向量及向量的基本运算

28.向量及向量的基本运算

1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：，或用坐标表示。向量的大小即向量的模（长度），记作||。②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。<注意与0的区别>③单位向量：模为1个单位长度的向量。④平行向量（共线向量):方向相同或相反的向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为。2）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。设,则:向量加法有“三角形法则”（首尾相接）与“平行四边形法则”（起点相同）

说明：（1）；2）向量加法满足交换律与结合律；3)向量的减法

①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作,零向量的相反向量仍是零向量。②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。的作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）

向量减法有“三角形法则”（必须起点相同）4)实数与向量的积①实数λ与向量的积是一个向量,记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时,λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。

5)两个向量共线定理向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。证三点共线方法：6)平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数，使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

推论：如果是一个平面内的两个不共线向量，

例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)若则(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若，，则；(7)若，，则(8)四边形ABCD是平行四边形,则(9)已知A（3，7），B（5，2），将平移后可能得到的向量的坐标为（3,－3）(10）的充要条件是且；

错错错错对对错错错错题型一:基本概念问题练习1:例2、如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足:BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设

题型二:向量的相互表示例3:已知G是△AB挺C的重票心，谱求证漠：例4、设财,层是两纠个不录共线永的非博零向己量，若蛛，求证永：A、扇B、坝C三点思共线舟；练习3：设是不共线的向量,已知向量

若A,B,D三点共线,求k的值

题型茧三:平面件向量红基本险定理铁与三建点共馆线问浩题例6：

O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的（）A外心B内心C重心D垂心B题型辩四:判断侮动点更轨迹课堂拢小结僻：1）禁向量碍的有眠关概辛念:圆①农向量侦②零茧向量竟③单泥位向闭量④烂平行喉向量或（共谦线向碌量）惜⑤相胶等向呆量2）姜向量锦加法樱减法肆:3)贸实数炎与向咸量的妙积4)猪两个库向量觉共线从定理5)斤平面顽向量纸的基蚊本定喇理,民基