微观经济学数学分析方法

关于微观经济学数学分析方法第1页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三凸集定义

第2页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三例子

1维空间：单个点2维空间：直线、射线、线段圆、椭圆、矩形、梯形、三角形等第3页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三三维空间呢？第4页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三第5页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三总结“没有任何孔，边缘不能有缩进”

——蒋中一第6页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三意义经济分析中，常假设可行集合（约束集）为凸集。约束条件下可行集是凸集保证最优解唯一的必要条件。第7页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三问题经济学分析中，有哪些约束集合？第8页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三第9页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三练习题：判断下列集合是否为凸集第10页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三凹函数（concave）第11页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三凹函数的定义以最简单的单变量函数为例来定义：，和是定义域中的两个量，

令

，如果满足

则称为凹函数（小于等于，凸函数）

若

则称为严格凹函数（小于，严格凸函数）第12页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三直观图形严格凹函数ABCD第13页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三直观图形非严格凹函数第14页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三总结两点间的曲线（弧）与两点间的直线重合，或在其之上。第15页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三用一阶导数来定义第16页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三xf(x)图示第17页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三总结该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。过曲线上任何一点的做切线，该曲线均在切线或切线下方。第18页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三凹函数的定义对双变量函数来说：

第19页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三图示ABCDzy第20页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三总结在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称为凹函数。第21页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三一阶导数的定义当且仅当：即：做任何一个切面，函数值均在切面或切面之下。第22页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三对于多变量函数第23页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三凹函数的二阶导数的判定方法若函数存在二阶连续偏微分，则：第24页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵多变量函数：该函数的一阶全微分表示为：第25页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三二阶全微分表达式第26页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三简化表达第27页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三海塞矩阵（二阶导数矩阵）第28页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵）第29页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数。

负半定：即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于等于零，二阶大于等于零……当（非当且仅当）海塞矩阵为负定时，该函数为严格凹函数。

负定：即即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于零，二阶大于零……第30页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三顺序主子式值正负交替变化第31页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为正半定时，该函数为凸函数。

正半定：即顺序主子式值全部大于等于零当（非当且仅当）海塞矩阵为正定时，该函数为严格凸函数。

正定：即即顺序主子式值全部大于零第32页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三练习检验下列函数的凹凸性：第33页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三（使用顺序主子式方法检验）第34页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三拟凹函数（quasiconcave）第35页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三定义第36页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三定义第37页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三图示N函数图形上任意一段弧MN,使N点高于M点，如果除M和N点外，该弧段上的点均高于或等于M点，则该函数为拟凹函数。AB第38页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三思考：与凹函数的关系？凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定是凹函数。拟凹性是比凹性要弱的条件。第39页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三典型图示Xf(x)第40页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三上等值集判定方法如果该函数的上等值集是凸集，则该函数为拟凹函数。上等值集的定义：第41页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三例子：

第42页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三第43页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三一阶导数定义第44页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三拟凹函数的二阶必要条件第45页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三加边海塞矩阵第46页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三第47页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三拟凹函数的充分条件第48页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三拟凸函数的充分条件第49页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三练习第50页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三无约束条件下的极值问题第51页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三最优化的一阶条件第52页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三满足一阶条件是极值的必要条件？充分条件？第53页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三双变量的情形第54页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三第55页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三A第56页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三第57页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三A第58页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三二阶条件第59页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三二阶必要条件第60页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三回忆：关于凹函数第61页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三等式约束条件下的最优化问题第62页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三自由极值、约束极值在无约束的最优化问题中，决策变量之间是彼此独立的。但是当存在约束条件时，决策变量之间就要受到相互影响。第63页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三xyz自由极值约束极值第64页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三多约束条件下：约束条件的数量应少于决策变量的数量第65页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三约束条件下求极值的方法拉格朗日乘数法目标函数：约束条件：构造一个新函数：

第66页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三第67页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三面临多个约束时的一阶条件第68页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三面临多个约束时的一阶条件第69页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三拉格朗日乘数的含义第70页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三单个等式约束情形下极值的二阶条件第71页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三极大值的二阶充分条件：用海塞加边行列式注意：与前面自由极值不同，所加的边是约束条件函数的一阶导数，而非目标函数的一阶导数；二阶矩阵是关于新函数F的二阶导数。第72页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三负定第73页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三多重等式约束的二阶条件：略，参见蒋中一P504第74页，讲稿共78页，2023年5月2日，星期三第75页，讲稿共78页，2023