.能力提升题课堂检测小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是(

)A.3.5m

B.4m

C.4.5m

D.4.6mB解析：由图可以知道，小敏与篮底的距离就是AB.因为AB=OA+OB,OA=2.5m，所以要求OB即可，而OB就是篮圈中心的横坐标，设为a，则篮圈中心的坐标就是（a，3.5），点在抛物线上，即：3.5=

a2+3.5，整理得：a2=2.25,即a=±1.5,a=-1.5（舍去），故a=1.5，因此AB=4.拓广探索题课堂检测向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+k向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位向右(h>0)[或向左