新教材高中数学第三章排列组合与二项式定理1.3第2课时组合数的应用学案新人教B版选择性

第2课时组合数的应用关键能力·合作学习类型一简单的组合问题(数学建模、逻辑推理)1．(2020·新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A．120种B．90种C．60种D．30种【解析】eq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))种方法，乙场馆安排2名有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种方法，丙场馆安排3名有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种方法，所以由分步乘法计数原理得不同的安排方法共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝60种．2．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A．10 B．15 C．20 D．24【解析】选A.先把亮的6盏灯排成一列，然后把需要关的灯插入到这6盏灯中除了两端的空中，故有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10种．3．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名．(2)至少有1名女运动员．(3)既要有队长，又要有女运动员．【解析】(1)第一步：选3名男运动员，有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))种选法；第二步：选2名女运动员，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种选法，故共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝120(种)选法．(2)方法一(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理知共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))＝246(种)选法．方法二(间接法)：不考虑条件，从10人中任选5人，有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10))种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6))种，故“至少有1名女运动员”的选法有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10))－Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6))＝246(种).(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))种选法；不选女队长时，必选男队长，共有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))种选法，其中不含女运动员的选法有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))种，故不选女队长时共有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))－Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))－Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝191(种).解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出对象之间的顺序有关，而组合问题与取出对象的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．【补偿训练】1.某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少有一名女生，则不同的选法种数为()A．120B．84C．52D．48【解析】选C.间接法：Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝52种．2．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人．(2)甲、乙、丙三人必须参加．(3)甲、乙、丙三人不能参加．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．(5)甲、乙、丙三人至少1人参加．(6)甲、乙、丙三人至多2人参加．【解析】(1)有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(12))＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9))＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝3种选法，再从另外的9人中选4人，有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))种选法，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))＝378种选法．(5)方法一(直接法)：可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))＝378种；第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))＝252种；第三类：甲、乙、丙中有3人参加，共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＝36种；共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＝666种不同的选法．方法二(间接法)：12人中任意选5人，共有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(12))种，甲、乙、丙三人都不能参加的有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9))种，所以，共有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(12))－Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9))＝666种不同的选法．(6)方法一(直接法)：甲、乙、丙三人至多2人参加，可分为三类：第一类：甲、乙、丙都不参加，共有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9))种；第二类：甲、乙、丙中有1人参加，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))种；第三类：甲、乙、丙中有2人参加，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))种．共有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))＝756种不同的选法．方法二(间接法)：12人中任意选5人，共有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(12))种，甲、乙、丙三人全参加的有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))种，所以，共有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(12))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＝756种不同的选法．类型二与几何有关的组合应用题(数学建模、逻辑推理)【典例】(1)以正方体的顶点为顶点，可确定多少个四面体？(2)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【思路导引】(1)直接运用组合数求解．(2)运用分类加法计数原理，结合组合数求解．【解析】(1)正方体的8个顶点可构成Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))个四点组合，其中共面的四点组合有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的4个顶点．故可以确定四面体Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))－12＝58(个).(2)如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))种取法；含顶点A的3条棱上各有3个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A共面的3点的取法有3Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋3＝33(种).解几何有关的组合应用题的解题策略(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．1．空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A．205 B．110 C．204D．200【解析】选A.方法一：可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＝205.方法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10))－Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝205.2．平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上(4个点之间的距离各不相等)，此外任何三点不共线．(1)过每两点连线，可得几条直线？(2)以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？(3)分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？【解析】(1)任取两点共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))种取法，共线四点任取两点有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种取法，所以共有直线Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋1＝31条．(2)不共线的五点可连得Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))条射线，共线的四点中，外侧两点各可发出1条射线，内部两点各可发出2条射线，而在不共线的五点中取一点，共线的四点中取一点而形成的射线有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))条，故共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋2×1＋2×2＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝66条射线．(3)任意两点之间，可有方向相反的2个向量各不相等，则可有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＝72个向量．类型三分组(分配)问题(数学建模、逻辑推理)角度1不同对象分组分配问题【典例】有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本．(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本．(3)分成三组，每组都是2本．(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．【思路导引】(1)先从6本书中取出一本作为一组，再从剩余的5本中任取2本作为一组，则其余3本为一组．(2)在(1)分组的基础上进行排列即可．(3)先从6本书中取出2本作为一组，再从剩余的4本中任取2本作为一组，则其余2本为一组，其中有重复须除以Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)).(4)在(3)中分组的基础上排列即可．【解析】(1)分三步：先选一本有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))种选法，再从余下的5本中选两本有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种选法，最后余下的三本全选有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝60(种).(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝360(种).(3)先分三组，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种情况，而这Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种情况只能作为一种分法，故分配方式有eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))＝15(种).(4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝90(种).角度2相同对象分配问题【典例】1.假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为()A．30B．21C．10D．15【思路导引】由于名额之间没有差别，只需将10个名额分成三部分即可．【解析】选D.用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝15(种)分配方法．2．6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数．①每个盒子都不空；②恰有一个空盒子；③恰有两个空盒子．【思路导引】①6个小球是相同的，所以只要将6个小球分隔成4组即可．②先选出一个空盒，再将6个小球分隔成3组．③在6个小球的7个空隙中放入5个隔板，在其中各有两个隔板放到同一个间隙中．【解析】①先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10(种).②恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))种插法，故共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝40(种).③恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．其一：这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))种插法．其二：将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种插法．故共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))·(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)))＝30(种).1．分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．①完全均匀分组，每组的对象个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题．分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．2．相同对象分配问题的建模思想(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同对象的分配问题．(2)将n个相同的对象分给m个不同的对象(n≥m)，有Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n－1))种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．1．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？()A．680B．816C．1360D．1456【解析】选A.先给每个小朋友分三个苹果，剩余18个苹果利用“隔板法”，18个苹果有17个空，插入三个“板”，共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(17))＝680种方法，故有680种不同的分配方案．2．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A．60种B．120种C．240种D．480种【解析】eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))＝10种，再排序10Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝240种．3．重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日．某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是()A．35B．40C．50D．70【解析】选C.六名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组两人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＝50.4．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去3地执行公务(每地至少去一人)，则不同的方案有________种．()A．150B．180C．240D．300【解析】选A.由题意知．可分为2种情况讨论：①分组人数为3，1，1，此时有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝60(种)方案．②分组人数为2，2，1，此时有eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝90(种)方案．因此一共有60＋90＝150(种)方案．课堂检测·素养达标1．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A．36种B．48种C．96种D．192种【解析】eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种选法，乙选3门有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))种选法，丙选3门有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))种选法．所以共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝96(种)选法．2．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有()A．27种B．24种C．21种D．18种【解析】选C.分两类：一类是2个白球有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝15种取法，另一类是2个黑球有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6种取法，所以取法共有15＋6＝21(种).3．随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如表：粉色系列黄色系列玫瑰戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山假日公主、金辉、金香玉康乃馨粉色、小桃红、白色粉边火焰、金毛、黄色配叶红竹蕉、情人草、满天星散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束．请问佳佳可定制的混合花束一共有________种．【解析】若选粉色系列有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))种选法，若选黄色系列有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)