高考数学二级结论4指数函数与对数函数

二级结论专题4指数函数与对数函数

二级结论1：不同底的指数函数图像变化规律

【结论阐述】当底数大于1时，底数越大指数函数的图像越靠近了轴；当底数大于。且

小于1时，底数越小，指数函数的图像越靠近>轴.即如图1所示的指数函数图像中，底

数的大小关系为：0<c<d<]<b<a,即图1中由y轴右侧观察，图像从下至上，指数

函数的底数依次增大.

图1

【应用场景】利用这一结论根据图像迅速判断对应指数函数的底数大小，从而对底数进

行定位.

【典例指引1]

(2022北京市十一学校高一上学期期中考试)

1.已知函数丫="、y=b\y=c\y=，的大致图象如下图所示，则下列不等式一

A.b+d>a+cB.b+d<a+cC.a+d>b+cD.a+d<b+c

【典例指引21

（2021.宁夏•青铜峡市宁朔中学高一期中）

2.如图是指数函数(1)y=优，(2)y=bx,(3)y=c',(4)y=，的图象，则”,

b,c,d与1的大小关系是

⑴⑵⑶⑷

【针对训练】

（2022•全国,高一课时练习）

3.函数①y=a*；②y=，*；®y==的图象如图所示，a,b,c,d分别是

则a,b,c,"的值分别是（）

厂5

B.54

312

5

C11—D.“5r

C.2，3，。3,43121

（2022.全国•高一课时练习）

4.已知乂=（g）,%=3*,%=107，必=10*，则在同一平面直角坐标系内，它们的

图象大致为（）

®0<£><«；②a<b<0；（§）0<a<b；@b<a<0；⑤。=人=0

其中有可能成立的关系式有（）

A.①B.②⑤C.②③D.④

（2022.全国•高一课时练习）

6.（多选）已知实数a,6满足等式则下列关系式中不可能成立的是（）

A.0<b<aB.a<b<0

C.0<a<bD.b<a<0

7.已知实数。力满足等式3“=6”,则下列可能成立的关系式为（）

A.a=bB.0<b<aC.a<b<0D.0<a<b

（2022・湖南•高一课时练习）

8.设a,6,c,d都是不等于1的正数，>=。*,丫=匕*,'=。*,丫=，在同一坐标系中的图象如

图所示，则a,b,c,d的大小顺序是

二级结论2：不同底的对数函数图像变化规律

【结论阐述】当底数大于o且小于1时，底数越小，对数函数的图像越靠近X轴；当底

数大于1时，底数越大，对数函数的图像越靠近x轴.即如图2所示的对数函数图像中，

底数的大小关系为：0<b<a<l<d<c,即图2中，在x轴上侧观察，图像从左向右,

对数函数的底数依次增大.

图2

【应用场景】利用这一结论根据图像迅速判断对应对数函数的底数大小，从而对底数进

行定位.

【典例指引1】

9如图,曲线G，•，G，C1,分别对应函数y=log«x,y=logax,y=logax,y=logax

A.a4>a3>1>a2>>0B.a3>a4>]>a1>a2>0

C.a2>>]>a4>>0D.ax>a2>\>a3>a4>0

【典例指引2）

（2022四川绵阳南山中学高一上学期期中考试）

10.已知实数”,人满足等式，（g下列五个关系式：

®0<b<a；②。<。<0；®0<a<b；④。<。<0；@a=b.

其中可能成立的关系式有.（填序号）

【针对训练】

（2022.新疆巴音郭楞.高一期末）

c的大小关系是（）

B.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>b

12.若log,“8.1<log,,8.1<0,那么机，〃满足的条件是（）

A.m>n>\B.n>m>\C.0<M</n<1D.0<m<n<\

（2022•湖南五市十校期末考试）

13.己知函数/（x）=log“（x-b）（a>0且明。为常数）的图象如图，则下列结

论正确的是（）

C.0<a<l,b<—\D.0<«<1,—1</?<0

14.设/函数y==/,指数函数y=a；,y=4,y=£,y=a：,对数函数

y=log%x,y=log与x，y=log%%y=1。瓦x在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之

间的大小关系错误的是（）.

y=，ogb¥

A.q<0<c3clec2B.0V。4<。3<1<4V。2

C.0<b3<b4<1<b2<bxD.0<仇v4<1<"i<%

(2022.湖南•高一课时练习)

15.对于函数y=iog,“x与y=iog“x.

(1)若你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？

(2)若你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？

(2022・全国•高一课时练习)

16.如图所示是6个函数的图像，依据图中的信息将a,b,c,"从大到小排列.

y=axy\y=^尸c^

二级结论3：方程x+/(x)〃的根为王,方程x+尸(力=&的根

【结论阐述】若函数y=f(x)是定义在非空数集。上的单调函数,则存在反函数y=_T'(x).

特别地，y=优与y=bg“x(4>0且awl)互为反函数.

在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图像关于尸对称，即与

(/(x0)，为)分别在函数)可(X)与反函数y=r'(X)的图像上.

若方程x+/(x)=z的根为为，方程x+/T(x)=Z的根为X?,则%+当=4.

【应用场景】同底的对数函数与指数函数互为反函数，利用互为反函数的两个函数图像

的对称性来求两方程根的和.

【典例指引1】

17.若实数。满足e'+x-2=0,实数匕满足Inx+x—2=0,则a+公.

【典例指引2]

18.设p为曲线G上的动点，Q为曲线C2上的动点，则称归。的最小值为曲线G、3

之间的距离，记作的GO.若&：e'-2y=0,Wx+ln2=y，则d(C「G)=

【针对训练】

19.已知为是方程x+2'=4的根，巧是方程x+/"g/=4的根，则再+毛的值是

20.已知凡是方程x+lgx=3的一个根，々方程x+10*=3的一个根，则占+苫2=

11三

21.已知函数/(》)=依，xe[-,e],g(x)=(」)2,若/(x),g(x)图像上分别存在点用，N

ee

关于直线y=x对称，则实数女的取值范围为()

1232

A.[--,e]B.[--,2e]C.[--,3e]D.(—,2e)

eeee

22.若为是方程xe'=e3的解，巧是方程xlnx=e3的解，则不超等于

412

A.<?B./C.eD.e

23.已知实数4。满足a=10j,馆〃=104-励一3,则必=.

24.已知实数满足：2，+p=5,log,^+1+^=1,则P+2q=()

A.1B.2C.3D.4

参考答案:

1.B

如图，作出直线x=l,得到c>d>l>a>b,

所以力+d<a+c.

故选：B

2.c>d>l>a>b

【分析】作直线x=l,由图可知。，b,Jd与1的大小关系.

【详解】

作直线x=l,由图可得d>J1>1>6?|,即c>d>l>〃>/?.

故答案为：c>d>\>a>b.

3.C

答案第1页，共14页

【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.

【详解】由题图，直线x=l与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,而

/T511

V3>—>—>-.

423

故选：C.

4.A

【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.

【详解】％=3'与”=10'是增函数，与%=10-*=儒)是减函数，在第一象限内

该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A.

故选：A

5.AB

【分析】画出指数函数y=2"y=3'的图象，利用单调生即可得出答案.

【详解】如图所示，数y=2,，y=3'的图象,

由图象可知：

(1)当时x>0,若2"=3%,贝ijo>b;

(2)当x=0时，若2“=3",则a=b=0；

(3)当x<0时，若2"=3",则a<b.

综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤.

故选：AB

答案第2页，共14页

【分析】根据尸2'»=3'的图象，讨论2一"=3”与1的大小关系判断。力的大小.

【详解】由题设，2-"=3一"，而y=2'y=3'的图象如下：

当2-"=3"=1时，a=b=O；

当2一“=3">i时，_a>-b>G,即。<8<0；

综上，故C、D不可能成立.

故选：CD

7.ABC

【分析】在同一坐标系内分别画出函数y=3*和y=6'的图像，结合图像即可判断.

【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数y=3'和y=6''的图像，如图所示,

答案第3页，共14页

由图像知，当。=6=0时，3"=6〃=1,故选项A正确；

做出直线y=Z,当A>1时，若3"=6"=左，则0<b<a,故选项B正确；

当0<，〃<1时，若3"=6"=加，贝!故选项C正确；

当0<”。时，易得2〃>1，则3“<3〃<2"-3"=6",故选项D错误.

故选：ABC.

8.h<a<d<c

【分析】先根据指数函数的单调性，确定a,b,c,d与1的关系，再由x=l时，函数值的

大小判断.

【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，

当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，

所以c,"大于1,a,人小于1,

由图知：c'>d',即c>d,b'<a',即b<a,

所以。

故答案为：b<a<d<c

9.A

【分析】根据对数函数特点，可作直线y=i,根据各曲线与直线的交点越靠左，对应底数

越小判断即可

【详解】作直线y=i,它与各曲线G，G，G，c4的交点的横坐标就是各对数的底数，由

此可判断出各底数的大小必有：>a3>1>a2>a,>0.

故选：A

答案第4页，共14页

【点睛】本题考查对数函数底数大小的判断，技巧是：作一条丫=。（。>0）的直线，与曲线交

点在第一象限越靠左，则对应底数越小，属于基础题

10.①②⑤

【解析】先画出X考虑动直线y=f与它们的交点情况后可得可

能成立的关系式.

【详解】必的图象如图所示:

则当，>1时，由图象可得a<b<0；

当r=l时，由图象可得。=。=0；

当0</<1时，由图象可得0<6<a；

故答案为：①②⑤

【点睛】本题考查指数函数的图象和特征，注意底数的变化对图象的影响，注意把大小关系

转化为动直线与确定函数图象的交点的横坐标的大小问题，本题属于中档题.

11.D

【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小.

【详解】y=logov的图象在（0,+8）上是上升的，所以底数”>1,函数y=logbx,y=logcx

的图象在（0,+8）上都是下降的，因此AcG（0,1）,又易知故”>c>A

故选：D.

答案第5页，共14页

12.C

【解析】根据对数函数图象与性质判断即可得答案.

【详解】解：根据题意知加，”一定都是大于0且小于1的数,

画出y=iog„,x,y=iog.x的图象，如图，

根据函数图象，当x>l时，底数越大，函数值越小，

所以有.

故选：C.

【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，是基础题.

13.D

【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.

【详解】因为函数〃X）=log“（X—》）为减函数，所以0<。<1

又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x=l+〃>0,即6>-1

又因为函数图象与y轴有交点，所以。<0,所以-1<人<。，

故选：D

14.C

【分析】对四个选项一一验证：

对于A：利用幕函数y=/的图像，直接判断;

对于B：利用指数函数y="的图像，直接判断;

对于C、D：利用对数函数y=log/的图像，进行判断；

【详解】对于A：要判断的是帚函数y=x"的图像，根据y=/、y=+、y=的图像可以

判断£<O<C3<I<C2，故A正确；

答案第6页，共14页

作出A1，看交点，交点高，底数越大，所以

对于C、D：要判断的是对数函数y=k)gj的图像，作出尸1,看交点，交点越靠由，底数

越大，所以。＜/＜仇＜1＜仇＜/，故D正确，C错误;

15.(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)根据对数函数的性质作答；

()根据对数函数的性质作答.

答案第7页，共14页

(1)

图象如图:

图象都过(1,0)点，函数都是单调递减，在直线X=1右侧，底数越小，越靠近X轴;

(2)

图象都过(1,0)点，函数都是单调递增，在直线x=l右侧，底数越大，越靠近x轴.

16.d>h>c>a.

【解析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、互为反函数的两个函数图像的特征，

进行判断即可.

【详解】通过两个对数函数图像的性质可以得出：d>2；

根据函数尸尸的图像与y=iog?x的图像关于y=x对称，所以有6=2,即d>6=2；

根据三个指数函数的图像可知：&>c>l>«>0,因此有d>6>c>a.

【点睛】本题考查了通过指数函数和对数函数的图像比较参数的大小，考查了数形结合的思

想，考查了对数函数和指数函数的性质.

17.2

【分析】〃力可以看作是函数y=e'和y=的图象与直线y=-x+2交点的横坐标，由前两

个函数的图象关于直线丫书对称求解.

【详解】el+x-2=0=>ev=-x+2,lnx+x—2=0=lnx=-x+2,而y=e*和y=Inx互为

答案第8页，共14页

反函数，图像关于y=x对称，可知x=“是函数)，=e，和y=-x+2交点的横坐标，同理是

函数y=lnx与y=-x+2交点的横坐标，且y=-x+2与产x垂直，作出图像如下,

J.nx=l,所以x=a,x=b关于x=l对称，所以a+b=2.

[y=-x+2

故答案为：2.

18.y[2-y[2\nl

【分析】由题意，根据两个曲线方程，整理其函数解析式，根据反函数的性质，转化为曲线

到直线的最短距离问题，结合导数求切线，可得答案.

【详解】由题意，Ct:y=y,C2:y=ln2x,由G：x=ln2y,则两个函数互为反函数，

即C.G的图像关于产工对称，所以只需求出曲线。2上的点到丫内的距离的最小值，

C2对应的函数为y=ln_r+ln2,求导y'=(,故斜率为1的切线方程对应的切点为(l,ln2),

从而切线方程为y=x-l+ln2,与丫='的距离为詈，所以

d(GC)=2d=2x^^=0—@n2,

故答案为：0-&ln2.

答案第9页，共14页

【点睛】由于曲线G，G表示的是两个互为反函数的图像，图像关于直线y=x对称，所以转

化为曲线上的点到直线y=x的距离的最小值的2倍.

19.4

【详解】•••x+2*=4,：.2x=4-x,.•.4是》=2*与丫=4-》交点的横坐标.

又•；x+/og2X=4,，/og2X=4-x,二巧是＞与^=4一%交点的横坐标.

又y=2*与y=log2x互为反函数，其图象关于了=*对称，

,f^=4-xc.占+x,c..

由《得x=2,..---------=2,..X.+x-4.

[y=x22

20.3

【分析】根据函数与方程的关系，将方程的解转化为函数的交点，根据反函数的性质，利用

中点坐标公式，可得答案.

【详解】将已知的两个方程变形得怆》=-8+3,10'=-x+3.

令：f(x)=lgx,g(x)=10",〃(x)=3-x,画出它们的图像，如图，

答案第10页，共14页

记函数f(x)=lgx与/z(x)=3-x的交点为A(X]，M),g(x)=10"与〃(x)=3-x的图像的交点为

B(x2,y2),

由于〃x)=lgx与g(x)=10*互为反函数，且直线y=3-x与直线y=x垂直，所以A(x「y)与

B(X2,%)两点关于直线y=x对称,

3

x=—

y=x2x+x3々

由，解得2-2=5,则rillX[+尤2=3.

y=-x+33

尸5

故答案为：3.

21.B

【分析】根据互为反函数的函数图像关于直线y=x对称，只需函数f(x)=kx与函数g(x)=([)5

e

的反函数)=-21nx有交点，即可存在满足题意的点"，N,联立二者，反解参数转化为求

函数皿X)=-2，xep,e]的值域问题，利用导数求解即可得到答案.

xe

1I1

【详解】g(x)=(—)2的反函数为y=-21nx,设“(以加)，/ne[-,e],

ee

则点”(丸加)在y=-21nx上，即满足/。)，g(x)图像上分别存在点N关于直线y*对

称，

2Intn

即方程版=-21n〃z有解，可得％=------,

m

人/、21nx.1n

令m(x)=------,xe[-,e],

xe

则一丁一2皿121nx当xe(,e]时，〃(x)M0,相(x)是减函数，

答案第11页，共14页

所以加(e)Vm(x)<〃?(1］，即一m(x)<2e,

2

所以一一WZV2e.

e

故选：B.

22.B

【分析】xex=e3<z>eA=—,xlnx="<=>inx=匚再利用函数y="与函数y=lnx互为反函

xx

数，推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系

【详解】由题意知.是方程"的解，4是方程lnx=J的解，

XX

即4是函数y=e，与函数y=色交点的横坐标，々是函数y=lnx与函数y=Q交点的横坐标.

XX

因为函数>=，与函数y=lnx互为反函数，图像关于对称.

所以4等于函数y=InX与函数y=公交点的纵坐标，

x

即X|X,=—x2=e

X2

【点睛】方程的解就是对应函数图像的交点，还是函数的零点利用函数y=e*与函数y=Inx

互为反函数，推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题.

23.104##10000

【分析】根据方程与函数的关系，整理方程，转化为两个函数的交点，结合指数函数与对数

函数的反函数关系，可得交点的轴对称性，利用中点坐标公式，可得答案.

【详解】因为“=1。olga=7-a,所以“是方程lgx=7-x的根；又因为

lg=10