高中数学4-2-1指数函数的概念（分层作业）

4.2.1指数函数的概念（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.(2022•全国•高一单元测试)已知函数/(©=$,则对任意实数x,有()

A./(-x)+f(x)-0B.f(-x)-f(x)=0

C.f(-x)+f(x)=\D./(-x)-/(x)=1

【答案】C

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.

111

【详解】f(-x)+/(%)=—!—+—=—+—=1,故A错误，C正确;

'7V71+2-*1+2'1+2*1+2'

f(-x)-f(x)=——------5—2X12V-1,2

-----------=-----=]------不是常数，故BD错误;

八))1+2一*1+2*1+2*1+2*2*+1----2'+1

故选：C.

2.（2022•全国•高一专题练习）函数y=（a-2）2优是指数函数，则（）

A.a=l或a=3B.a=lC.a=3D.。＞0且。工1

【答案】C

【分析】由指数函数的定义可得（。-2）2=1,同时a＞0,且awl,从而可求出。的值

【详解】由指数函数定义知（。-2）2=1,同时a＞0,且awl,所以解得a=3.

故选：C

3.（2022•全国•高一课时练习）若y=（/-3a+3）优是指数函数，则有（）

A.。=1或2B.a—\

C.。=2D.。＞0且awl

【答案】C

【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.

【详解】因为＞=（/-3〃+3）/是指数函数,

a~—3。+3=1

所以,〃>0,解得〃=2.

a^\

故选：C.

4.(2022.全国•高一课时练习)若函数f(x)=(a2-a-l)优是指数函数，则()

A.a=lB.a—1C.a=l或a=2D.a>0且awl

【答案】B

【分析】根据指数函数的定义列出关于a的方程，进行求解即可.

a2-a—\=\

【详解】由指数函数的定义，得F>0,解得a=2.

awl

故选：B

【点睛】本题主要考查了根据函数是指数函数求参数范围，属于基础题.

5.(2022•云南昭通•高一期末)已知函数y=.f(x)是定义在R上的周期函数，且周期为2,当xe[0,l]时，

/(x)=2'-l,则/图=()

A.8血-1B.20-1

C.72-1D.1-72

【答案】C

【分析】利用函数的周期性，则/(£)=/(£!，又根据函数在的解析式，求解的值，即可

得谶的值•

【详解】解：由题可知〃x)=〃x+2),

所以若卜电+2x3卜/出，

又当xw[0,l]时，/(x)=2J-l,所以==

即/0=忘-1.

故选：C.

6.(2022・全国•高一课时练习)函数y=(a-2)优是指数函数，则()

A.a=l或a=3B.。=1C.a=3D.a>0且awl

【答案】c

【分析】根据指数函数的定义，得到。的方程，从而得到。的值.

【详解】因为函数y=(“-2”，是指数函数

所以。一2=1,〃>0且"1,

解得。=3.

故选：C.

【点睛】本题考查根据指数函数的定义求参数的值，属于简单题.

7.(2022•黑龙江•嫩江市第一中学校高一期末)已知指数函数7。)=(2/-54+3)优在R上单调递增，则。

的值为()

A.3B.2C.4D.-

22

【答案】B

【分析】令系数为1,解出〃的值，又函数在R上单调递增，可得答案.

【详解】2a2_5a+3=l解得。=2,a=；,

又函数在R上单调递增，则a=2,/(x)=2，

故选：B

8.(2022・全国•高一课时练习)函数y=(〃-3a+3)优是指数函数，则有()

A.a=l或a=2B.a=1C.a=2D.a>\,且a*2

【答案】C

【分析】根据指数函数定义得到〃-3a+3=l,排除。=1的情况得到答案.

【详解】由指数函数的概念得/一3〃+3=1,解得a=l或a=2.

当a=l时，底数是1,不符合题意，舍去；当a=2时，符合题意.

故选：C.

二、填空题

_(-r,x<o

9.(2022•浙江大学附属中学高一期末)己知函数/(*)=2,贝l」/"(4)]=.

-y/x,X>0

【答案】4

【分析】利用给定的分段函数，依次计算作答.

【详解】函数/（x）=J2,则f（4）=-4=-2,所以/"（4）］=/（-2）=弓尸=4.

故答案为：4

10.（2022•全国•高一课时练习）若函数〃x）=（ga-3卜（a>0,且"1）是指数函数，则。=

【答案】8

【分析】根据指函数的定义求解即可.

【详解】解：因为函数/（x）=（；a-3）就是指数函数，

所以5。—3=1,所以a=8.

故答案为：8.

11.（2022・全国•高一专题练习）下列函数中是指数函数的是（填序号）.

①y=2•（五）、；②y=2"T；③5=图；④尸炉；⑤y=3；⑥1=

【答案】③

【分析】利用指数函数的定义逐个分析判断即可

【详解】①>=2•（夜］的系数不是1,不是指数函数；

②>=2'7的指数不是自变量x,不是指数函数；

③是指数函数；

④y=x'的底数是x不是常数，不是指数函数；

⑤丫=3T的指数不是自变量x，不是指数函数；

JJ

⑥y=j是黑函数.

故答案为：③

-,、fl-x,x<0八，、

12.（2022・陕西・铜川阳光中学高一期末）设。>0且awl,函数/（"=，若=则。的

［a\vx>0n

值为.

【答案】2

【分析】根据函数/（x）的解析式以及已知条件可得出关于实数〃的等式，由此可解得实数。的值.

/、fl-x,x<0八，、，、

【详解】因为〃X）=<,，且=则。=1一（一1）=2.

故答案为：2.

13.（2022・全国•高一课时练习）若函数y=（/-3a+3W是指数函数，则。=.

【答案】2

【分析】由指数函数定义求解.

【详解】由y=（/-3a+3）a*是指数函数，

a'-3a+3=1,

可得，a>0,解得a—2.

aH1,

故答案为：2.

14.（2022•湖南永州•高一期末）己知函数/（x）=a、（a>0且awl）,若“2）=4,则。=.

【答案】2

【分析】由已知函数的解析式，代入求解即可.

【详解】解：因为函数（。>0且。*1）,/（2）=4,所以4=4,解得〃=2,

故答案为：2.

15.（2022.全国•高一课时练习）已知函数“X）是指数函数，且"2）=9,贝旷（；）=.

【答案】拒

【分析】依题意设f（x）="（。>0且,根据7（2）=9即可求出。的值，从而求出函数解析，再代入

计算可得.

【详解】解：由题意，设="（a>0且"1）,

因为"2）=9,所以合=9,又a>0,所以。=3,

所以〃6=3'，所以/（£|=6.

故答案为：G

16.(2022•全国•高一单元测试)已知/(x)是定义在R上的奇函数，且/(x+4)=/(x),当x«0,2)时，

f(x)=2',则/(-9)=.

【答案】-2

【分析】根据/(x+4)=/(x),可得函数/(x)是以4为周期的周期函数，再根据函数的周期性和奇偶性即

可得解.

【详解】解：因为f(x+4)=/(x),

所以函数/(x)是以4为周期的周期函数，

又因“X)是定义在R上的奇函数，

所以〃一9)=一/(9)=一/(1)=一2.

故答案为：-2.

三、解答题

17.(2022・湖南•高一课时练习)已知指数函数/(力="、的图象经过点(2,2),求/⑴的值.

【答案】0

【分析】先将点(2,2)代入函数解析式，求出函数的解析式，再求f(l)的值.

【详解】指数函数〃x)="的图象经过点(2,2),则2=标，解得

所以〃x)=(应)',贝疗(1)=(及)'=0

18.(2022•全国•高一课时练习)已知函数f(x)=6?优(“力为常数，a>0,且)的图象经过点A(l,6),

3(3,24).

⑴试确定函数的解析式；

(2)若关于x的不等式20在区间(f,1］上恒成立，求实数用的取值范围.

【答案】⑴/(X)=3X2、

(2)|-oo.|

【分析】⑴根据题意,得到方程组“求得词的值,即可求解;

(2)根据题意转化为函数y=在区间(-8山上的最小值不小于加，结合函数的单调性求得最小

值，即可求解.

(1)

解：因为函数/(x)=6?优的图象经过点A0,6)和8(3,24),

可得L3结合。且"1,解得〃=21=3，

[b-a=24

所以函数“X)的解析式为“X)=3X2,.

(2)

?"2在区间(9』上恒成立,

只需保证函数y=在区间(fO,l]上的最小值不小于加即可,

因为函数y在区间上单调递减,

所以当x=i时，T3U取得最小值，最小值为竟，

所以只需加£3即可，即实数"，的取值范围为1-8怖.

6I6」

19.(2022♦全国•高一专题练习)设为定义在R上的奇函数，当xNO时，〃x)=2'+2x+6(b为常

数)，求〃-1).

【答案】-3

【分析】先由"0)=0求得6=-1,再由/(—1)=一/(1)求解即可.

【详解】因为〃x)为定义在R上的奇函数，所以/⑼=20+0+6=0,解得分=—1,所以当*0时，

f(x)=T+2x-l,所以/(T)=_/(l)=_(2+2_l)=_3.

20.（2022•全国•高一专题练习）若指数函数的图象经过点（2,9）,求/（x）.

【答案】f（x）=y

【分析】设出函数解析式，代入点（2,9）求解即可.

【详解】设/（可="'（。＞。且。"），因为函数“X）的图象经过点（2,9）,代入可得必=9,

解得〃=3或。=-3（舍去）.故=

21.（2022•贵州黔东南•高一期末）已知函数"x）=（济-2〃7-2）加是指数函数.

⑴求实数机的值；

（2）解不等式（2+X）A＜（1-X）3

【答案】（l）"i=3

⑵仁,-3）

m2-2m-2=1,

【分析】（1）由题意可得机＞0,从而可求出实数加的值；

机w1,

2+x＞0

333

（2）由（1）可得（2+力5＜（1-力3,再由塞函数y=Q的单调性可得1-xNO,解不等式组可得答案

2+x＜\-x

（1）

m2-2m-2=i

由题可知,加＞0解得相=3

mw1

（2）

,33

由（1）W（2+x）i＜（l-x）i

・・・＞=］在［0,笆）上单调递增，

2+x＞0

,解得-2,工＜-2，

2+X＜1-X

故原不等式的解集为-2,-g）

22.（2022.海南鑫源高级中学高一期末）已知函数/"）="（4>0且。#1）的图象经过点（2,9）

（1）求实数。的值；

（2）若〃2x-l）<3,求实数”的取值范围.

【答案】（1）3

⑵（一/）

【分析】⑴利用"2）=9求得a.

（2）结合指数函数的单调性求得实数x的取值范围.

（1）

依题意a>0且"1，

f（2）=a2=9^a=3

⑵

/（力=3、在R上是增函数

且/（2x-1）<3=/⑴

/.2x-l<1

.\x<l

，所求的X取值范围是（70,1）

23.（2022•北京丰台•高一期末）一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文

件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费.这种病毒开机时占据内存2KB,每3分钟后病毒所占内存

是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为yKB.

（1）求y关于x的函数解析式；

⑵如果病毒占据内存不超过1GB（1GB=2">MB,lMB=2i°KB）时，计算机能够正常使用，求本次开机计

算机能正常使用的时长.

【答案】⑴y=2扪（xeR*）

(2)57分钟

【分析】(1)根据题意可得，y关于x的函数解析式；

(2)先根据题意，换算病毒占据的最大内存1GB=2">KB,根据(1)中的解析式，列出不等式，可得答案.

(1)

因为这种病毒开机时占据内存2KB,每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.

所以x分钟后的病毒所占内存为，得,=2「(xeR")

(2)

因为病毒占据内存不超过1GB时，计算机能够正常使用，

故有齐42?。，解得X457.

所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟.

—【能力提升】

一、单选题

1.(2022•全国•高一单元测试)Ax)是定义域为R的函数，且为奇函数，+为偶函数，则”2)

的值是()

.17-17〃47-47

A.――B.—C.—D.—

8484

【答案】A

【分析】利用函数的奇偶性列方程组求/(幻的解析式，进而代入自变量求/(2)的值.

【详解】由题意，/(-x)-(-x)2=f(-x)-x2=x2-f(x),即/(—x)+/(x)=2V

/(-x)+2-*=f(x)+2x,即/(x)-f(-x)=2T-2"

所以2f(x)=2x2+2-x-2X,可得f(x)=/+,

故/•(2)=22+2-2T_22T=—.

8

故选：A.

2.(2022.浙江宁波.高一期末)已知函数/。)=*2+〃a+〃，则存在北〃eR,对任意的xwR有()

A./(x)</(x+2022)B.2022f(f(x))>2022v

C.f(x2-l)<.f(x-2022)D./(VX2+2022)>

【答案】D

【分析】考虑到二次函数f(x)=x2+,nr+”的对称轴的不同情况，结合二次函数的单调性，即可判断每个选

项的正确与否.

【详解】对于A,当x+20224-最时，有/(x)>/(x+2022),故A错误；

对于B,/(/(*))为四次函数，y=2022f为指数函数，且是单调递增，

当x取很大的实数时，不存在使得2022/(/(x))22022"故B错误；

对于C,要使/(x2-1)</(%-2022),必须满足|x2_i_(_g|Vx-2020-(-£)|,

也即恒有2020|,当x=100时,就有-旧X-2020|,说明C错误；

对于D,&+2022x(犬+2022)22022J2022，即Jx2+2022220222022,

x~+2022

此时，若，”20,则,那么对任意的xeR,/(&+2022卜/［恒成立,故D正确；

2、/(丁+2022J

故选：D.

3.(2022.宁夏.吴忠中学高一期末)设函数“X)对任意的xeR,都有〃—x)=/(x),/G-2)=-/(x),

且当xe［—1,0］时，/(x)=2S则”2022)=()

A.—1B.1C.!D.—

22

【答案】A

【分析】由/(x-2)=-/(x)和〃T)=/(X)可得函数“X)的周期，再利用周期可得答案.

【详解】由/(x-2)=-/(x)得/(x+2-2)=-/(x+2)=/(x),

所以八+4)=/(》+2)=-〃刈，即〃x+4)=/(x),

所以〃x)的周期为4,42022)=/(505x4+2)="2),

由f(x-2)=-/(x)得，(2-2)=-/(2)=2°=1,

所以〃2)=-1.

故选：A.

二、填空题

2019

4.(2022•陕西・西安高新第三中学高一开学考试)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=两且x«0,2)

时，/(x)=3'，则/(2022)=

【答案】2019

【分析】先判断函数的周期性，再利用周期性改变自变量的大小，将自变量转化到已知对应关系的区间上,

代相应的解析式即可

,、/2019

【详解】根据题意，函数/(x)满足/(x+2)=同

则小+4)=濯g=〃x),

则函数是周期为4的周期函数，

7019

〃2022)=〃2+2020)=/(2)=硒

又由xe[0,2)时，/(x)=3,,

贝4⑼=3。=1

贝I]/(2022)=2019,

故答案为：2019

5.(2022•全国•高一课时练习)已知函数是指数函数，如果/(3)=9/⑴，那么/(8)_f(4)(请在横线

上填写“＞"，“=”或，，＜”)

【答案】＞

【解析】由题意设/(x)=优，根据〃3)="(1)求出解析式,即可比较〃8),八4)的大小.

【详解】因为函数/(x)是指数函数，

设f(x)=ax,

则〃3)=/=%/=9/⑴，

解得。=3或。=-3(舍去)

所以/(x)=3，，是增函数,

所以〃8)＞/(4),

故答案为：＞

【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，待定系数法求解析式，属于容易题.

6.(2022・湖南•高一课时练习)已知函数/。)=优+/。＞0,且"1),其图象像经过点(-1,5),(0,

4),则/(-2)的值为.

【答案】7

【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入求值即可.

【详解】解：由己知得卜解得一=5,

H+i[b=3

所以〃X)=(£|'+3,所以/(一2)=(gJ+3=4+3=7.

故答案为7

【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式及求函数值，属于基础题.

三、解答题

7.(2022•河北沧州•高一开学考试)已知定义在R上的奇函数“X)满足/(x)=/(x+2),且当xe(O,l)时,

2、

〃x)=

4'+1

⑴求/(1)和"T)的值;

(2)求在上的解析式.

【答案】(1)/(1)=。，/(-1)=。

2X

----0<x<l

4A+1

2X

⑵-------l<x<0

4X+1

0x=-1,0,1

【分析】(1)由奇偶性和〃x)=/(x+2),取41可得；

(2)取xw(-l,0),利用-xe(O,l),代入解析式结合奇偶性可解.

(1)

f(x)满足f(x)=f(x+2),

.-./(l)=O,/(-l)=O.

⑵

由题意知，"0)=0.当xe(-l,o)时，-xe(o,l).

由〃x)是奇函数，

,-./(x)=-/(-x)=——=—―,

7VV'4X+14V+1

-2V

---0cx<1,

4'+l

综上，在［T,l］上，〃x)=卜亦-l<x<0,

0x=-1,0,1.

8.(2022•辽宁•大连二十四中高一期末)已知指数函数/(x)=a'(a>0,awl)过点(1,2),函数

g(x)=

⑴求g(l)，g(R的值；

(2)判断函数g(x)在R上的奇偶性，并给出证明；

(3)已知g(x)在［0,内)上是单调函数，由此判断函数y=g(x),xeR的单调性(不需证明)，并解不等式

g(2x+l)>g.

【答案】⑴g(-l)=g⑴=；；

⑵g(x)为偶函数，证明见解析；

(3)g(x)增区间为(0,小》),减区间为(F,0)；不等式解集为(e,-l)u(0,+8).

【分析】(1)由指数函数过点求参数。，即可得g(x)的解析式，进而求g(l),g(-l)的值：

(2)利用奇偶性定义判断g(x)的奇偶性；

(3)由题设及(1)(2)结论即可判断y=g(x)的单调性，再根据单调性、奇偶性求不等式的解集.

⑴

由题设，/(1)=«=2,则8(6=%.汽，

所以g(-l)=_lx^-j_g(l)=lx|"^=:.

6''2-|+13v2+13

(2)

2X-1

g(x)=2'+]'"'xcR，定义域关于原点对称.

又g(-X)=|=7^(T)==g(x),

故g(x)为偶函数；

(3)

由g(0)=0且g(O)<g(l)，g(x)在[0,行)上单调,

所以(0,e)为g(x)单调增区间,

而g(x)为偶函数，则g(x)单调减区间为(f,0)

由g(2x+l)>g可得：g(2x+l)>g⑴，QP|2X+1|>1,解得—1)=(0,e).

9.(2022•全国•高一单元测试)如图所示的函数尸的图象，由指数函数/Xx)="与基函数g(x)=f“拼接”

而成.

(1)求尸(x)的解析式；

(2)比较4?与V的大小;

(3)已知(机+4)-"<(3-2%)-〃，求m的取值范围.

12

【答案】(1)F(x)=<(2)ab<ba;(3)

11

a=一，X

16<16-4

【详解】试题分析：(1)将分别代入f(x)=/,g(x)=f，求得,所以F(x)=

：1

b=-xz,x>—

24

1

(2)因为(；产所以运<(f即八

m4-4>0,

(3)由题意+4)5<(3.2m)3，根据定义域和单调性，有｛3-2加>0,解得-

m+4>3—2m,

试题解析：

-11

a4=-

2

(1)由题意得，1b1

=-

4-2

I

(2)因为g产<g,所以(1)32，(羊，即/

(3)由题意(/+4)二<(3—2/n)2，

w+4>0,

13

所以｛3-2机>0,解得—§<根<；,

w+4>3-2m,

19

所以，”的取值范围是

考点：函数的单调性.

10.(2022・全国•高一期末)已知函数大》)=依十仇a>0,且厚1).