高考数学二轮复习培优“立体几何”

[课时跟踪检冽J]

[A级一一易错清零练]

1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

C.24D.30

解析：选C由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再

截去一个三棱锥后得到的，如图所示，该几何体的体积V=^

X4X3X5-：X；X4X3X（5-2）=24,故选C.

2.某四面体的三视图如图所示（单位:cm）,则该四面体三个侧面中的最大

面积是（）

的视图

1

A-

2V23

C

.V2T

解析：选D根据三视图可知该几何体的直观图如图所示

在三棱锥P-ABC中，△必C的面积为gx1X1,&ABP的面

8,

1

1

-1,APBC的面积为:X艰=,所以APBC的面积最大,

2

为可，故选D.

3.（2019.宁波模拟）如图，正四面体ABC。的棱CO在平

面a内，E为棱8C的中点，当正四面体ABCO绕CO旋转

时，直线AE与平面a所成最大角的正弦值为.

解析：过点E作CO的平行线，交BD于F,则正四面体绕CD旋转时AE

与平面a所成角相当于绕旋转时AE与平面a所成角.此时，直线AE形成

一个圆锥所以可知直线AE与平面a所成角的最大值即为AE与EF所成的角.设

l3+1-3./3

正四面体的棱长为2,则AE=AF=y]3,EF-1,所以coszAEF=—云万一=%,

所以sinzAEF=^,即直线AE与平面a所成最大角的正弦值为噂.

\/33

答案：看

4.正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面

体的表面积之比为

解析：如图，设正方体的棱长为a,则正方体的表面积为S1

=6。2.

正四面体P-ABC的边长为"H,则其表面积为S2

=4x1x^2aX^/2aXsin60°=2事出.

所以正方体与正四面体的表面积之比为S［：S2=6a2：2*a2=*：i.

答案：\/3：1

［B级一一方法技巧练］

1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A.6

C.10D.12

解析：选D根据题中所给的三视图，可以还原几何体，

如图所示.

该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长、宽、高分别是

3,2,2的长方体，所以该几何体的体积为2X2X3=12,故选D.

2.圆锥的母线长为L,过顶点的最大截面的面积为g2,则圆锥底面半径与

母线长的比*1勺取值范围是()

AO

d0,当D慢1)

解析：选D设圆锥的高为h,过顶点的截面的顶角为e,则过顶点的截面

的面积S=)2sine,而0<sin,所以当sin0=1,即截面为等腰直角三角形

时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90。，得L>r»Lcos45o="

3.在长方体ABCD-A'|C|O]中，A8=A£>=2,A4]=l,则点8到平面0AC

的距离等于.

解析：如图，连接Bq,易知就是三棱锥0-A8CDiCI

的高，AD1=CD]=p,AC=2*，取AC的中点O,连接

DQ,则D1O±AC,所以「|。=pA%-4。2=4

设点B到平面0AC的距离为〃，则由VB-D{AC=VD^-ABC,^S^D1AC-h

,又S*AC=；D©AC=；NX2*=#,

=^S,ABC-D}DSJBC=58BC=；

X2X2=2,所以/?=*.

套案."

口■3

4.（2019•浙江十校联盟）如图，在四棱锥尸-A8C。中，侧棱

物，底面ABC。，AD//BC,ZABC=9Q°,AD=\,PA=AB|

=BC=2,“是棱P8的中点.[.

⑴已知点E在棱BC上，且平面AME〃平面PCD,试确,

定点E的位置并说明理由；

（2）设点N是线段C。上的动点，当点N在何处时，直线MN与平面"8所

成角最大？并求最大角的正弦值.

解：（1）点£为3c的中点.

证明如下：

■：M,E分别为PB,8C的中点，

：.ME\[PC,

又.加欣平面PCD,PCU平面PCD，，初E||平面PCD.

又：EC飙AD，，四边形EA0C为平行四边形，

.•.AE||£>C..S矶平面PCD,

又...AEn〃E=E,

平面AME||平面PCD.

⑵以A为坐标原点，分别以AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立如图

所示的空间直角坐标系，则4(0,0,0),5(0,2,0),C(2,2,0),P(1,0,0),P(0,0,2),

设直线MN与平面巩8所成角为6,DN=XDC,2e[0,l],

^\MN=MA+AD+DN=(A+1,2/1-1,-1),

取平面PAB的一个法向量为n=(1,0,0),

rA+1

贝(Jsin0=Icos(MN,〃〉I=/

J(A+l)2+(22-1)2+1

(2+1)2

5z2-22+3，

令2+1=正[1,2],

nilG+l)2fi1.5

则---------=----------=—7i\-B-y7，

522-22+35ft-12r+1010flj2_12+5

所以sin但率，

当，=|即2=|时，等号成立,

即当点N在线段。。靠近C的三等分点时，直线MN与平面匕18所成角最

大，最大角的正弦值为

5.如图，在矩形45。中，AB=2,BC=\,E为CD中点.把△AOE沿

AE翻折，使得平面AOEJ_平面ABCE.

⑴求证：AD1BE；

(2)求BD与平面DEC所成角的正弦值.

解：⑴证明：•.在矩形ABC。中，A0=1,A8=2,£为CO中点，

：.AE=6=EB,贝ljA4+痛=AB2,

：.BE1AE.

•.・平面A0E1平面ABCE,平面ADEH平面ABCE=AE,

..BE，平面ADE,：AD1BE.

(2)法一:取AE的中点O,连接DO,则DO1AE.

,.平面AOEJL平面ABCE,平面AOEC平面A8CE=AE,

二。。，平面ABCE,

0O=；X；X1X1X*=*.

/.V

D-BCE

连接OB,OC,：0A=*,AB=2,zOAB=45°,

：.^OAB中，由余弦定理得，

22-2X坐X2Xcos45°=

0B=

同理可得。C=^.

在DOB中，80==木.

在Rt^POC中，。C=AWW4

：DE=1,EC=1,

12+12-(J§)2

1

.•.在A0EC中，由余弦定理得，coszDEC=

ZA1A121

：.zDEC=120°,：.SAnpr=^XlX\X^

A。“L/4

设B到平面DEC的距离为h,

,y=—xSX/?=解得h=

-'VB-DEC3&DEC〃125所1守〃3,

设。8与平面OEC所成的角为。,

a=^=3

则sin

：.BD与平面DEC所成角的正弦值为“.

法二：取AE的中点。，连接DO,则D01AE,

•.平面A0以平面A8CE，平面AOEA平面ABC£=AE,

平面ABCE,

.•.以。为坐标原点，。。所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

1311

则8--OOO--,0),C(-；,,

2222

3

2EC

13

--

DC22

设m=(x,y,l)为平面OEC的一个法向量，

fm.£C=0,卜二°，

则［一即］13中

【mDC=0,I-蒙工+力-”=0,

取z=1,可得m=(-y/2,0,1)9

设8。与平面。EC所成的角为a,

Z.sina=Icos{BD,m)

0X*3

即BD与平面DEC所成角的正弦值为彳.

2级一一创新应用练］

1.已知正方体ABCD-AiAqq的棱长为2,点尸是平面AAQQ的中心，

点。是上底面A/|Cp上一点，且P。〃平面A4/声，则线段PQ的长的最小

值为（）

解析：选A由PQ|平面44卢卢知Q在过点P且平行于c.

平面AA声声的平面上，易知点Q在,国J中点的连线R'

1

MN上,故PQ的最小值为P/=/41=1.

2.（2019•宁波模拟）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为

r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所

示.若该几何体的表面积为16+20兀，则r=（）^Sr-L

A.1B.2（\

C.4D.81

解析：选B由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的俯视图

组合体，且半圆柱的底面和半球体的一半底面重合，则其表面积为;X4"2+”2

+2rX2r+2?rrX2r=4r2+5nr-=16+20兀，解得r=2,故选B.

3.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称

为鳖脯，在鳖膈A-BC。中，AB±^W\BCD,^.BDLCD,AB

=3D=C£>,点P在棱AC上运动，设CP的长度为x,若△PBD

的面积为Ax）,则兀0的图象大致是（）

解析：选A如图，作PQLBC于Q,作QR±BD于A,连

接PR,则由鳖嚅的定义知PQ^AB,QR\\CD,PQiQR.iS.AB

=*72x2-2乖x+3,又由题知,所以共幻=*,2%2-28+3建

3

2+：,结合选项知选A.

4.已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为

解析：由题意得圆锥的母线长为3,设圆锥的底面半径为r,高为力，则力

，9・",所以圆锥的体积V=gw21=5Hd9.修=卯4-〃.设f（r）=

加（厂＞0）,贝（Jf（r）=36户-6户，令f1（r）=36r3-6r5=6户（6-泮）=0,得r=加，

所以当0＜卜小时，/⑺＞0"⑺单调递增，当小通时，/⑺v0,/S单调递减，

所以人「入侬=八水）=108,所以Vmax=17iX^TO8=2^/37r.

答案：2小71

5.某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则

xy的最大值为

解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥HA8C,其中底

面A8C是直角三角形，,孙，平面ABC,8C=2巾，%2

+y2=102,（2明）2+B42=/,所以孙=7102-氏2-（2明问=

--------X2+（128-%2）

128---------z--------=64,当且仅当/=128-尤2,即x=8时取等号，因

此专，的最大值是64.

答案：64

6.（20