人教版高中数学选修第一讲《不等式和绝对值不等式》课件5课时课件

第一讲不等式和绝对值不等式1、不等式复习引入：比较法的基本步骤：1.作差(或作商)2.变形3.定号(与0比较或与1比较).

二:不等式的性质（传递性）（可加性）（可乘性）（乘方性）（开方性）（加法法则）（乘法法则）（对称性）新课讲解：基本不等式定理1（重要不等式）

如果a,b∈R,那么

a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。证明：探究：

你能从几何的角度解释定理1吗？

分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。课本P5页aabbbAHIDKGBJCFE

如图把实数a，b作为线段长度，以a≥b为例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.则S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.

S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有a2+b2=2ab。

定理2（基本不等式）如果a，b>0，那么当且仅当a=b时，等号成立。证明：称为a,b的算术平均称为a，b的几何平均

两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。CABDO关于基本不等式的几何意义：课本P6页例1求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。结论：已知x,y都是正数：（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值ABENMFDCQPHG例2某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图（右图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。三个正数的算术-几何平均不等式思考：以上定理如何证明呢？课本例5解：∵

∴

∴=

当且仅当即

时有最小值1例3若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时，有最小值，并求出最小值？解:小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。三个正数的算术——几何平均不等式的应用例6构造三个数相加等于定值.练习：θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值。课堂练习：课本P10第5题、第6题、第11题5、设a,b∈R+,且a≠b，求证：

(1)(2)6、设a,b,c是不全相等的正数，求证：（1）(a+b)(b+c)(c+a)>8abc；（2）a+b+c>第11题

作业二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式

实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：OaAx|a|xABab|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。

联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：分ab>0和ab<0两种情形讨论：（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|Obaxa+b如果a<0,b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：

|a+b|=|a|+|b|

定理1如果a,b是实数，则

|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。探究如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？Oxy探究当向量a,b共线时，有怎样的结论？这个不等式称为绝对值三角不等式。定理1的代数证明：探究你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。

|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.

如果a,b是实数，那么

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证：

|2x+3y-2a-3b|<5ε.证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε

+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|<5ε.定理2如果a,b,c是实数，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。B例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？

分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有

S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。练习：课本P20第1、2题.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|2.用几种方法证明DDC小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：

|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立）

|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）能应用定理解决一些证明和求最值问题。作业：课本P20第3、4、5题2、绝对值不等式的解法复习：如果a>0，则

|x|<a的解集是(-a,a)；

|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax|x|<a|x|>a（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b,转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法：例3

解不等式|3x-1|≤2例4解不等式|2-3x|≥7补充例题：解不等式|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解的意义区别|ax+b|<c-c<ax+b<c{x|ax+b>-c}∩{x|ax+b<c},交|ax+b|>cax+b<-c或ax+b>c{x|ax+b<-c}∪{x|ax+b>c},并

课堂练习：P20第6题x12-2-3ABA1B1yxO-32-2①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法