高考数学复习07平面向量、复数（解析版）-2021年高考数学专练(新高考)

热点07平面向量、复数

【命题趋势】

复数及其运算是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轨复数，复平面以及复数之间的

一些运算。一般出现在选择题的第一或者是第二题。

平面向量也是新高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算。

本专题也是学生必会的知识点。通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加

以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面

向量。

【满分技巧】

复数一般考查共扼复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比

较简单，属于送分题目。牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案

带入式运算。

平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可。

平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，

在解决此类题目中记住三角形法则核心即可。

平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合。此类题目简便解法是采用数形结合的方式

去求解。

【考查题型】选择题，填空

【常考知识】复数的概念和几何意义、复数的运算、向量的概念和意义、平面向量的线性运算、平面向量

的数量积

【限时检测】（建议用时：60分钟）

一、单选题

1+z

1.（2020•福建高三其他模拟）己知复数z=l+"彳为Z的共辗复数，则三=（）

3+z1+313+3i1+Z

A.2B.2C.2D.F

【答案】B

【分析】

1+z_2+»

由复数z=l+i,得到z=17,进而得到zl-i,根据复数的除法运算法则，即可求解.

【详解】

1+z2+i（2+i）（l+i）l+3i

由题意，复数z=l+i,可得z=l-i,则zl-iO-OO+O2.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，以及共辑复数的概念及应用，其中解答中熟练应用复数的除法运算的法

则，以及熟记复数的共甑复数的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

2.（2020年新高考全国卷I数学高考试题（山东））已知产是边长为2的正六边形/故怀内的一点，则

AP-AB的取值范围是（）

A.（々6）B.（一6,2）

c.(-2,4)D.T6)

【答案】A

【分析】

首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到万在％石方向上的投影的取值范围是（一L3）,利

用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

万的模为2,根据正六边形的特征，

可以得到淳在刘方向上的投影的取值范围是（一L3）,

结合向量数量积的定义式，

可知万•方等于荏的模与存在方方向上的投影的乘积，

所以万•存的取值范围是（-2,6）,

故选：A.

【点睛】

该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式,

属于简单题目.

3.（2020•山东济宁•高三其他模拟）已知点用是边长为2的正方形/8CZ）的内切圆上一动点，则

而•而的取值范围是（）

A.[一响及[一⑶C.@3]D,[-U]

【答案】B

【分析】

建立坐标系如图所示，设”(cosasin,),利用坐标求出痂.而，即可根据三角函数的性质求出范围.

【详解】

建立坐标系如图所示,

,设M(cos6,sin0)其中/(一1,一1),5(1,-1)

易知布•痂=(c°se+l，sine+l>(cose-Lsine+l)

=cos2^-1+sin2e+2sine+l=2sin6+l

故选：B.

【点睛】

关键点睛：本题考查数量积范围的求解，解题的关键是建立恰当的直角坐标系，将数量积的运算转化为坐

标运算，将材设为(c°sasin°)更便于利用三角函数的性质求范围，这也是解决几何与向量结合的问题中

常用的方法.

(1+—(2+一

Z2

4.(2020•河南焦作•高三一模(理))设Q£R+,复数°一口),若忖则。=()

A.10B.9C.8D.7

【答案】I）

【分析】

根据复数的模的性质求模，然后可解得

【详解】

（l+i）2（2+i）4|1+黑2+力〔，）心1_507

（1-4iff/Twl】+/、

解：1/,解得a=7.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键.设复数2=0+次（"/6火），则目=,

z\_JfJ.

模的性质：上论|=|向忆|,上|=

|z[（MeN*）z2\z2\

•广西高三其他模拟（理））已知彳，均为单位向量，它们的夹角为若

5.（2020B120°,c=Aa-/jbf

G_L1,则下列结论正确的是（）

A22+//=0B22—//=0c4—〃=002+幺=0

【答案】A

【分析】

根据）工干，由展己=展（几彳-1区）=0求解

【详解】

因为

所以5•己=-=0

即Aa2-^ia-b=0

丸+丝=0

所以2,即24+4=0

故选：A.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.

6.（2020•江西高三二模（理））已知（2+»）歹=》+加，x,y&R则y（）

A.&B./C.23.加

【答案】D

【分析】

先由复数相等的定义得到"J,再求值.

【详解】

因为xeR/eH且（2+i）y=x+M

'2y=X|-+z|=|2+z|=V5

所以＜y=y，所以y,

故选〃

【点睛】

本题考查了复数的基本运算,复数的模,复数相等的概念,属基础题.

7.（2020•四川遂宁•高三零模（理））在口43。中，点。为边ZC上一点，4B=2BC=2,且

就=2而，=CM=2MB,AN=NB则而.方+丽衣=

t（)

9

A.5B.2

7

C.2D.3

【答案】D

【分析】

———1—

AM=AB+—B(

依题意画出图形，可得Z°==3°,从而得到N8=90°,再由3

——1—

CN=-BC——AB

2,根据平面向量数量积的运算律计算可得；

【详解】

解：因为前=丽，所以N为中点，

因为CA/=2M3,所以〃为8c的三等分点，因为就=2彳5,所以。为/C中点,

因为图卜2MAC=2AD,所以AD=CD=BD,所以4=90。

AM=AB+BM=AB+-BCCN=CB+BN=-BC--AB

所以3,2

因为刀口胫=0,AB=2BC=2,

AM-AB+CN-BC^\AB+-BC\-AB+\-BC--AB\-¥C

所以I3JI2J

‘一21，­―21一‘，一

=AB+—BCAB-BC一一ABBC

32

7191

=22+-X0-12——x0=3

32

故选：D

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，解答的关键是利用“6、8c坐标平面内的一组基底，表示出国、~AM,

最后再利用平面向量的运算律计算:

8.（2020•四川成都外国语学校高三月考（理））已知复数z满足z（l—i）=2i,则复数z在复平面内对应

的点所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】

利用复数的除法运算求得复数z的值，进而得到复数所对应的点的坐标，从而得到所在象限.

【详解】

2i2z（l+0,

因为z（l_，）=2i,所以—（l-z）（l+z）

即z在复平面内所对应的点为（T」），在第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的除法运算和由复数判定对应点的象限，属基础题.

9.（2020•四川遂宁•高三零模（理））若复数（1-'）（"+'）（'是虚数单位）为纯虚数，则实数”的值为（

A.2B.1

C.0D.-1

【答案】D

【分析】

由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解.

【详解】

（1-i）（a+i）=a+i-ai-i'=a+1+（1-a）i,它为纯虚数，

Q+l=0

V

则U-awO,解得a=-l.

故选：D.

10.（2020•河南焦作•高三一模（理））已知向量"=Qx，l）与g=（乂一2）互相垂直，则卜+3囚的最小

值为（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】A

【分析】

由向量的数量积为。求出的关系式，然后把向量的模用坐标表示后，结合基本不等式可得最小值.

【详解】

解：■坂，二2个-2=0,...孙=1

A|2x+3y\>2y/6xy=2>/6,当且仅当2x=3y=#或-"时等号成立，

.\a+3b\=7（2x+3y）2+52>7

故选：A.

11.（2020•贵州遵义•高三其他模拟（理））己知匚力8c的外接圆的的圆心是机若

l

PA+PB+PC=2PM,则#是口25c的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】1）

【分析】

由题意画出相关示意图，D、C分别是43、0C的中点，连P。，DM,FM,根据向量在几何图形

中的应用有瓦i+而=2而，即得两与所共线即可知户与口/BC的关系.

【详解】

如图，D、R分别是Z8、PC的中点，连尸£>,DM,FM,则有P4+PB=2PD,而

PA+RB+PC=2PM

——►—►PC

.•定=2冲-而）=2加即有。八尸八二有两与丽共线,

•.•□N3C的外接圆的的圆心是机有MD上AB,则PC1/8,同理有P8INC,PA1BC,

尸是口/BC的垂心.

故选：D.

【点睛】

本题考查了向量的几何应用，根据几何线段的向量表示，结合向量线性运算求证点与三角形的关系.

3-ai

----=1-i

12.(2020•广东湛江•高三其他模拟)已知了是虚数单位，a为实数，且2+i,则a=()

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】B

【分析】

可得3-az=(2+i)(l-i)=3-j,即得°=].

【详解】

由3—山=(2+z)(l—z)=2—2z+i-?2=3—j得?=1

故选：B.

13.(2020•贵州遵义•高三其他模拟(理))设复数z满足b+1|=1,且z在复平面内对应的点为(XJ)

则羽歹满足()

22

A.(x+l)+/=lB.(^-1)+/=1c,-+3-1>=1口.f+S+l)2=l

【答案】A

【分析】

设Z=X+W(X/GR),代入Iz+h=l,再由复数模的计算公式求解.

【详解】

设2=彳+何（羽歹eR）

由1z+”=l得：

|x+1+M|=J（x+1）2+/=]

2

即（x+l）+/=lt

故选：A

【点睛】

本题考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

14.（2020•云南高三其他模拟（理））在矩形4腼中，4B=2,力。=1,点材在边切上运动，则

而•砺的最小值为（）

A.-1B.0C.1D.逝

【答案】B

【分析】

以/原点，46所在的直线为x轴，4〃所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设xe[°，2],

用向量数量积的坐标运算求出数量积后可得最小值.

【详解】

如图，

以4原点，49所在的直线为x轴，4〃所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，

AB=2,1则“(°，°),3(2,0),

又"点在切上，设"OU),xe[0,2],

则必=(—x,—l),MB=(2-x,-Y)M4-M5=X2-2X+1=(X-1)2

当x=l时，有最小值0.

故选：B.

【点睛】

本题考查向量数量积的最小值，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标表示向量的数量积，化数量积为

函数，从而求得最小值.

15.(2020•江西高三二模(理))如图，在U70ACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF,若

其中

OC=mOE+nOF,m,nER,则m+n的值为()

0A

377

A.1B.2C.5D.3

【答案】c

【分析】

根据题意将反用基底向量04°B表示出来，然后通过基底向量进行计算.

【详解】

在平行四边形中OA=BC,OB=AC.OCOA+OB

因为E是AC中点,

AE=^-AC=-OB

所以22

OE=OA+AE=OA+-OB

所以2

因为8c=38b

—■1一1—

BF=-BC=-OA

所以33

OF=OB+BF=OB+-OA

所以3

因为OC=mOE+nOF

1

OC=m+—

所以3

4

m+—n=\m=—

35

1,3

—m+n=in=—

2,解得5

7

m+n=—

所以5

故选C

【点睛】

本题考查向量的运算，解题的关键是找到一组基底，将所求向量用基底表示，然后再进行运算.

上一匐=2的复数对应的点的轨迹是圆，则I--1!

16.（2020•江苏高三月考）对于给定的复数z,若满足

的取值范围是（）

八[717-2,717+2]B[V17-1,V17+1]

D.[百T百+1]

【答案】A

【分析】

求出圆心坐标和半径，利用上一"表示点Z到1对应的点的距离，山这点到圆心的距离加减半径可得.

【详解】

满足上一而|二2的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是4"半径为2,

上一”表示点z到1对应的点的距离，又=后,

.|z-11£[717-2,717+2]

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的几何意义，考查圆上的点到定点距离的最值问题，解题方法是把圆上的点到定点的距离转

化为求定点到圆心距离.

二、填空题

->->->->

17.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H））已知单位向量人的夹角为45°,ka-b与

—>

a垂直，则公.

V2

【答案】2

【分析】

首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数％的值.

【详解】

TT\F1

a-h=lxlxcos450=---

由题意可得：2,

[ka-bya=Q

由向量垂直的充分必要条件可得：（J,

->-»B

kxa-a-b=k--=0k=—

即：2,解得：2.

V2

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必耍条件等知识，意在考查学生的转化

能力和计算求解能力.

18.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H））设复数4,Z2满足固=%|=2,z1+z2=V3+i）

则|Zi_Z2l=.

【答案】2月

【分析】

方法一：令Z|+z2=c+dt,（ceR,deR）根据复数的相等可求得ac+6d=-2,

代入复数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数所对应的点为

Zi，Z2Z”Z2,0p=OZi+OZ2根据复数的几何意义及复数的模，判定平

行四边形。乙心2为菱形，|痂|=|OZ」=|OZ2|=2

，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算

M-Zzl

【详解】

方法设Z[=a+bi,(a£R,b£R)z2=c+di,(c£R,dsR)

Z]+Z2=〃+c+(b+d)i=V5+，

a+c=\/3

*

、b+d=1,又%|=凡|=2,所以°2+/=4,/+屋=4,

(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+h2+d2+2(ac+hd)4

/.ac+bd=-2

-Z21=|(Q-c)+3-d)i\=yj(ci-c)2+(b-d)2=^8-2(ac+)

=78+4=273

故答案为：2石.

方法二：如图所示，设复数Z1*2所对应的点为Z”Z2,而=。％+反2,

由已知回卜g=2=|0讣|。功

...平行四边形°Z为为菱形，且口0Pzl10%都是正三角形，...々02=120。,

22222

|Z/21=|OZ,I+1OZ21-2|OZ,||OZ2|COS120°=2+2-2-2-2-(-1)=12

.|,-Z|=|Z,Z|=2V3

••Z22•

p

z:

OZ1

【点睛】

方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档

题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解

19.(2020•安徽高三其他模拟(理))已知非零向量"，B满足W=且1,(25-B),则a与B的

夹角为.

兀

【答案】3

【分析】

根据向量垂直，先得到44一"/=0,再由向量夹角公式，以及题中条件，即可得出结果.

【详解】

..al(2a-b).a-(2a-h)^0.2\af-a-b=Q

•，♦•f••,

印2同2-同向COS,,B)=0

..W=4同.2同2-4同2cosR,B〉=0

♦，♦・，

COS@,B)=g,,.,0<(万,«71,/.(落=~

71

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查求向量的夹角，熟记向量夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于基础题型.

年浙江省高考数学试卷）设为单位向量，满足「应，

20.（2020G,‘2|2ee2|4a=q+e2,^=3e,+e2（

设3的夹角为°,则cos?6的最小值为_」

28

【答案】29

【分析】

q•42一2

利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得4,再根据向量夹角公式求cos6函数关系式，根

据函数单调性求最值.

【详解】

UIUL

Q2q-gI-v2

UIu

4一4q*62+1<2

(屋)2

但#F2%=4(l+&a)

/.cos0-1f

a.b(2+2e1・4)(10+6。1q)5+3e)-e2

4242、28

=—(1--------LT)>—(1---------------)=—

35+3耳q35+3x329

4

28

故答案为：29.

【点睛】

本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量枳求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解

能力，属中档题.

-rI-I_QIr.-<cos<5b><-

21.（2020•吉林高三其他模拟（文））设向量。，满足Hl=3,Sl=l,且3,2,则

|2〃一小的取值范围是_.

［答案］

【分析】

将12°-5I两边平方，再利用向量数量枳即可求解.

【详解】

解：向量I,B满足1刈=3,出|=1,

।-可=\l4a2-4a-b+b2=-4x3xlxcos（4,B）=j37-12cos（万,

1-1

-<cos<abr><—

•••3,2,

可得4<12cos<万，B><6,

6<-12cos<1,bx-4,

.•.31<37-12cos<5,b><33,

j37-12cos（哂e（VJT底）

则12万—11的取值范围是（用，后）

故答案为：（同，回.

【点睛】

本题考查了利用向量数量积的求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

22.（2020年天津市高考数学试卷）如图，在四边形力88中，28=60,'8=3,BC=6,且

——.——.——.——►3

AD=ABC,AD,AB二一一

2,则实数2的值为若是线段8c上的动点，且也N|=1,

则DM-ON的最小值为.

【分析】

可得NA40=120°,利用平面向量数量积的定义求得人的值，然后以点B为坐标原点，5c所在直线为

x轴建立平面直角坐标系，设点M（x，°）,则点N（x+L°）（其中0W）,得出两•丽关于x的

函数表达式，利用二次函数的基本性质求得ON的最小值.

【详解】

vAD=XBC,:.AD/iBC,NM)=180°-N8=120°,

雷罚=2南方=/网画cos120。

3

2x6x3x

2

/I=—

解得6,

以点5为坐标原点，8c所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系“坊，

BC=6,.\C（6,0）

/=3,48C=60。，的坐标为

AD=-BC,设一（芯°）,则N（x+l,O）（其中o〈xW5）,

♦.•又；6，则

53回

DM=X——2,-----2---J丽=卜弓

2,21，八213

DMDNx—4x4---=（X—2）d—

2v72

13

所以，当％=2时，DM-DN取得最小值2.

1_13

故答案为：6；2

【点睛】

本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

cos=__

23.（2020•广西高三一模（理））已知ZUa'满足48=1,47=2,25.若£为///7内一点，满

足AAE=2AB+AC（兄€兄），且EBEC=°,延长股至比'交于点〃，贝ij2=

6-夜

【答案】15

【分析】

根据所给条件，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算进行求解.

【详解】

——[Tp\-7cosJ=—

令4F=2AB,则I"门一。由25

71441?

FC2=4+4-2X2X2X—=—FC=—

可得：2525,所以5

c（|,0）

所产所以z点坐标为畤

所以5点坐标为(一汾”点坐标为(哈,

由4/E=2/8+4C,则点E在40上,

设E点坐标为(°"),

__346[84

------EBEC=(——,——/)•(-,-/)=---------t+t2=0

有EBEC=O可得555255

(_2+^22

解得5,

I--I82+V226-V22

\AE\=--------------=----------

所以।1555,

1—116

人2吼一16

|JE|6-夜6-V221—116

所以5,।।15

1—116

|^|_15_6-V22

2-16-15

6-V22

6-后

故答案为：15

【点睛】

本题考查了向量相关的计算以及解三形中的余弦定理，考查了转化思想，有一定的计算量，属于较难题.

解本类问题关键点有：

(1)建立直角坐标系，用向量的坐标表示来解决向量问题是一个重要的方法：

(2)各个条件的整合，以结论为目标，把几何关系，转化为代数关系.

-7-a-o=~\a-h\=3

24.(2020•浙江省东阳中学高三其他模拟)己知平面向量。力工，满足4,I|一，

(”-c>@—c)=-2,则卜|的取值范围是.已知向量扇"是单位向量，若，区=0,且

Ie-a\+c-2b\=V5心+2a\

111则।।的取值范围是.

一35

一,一

【答案】L22

【分析】

(1)根据向量不等式可得式3+5)35川万+加，从而得到关于修।的不等式，即可得答案；

(2)根据已知设出向量值和向量3，向量0的坐标，代入等式化简，再利用距离的几何意义可看成一个动

点到两个定点的距离之和，而所求的可看成是一个定点到线段的距离，由此可求得最值.

【详解】

十W7--21225

u\b——r|_Qa+b=—

解：⑴由4,I。一解得2,

乂由伍_@)0^_0)=@区_811+6)+/=-2,

,15--

|c|2