高考数学复习-复数

第六章平面向量与复数

6.2复数

零命题探究

从近三年高考情况来看，复数为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等、复数的四则运算以

及共粗复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度不大，解题时要正

确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.

岁真题归纳

题型一•复数的概念及运算

1

1.(2020•新课标川)复数一r的虚部是()

1-31

13

AA・-DR,LCL・—D.—

10101010

114-3/13

【解答】解：.•一广„+3广]。+-i,

10

13

.♦•复数丁一”的虚部是

1-3110

故选：D.

2.(2021•甲卷)已知(1-z)2z=3+2i,则z=()

3333

A.-1一宗B.7+审C•一/D.送T

【解答】解:因为(1-力2Z=3+2Z,

d3+2i3+2i(3+2i)i-2+3i一3・

所以Z=(1T)2=_2i=(—2i>i=2=-■1+[1・

故选：B.

3.(2020•新课标HI)若5(1+z)=1-z,则z=()

A.1-zB.1+zC.-iD.i

2

【解答】解：由得2=号=(l-o_.

(l+i)(l-0-'

/.z=z.

故选：D.

4.（2021•浙江）已知“CR,（1+出）i=3+i（i为虚数单位），则()

A.-1B.1C.-3D.3

【解答】解：因为（1+出）i=3+i,即-a+i=3+i,

由复数相等的定义可得，-4=3,即”=-3.

故选：C.

5.(2020•新课标H)(1-力4=()

A.-4B.4C.-4zD.4i

2

【解答】解：(1-i)4=[(1-i)2/=(_2i)=-4.

故选：A.

6.(2020•新课标I)若z=l+2i+户，则|z|=()

A.0B.1C.72D.2

【解答】解：z=l+2i+P=l+2i-i=l+i,

A|z|=Vl24-12=V2.

故选：c.

7.(2016•新课标m)若z=4+3i,则三=()

|z|

4343

A.1B.-1C.一+-iD.---

5555

z4—3/4—3/43

【解答】解：z=4+3z,则一一u一--i.

\z\|4+3t|555

故选：D.

8.(2018•全国)设z=-^+亨i,则/+z=()

A.-1B.0C.1D.2

【解答】解：由2=-"?，

得2+z=z(z+1)=(_1+争)&+彖)=除)2-(1)2=-1.

故选：A.

题型二.复数的几何意义

1.（2021•新高考H）复数身在复平面内对应点所在的象限为（

)

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2—i(2—i)(l+3i)2+6i—i—3送5+5i11

==+f，

【解答】解：V-=(1,30(1+30=12+(-3)2i2

2—i11

・・・在复平面内，复数二不对应的点的坐标为(矛位于第一象限.

l-3l22

故选：A.

2.(2020•北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则i・z=()

A.l+2zB.-2+iC.1-万D--2-i

【解答】解：・・•复数z对应的点的坐标是(1,2),

・・・z=l+2i,

则i・z=i(1+2/)=-2+z,

故选：B.

3.(2018•新课标I)设z=1^+2i,则|z|=()

17_

A.0B.-C.1D.V2

2

【解答】解：z=汜+2i=+2i=-i+2i=i,

1十I—十I)

则|z|=l.

故选：C.

4.(2016•新课标I)设(1+z)x=l+yi,其中x,y是实数，则以+泗=()

A.1B.V2C.V3D.2

【解答】解：(1+i)x=\+yi,

•\x+xi=1+yi,

即解得｛；：；，即|x+VI=|l+i|=/，

故选：B.

5.(2017•北京)若复数(1-/)(〃+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数。的取值范围是()

A.(-oo,1)B.(-oo,-1)C.(1>+oo)D.(-1,+8)

【解答】解：复数(1-i)(〃+i)=〃+1+(1-。)i在复平面内对应的点在第二象限,

+1<0

tl-a>0解得。V-1.

则实数。的取值范围是(-8,-1).

故选：B.

题型三彳寺定系数在复数中的应用

1.（2021•乙卷）设2（z+5）+3（z-z）=4+6，，贝ljz=（）

A.1-2iB.1+2/C.1+/D.1-i

【解答】解：设z=〃+bi,a,b是实数，

则5=a-bi,

则由2（z+z）+3（z—z）=4+6八

得2x2〃+3x24.=4+6i,

得4。+66=4+6i,

得氏U，得4=1，b=\,

即z=l+i,

故选：C.

2.（2020•上海）已知复数z满足z+25=6+i,则z的实部为2.

【解答】解：设z=〃+0i,（a,b£R）.

.复数z满足z+2z=6+i,

：.3a-bi=6+if

可得：3a=6,-b=\f解得。=2,b=-\.

则z的实部为2.

故答案为：2.

3.（2020•新课标H）设复数zi，Z2满足|ZI|=|Z2|=2,zi+z2=V5+i,则|zi-Z2|=，6_.

【解答】解:复数zi，Z2满足|ZI|=|Z2|=2,ZI+Z2=V3+i,所以|zi+zR=2,

2

|Z1+z2|=（zi+z2）-zx+z2=4,

.,.8+z^+'z[z2=4.得Z]石+石Z2=-4.

•*.|zi-Z2|2-8-（Zi药+石z2）=12.

又|zi-Z2|>0,故|zi-Z2|=2A/5.

故答案为：2®

4.（2012•上海）若复数z满足|z-i|W或（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为2兀.

【解答】解：•"-仁企，

.♦.z在复平面内所对应的点Z的轨迹是以（0,1）为圆心，夜为半径的实心圆，

.•.该圆的面积为：兀（应/=2兀.

故答案为：2兀

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一.单选题（共8小题）

1.若复数z=苛，其中，为虚数单位，贝位尸（）

LV2

A.V2B.1C.—D.2

2

【解答】解：..2=^,

故选：C.

2.设z=-4+3i,则在复平面内2对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：：z=-4+3i,3.5=-4-3i,

则在复平面内2对应的点的坐标为（-4,-3）,位于第三象限.

故选：C.

.2022

3.复数Z=J在复平面内对应的点位于（）

1—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四始限

泮22/X505+2

11.

【解答】解:~=z：__(1+D_-(l+i)=

•Z=1—11—11-i(1—0(1+01'-』2~211

•2022tt

•••复数2=，•在复平面内对应的点的纵坐标为（-2，-I）,位于第三象限.

1—1LL

故选：C.

4.已知i为虚数单位，复数z满足iz=（1-i）（l+2i）,则z的虚部为（）

A.-3B.3C.2iD.3/

【解答】解：：iz=(l-i)(1+20,

.•・iz=3+i,

.3+i(3+i)i.

・・Z=-7—=2=1—3l,

・・・z的虚部为-3.

故选：A.

5.已知i为虚数单位，复数z满足iz=l-汽z的共辄复数为五贝归在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：,・"z=l-户=1+，,

.1+i(l+i)i1

1i2

：.z=\+i,

5在复平面内对应的点(1,1),位于第一象限.

故选：A.

6.设复数z满足2z+2=3+6i,则z等于()

A.1+2/B.1+6/C.3+2iD.3+6/

【解答】解：设z=a+"a,h&R,

.z=a—bi,

2z4-z=2(q+bi)+(a-bi)=3+6i,

解得4=1，b=6,

S=6

，z=l+6i.

故选：B.

7.已知复数z满足z(1+i)=2,(i为虚数单位)，则()

A.\z\=2

B.复数z的共规复数为2=1-i

C.复数z的虚部为-i

D.复数z是方程/-2x+2=0的一个虚根

【解答】解：：z(1+0=2,

._2_2(l-i).

,•z-T+i-(1+0(1-0-1-t,

对于A,|z|=yjl2+(-1)2=y/2,故A错误，

对于8,复数z的共辆复数为2=l+i,故B错误，

对于C,复数z的虚部为-1,故C错误，

对于D,,：(1-z)2-2(1-z)+2=0,

复数z是方程7-2x+2=0的一个虚根，故£＞正确.

故选：D.

8.设复数z满足条件|z|=l,那么lz+g+il取最大值时的复数z为乎+,i.

【解答】解：复数z满足条件|z|=1,它是复平面上的单位圆，那么|z+百+i|表示单位圆上的点到(一百,

一1)的距离，

要使此距离取最大值的复数z,就是(-点，-1)和)(0,0)连线和单位圆在第一象限的交点.

•••点(-K，-1)到原点距离是2.单位圆半径是1,此连线与单位圆在第一象限交点是(坐，1).

、V31

故答案为：~

22

二.多选题(共4小题)

9.设Z],Z2是复数，则下列说法中正确的是()

0

A.zr-z2=z^-z^B.|Z1Z2|=|Z1||Z2|

C.若ZIZ2£R,贝ljzi=^D.若|zi-z2|=0,则应"=手

【解答】解：设zi=a+Z?i,Z2=c+di(a,b,c,d£R),

对于A,zr—z2=(a—c)—(6-z7-z7=(a-hi)—(c—di)=(a—c)—(d—d)i,

故选项A正确；

对于8,由复数模的运算性质可知，|Z1Z2|=|ZH・|Z2|，

故选项B正确；

对于C,当zi=i,Z2=-4，时，ZIZ2£R,但ZI。石

故选项C错误；

对于D,\z\-Z2|=0,则|(a-c)+(b-d)i|=^/(a—c)2+(b—d)2=0,

所以4=c,b=d,

则Zi=z2/石=W，

故选项O正确.

故选：ABD.

10.已知i为虚数单位，复数z满足z(2+i)=i'°,则下列说法正确的是()

1

A.复数z的虚部为gi

B.复数z的共轨复数为g-gi

C.复数z的模为日

D.复数z在复平面内对应的点在第二象限

【解答】解：由z（2+i）=*=（尸）5=（-1）5=-1,

得LT__（2T）__2+i__2.l

何z—2+i-（2+0（2-i）-22T2一5十5-f

...复数z的虚部为g故4错误；

复数z的共朝复数为一|—"，故8错误；

复数Z的模为]（一|）2+（》2=络,故C正确；

复数z在复平面内对应点的坐标为（一高，I）,在第二象限，故。正确.

故选：CD.

11.已知不相等的复数Zl，Z2,则下列说法正确的是（）

A.若z2<0,则z是纯虚数

B.若|Z1|=|Z2|,则Z』=Z22

C.若幻=豆，则Zl，Z2在复平面内对应的点关于实轴对称

D.若Z/-Z22>0,则Z/>Z22

【解答】解：设z=〃+初（mZ?eR）,若z2=（a+bi）2=/-序+2abi<0,

则卜2-^2V0,可得。=o,即z是纯虚数，故A正确；

取Z|=l,Z2=i,满足|Z||=|Z2|,但zj先2?，故B错误;

若21=豆，则Zi，Z2的实部相等，虚部互为相反