高考复习9-3利用导数求极值最值（精练）（基础版）（解析版）

9.3利用导数求极值最值(精练)(基础版)

题组一极值

1.(2022太原期中)若x=2是函数f(x)=gax2—%—的极值点，则函数()

A.有最小值-2In2,无最大值B.有最大值-21n2，无最小值

C.有最小值—21n2,最大值21n2D.无最大值，无最小值

【答案】A

2

【解析】由题设f'(x)=ax——1且/'(2)=0,.•.2。-2=0，可得a=\.

X

.、21(%+l)(x-2)

・・/(元)=%----1=-----------II.x>0,

xx

当0<x<2时r(x)<0,/(%)递减；当x>2时r(x)>0,/(x)递增；

/W有极小值/(2)=-21n2,无极大值.

综上，有最小值-21n2，无最大值。故答案为：A

2.(2022湖北期中)已知函数=小+加(。>0且,b>0)的一个极值点为

2,则-+-的最小值为()

ab

798

A.—B.—C.—D.7

445

【答案】B

【解析】对/(司=；依3—f+法求导得：r(x)="2-2x+b,因函数/(X)的一个极值点为

2,贝U/'(2)=4a—4+匕=0,

2

lit时，b-—4tz+4,f(x)—ax"—2x—4a+4=a(x—2)(x+2)—2(x—2)=a(x—2)(x+2—),

a

I2

因a^-，即——2工2,因此，在2左右两侧邻近的区域f'(x)值一正一负，2是函数/(%)的

一个极值点，则有4a+h=4，又a>0,b>0,

T曰”,1117“，、,11、1b4a、1__lb4a、9、江口石山b4a

于是得一+—=-(4a+b)(—+—)=-(5+—+—)>-(z5+2./---)=-，当且仅当—=—,即

ab4ab4ab4\ab4ab

4119

b=2a)时取"=”，所以一+丁的最小值为y.故答案为：B

3ab4

3.(2021高三上•三门峡期中)“a>0”是“函数〃x)=(x-a)，在(0,+oo)上有极值”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】：f{x}={x-d)ex,WiJ/<x)=(x-a+l)e",

令J、'(x)=O，可得x=a-\,

当x<a-\时，r(x)<0,当x>a-\时，f'(x)>0,即f(x)在(f,a-1)上单调递

减，在(a-1,+8)上单调递增，

所以，函数y=f(x)在%=«-!处取得极小值，

若函数y=/(x)在(0,+8)上有极值，则«-1>0,：.a>\

因为a>l=a>0，但是由a>0推不出a>\,

因此。>0是函数f(x)-(x-a)ex在(0，+8)上有极值的必要不充分条件.

故答案为：B.

40.(2022.镇江)己知等差数列{凡}的前〃项和为S“，公差d>0,&

«8是函数

2

f{x}=-\nx+-x-Sx的极值点，则S8=()

42

A.-38B.38C.-17D.17

【答案】A

【解析】由题意，函数.f(x)=?lnx+；x2-8龙，其中X>Q,

可得)15

f(x)=—+x-82=-----------

V74xx

令/'(力=0，解得尤=；或x=?，

又小和心是函数/(x)的极值点，且公差d>0,所以%=:，

一1

ci,+5d———

1?

所以:,解得q=-17,</=-

2

a.+ld=—

12

所以Sg=8qH———cl——38.

故答案为：A.

题组二最值

1.(2022.淮北模拟)函数/(x)=2sin(x+?J+cos2x的最大值为()

A.1+72B.当C.2桓D.3

【答案】B

【解析】因为/(x)=2sin(x+?)+cos2x

所以/(x)=2sin(x+?)+sin2(x+?)=2sin(x+?)+2sin(x+^Jcos(x+?

令0^x+~

4

则/'⑻=2sin。+2sinOcos8=2sin，+sin2。

则/'(e)=2cos6+2cos20=2(2cos2^-l)+2cos^=4cos28+2cos6—2

令/'(e)=。,得cos6=-l或cos^=~

当—l<cos6<g时，/f((9)<0；；<cos6<l时/'(。)>0

所以当cos6=/时，/(。)取得最大值，此时sine=5

所以+

故答案为：B

2.（2022高三上•安徽开学考）函数/（幻=》出-1）-。％+1的值域是

【答案】［2,+oo）

【解析】.f(x)=x(e*-1)—/m+1=x-e*—(历x+x)+l=x-e'+l,

令，=心、，易得当1>0时/=次*>0,且，=xe*为增函数.

记/。)=，一勿，+1，则/'。)=1」=3,

tt

易知当，e(O,l)时./⑺为减函数；当fe(l,+8)时./⑺为增函数.

二/。卷11="1)=2，.../(》)的值域为［2,+00).

故答案为：［2,+oo)

3.(2021•全国高考真题)函数/(x)=|2x-l|-21nx的最小值为.

【答案】1

【解析】由题设知:/(x)=|2x-l|-21nx定义域为(0,+8),

.,.当0<x《g时，f(x)-1-2x-2\nx,此时/(%)单调递减；

1?

当一<x〈l时，/(x)=2x-l-21nx,有f'(x)=2--<0,此时〃为单调递减；

2x

2

当x>l时，/(x)=2x-l-21nx,有/'(x)=2-->0,此时/(》)单调递增；

x

又/(X)在各分段的界点处连续，

...综上有：0<x<l时，f(x)单调递减，X>1时，/(X)单调递增；

故答案为：L

4.(2021•江西高三二模)已知函数/'(x)=x2—21nx,则/(X)在［1,句上的最大值是

【答案】f-2

【解析】由题意可知，xe［l,e］,

cr/、2。］r<(\o22x~-22(x—l)(x+1)

Q/(x)=x—21nx,/.f(JC)-2x——=------=-------------.

xxx

当xw［l,e］时,f'(x)>0,

••・函数f(x)在区间［l,e］上单调递增,则/(x)1rax=/(e)=e2-2.

故答案为：e2-2

5(2021•湖南)函数/(x)=xsinx+cosx(0^k24)的最小值为.

.7•一,■3兀

【答案】----

2

【解析】f(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当XE［。,')时，/'(x)>0,/(x)单调递增，当

时，/(x)<0"(x)单调递减，当时，/'(元)〉0,/。)单调递增，

2'2

*e*/(%)的最小值为----

2

6.(2022•西藏)设函数“力="一2%,直线>=QX+〃是曲线y=.f(x)的切线，则2〃+力的最大值

是__________

【答案】e2-4

【解析】由题得f'(x)=ex-2.设切点«,/"))，

则/⑺=/_2/,/(。=d-2；

则切线方程为y-(e'-2。=9,—2卜x—r)

即y=(el-2^x+e'(1—r)

又因为y=+b是曲线y=/(x)的切线

所以a=e'-2,Z?=e'(l-r),

则2a+b=-4+3e'-fe'.

令g(r)=T+3e'-re'.

则g'(r)=(2-7)e'.

则有f>2时，8'。)<0心(。在(2,+<»)上递减；

t<2时，8'(7)<0,8。)在(2,+<»)上递增，

所以-2时，g(。取最大值g(2)=-4+3e2-2e2=-4+e2

即2a+方的最大值为e?—4.

7.(2021•全国高三专题练习(理))已知函数〃x)=sin(2x+工［-二-尔在0,?上单调递减，则实

I6)2L6_

数机的最小值是

【答案】唐

V*"兀

【解析】由/(x)=sin|2x+看---"lx在0,—上单调递减,

2---------6

得/(工)=2cos-<0XG

即2cos[2x+-^-l-x<m,

^g(x)=2cosf2x+^j-xxe0,a则g〈x)=-4sin(2x+V)-l,

当XG0,—时，—<2x+—<—,则244sin(2x+二]«4,

6662\6J

所以—5<4sin|2x+—1—1<—3,即g'(x)<0,

所以g(x)在XW0(是单调递减函数，g(x)Wg(0)111ax=百，

得阳2G，机的最小值为JL

8.(2021•天津)若函数/(x)=e'(—V+Zx+a)在区间®a+l)上存在最大值，则实数。的取值范围

为.一

f-l+V5八

【答案】一；,2

【解析】因为f(x)=(—r+2x+a—2x+2)=(—r+a+2),

且函数/(x)在区间(a,a+1)上存在最大值，

故只需力(x)=—%2+a+2满足〃(a)>0,〃(a+l)<0,

所以一a~+a+2>0,—（。+1）+。+2<0,

解得二立<“<2.

2

题组三已知极值最值求参数

1.(2022•莆田三模)已知函数/(x)=(x+l)2+cos(x+l)+。的最小值是4.贝心=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】由题，r(x)=2(x+l)-si”(x+l),/ff(x)=2-mv(x+l)>0,所以/'(x)单调递增，

又/'(-1)=0,所以为<—1,/(幻<0,%>-1,r(x)>o,

故X=T为/(x)最小值点，即/(-1)=1+。=4,解得。=3,故答案为：A

2.(2021高三上.湖北期中)若函数/(*)=二-6,+以(。为常数)有两个不同的极值点，则实数a取

值范围是()

A.[―1,+8)B.[2,+8)C.(2,+8)D.(1,+8)

【答案】C

【解析】f\x)^-e-x-ex+a,函数〃力=二一d+ax(。为常数)有两个不同的极值点，

等价于函数g(x)=二+,,与>=。的图象有两个不同的交点，

gr(x)^-e~x+ex,因为g'(x)为增函数,且g'(0)=0,

则XG(-oo,0),g,(x)<0,g(x)为减函数,

xe(0,+QO),g<x)>0,g(x)为增函数，

所以g(%L=g(°)=2,故a>2.

故答案为：C

3.(2022湖南)已知f(x)=1x3+(a—l)x2+x+l没有极值，则实数a的取值范围是()

A.[0,1]B.(-00,O]U[1,+oo)

C.fO,2]D.(-00,0]u[2,+oo)

【答案】C

【解析】由f(x)=^x3+(a-l)x2+x+\得/(》)=犬+2(。—l)x+l,

根据题意得［2(«-1)］2-4<0，解得0<iz<2。故答案为：C

4.(2022辽宁月考)已知函数f(x)=a(x+cosx)—e'在(0,乃)上恰有两个极值点，则«的取值

范围是()

A.(0,1)B.(-00,e")C.(0,d*)D.(e*,+oo)

【答案】D

【解析】f'(x)=aa-sinx)-ex,

根据题意得f'M在(0,兀)有2个变号零点，

当。=0时，显然不合题意，

当时，，方程a(l-sinx)-e*=0等价于—=^—4—，

ae

.,、1-sinx,,、sinx-cosx-1

令g(x)=——.g'(x)=------------

ee

&sin(x-：)—1,令，a)=o,因为xe(o,幻，解得》=工，

=-------------2

可得g(x)在(0,-］单调递减，在［-,兀)单调递增,

22

又因为gg)=0，g(0)=l，gS)=e-z<l,

要使y=-与g(x)的图像有2个不同的交点，

a

需要满足,解得。

a

故答案为：D.

5.(2022河南月考)已知函数f(x)^^+ax2+bx-l(a^Q,beR)存在极大值和极小值,

且极大值与极小值互为相反数，则()

,2a23「，2/3c,2a212a21

AA.b-----1—B•b=-------C.b=---1—D・b=-------

9a9a9a9a

【答案】B

【解析】/(%)=^+OX2+bx-l/./'(x)=3x2+2^u+Z?

设与工2是方程3x2+2ax+b=0的两个实数根，根据题意可知玉工马，不妨设再<马

3

则%+%2=_§々x,-x2=—，且/(%)+/(9)=0，即+ax^+-1+x2+ax^+Z?x2-1=0

化简得：

22

(%(+X2)(XI+X2-X]・工2)+以+。2)+6(百+电)=2

CI

将大+%2=-§。，%•％2=§代入化简计算得

-a3--ai--ab=2,-.b=—--,B符合题意，ACD不符合题意

92739a

故答案为:B.

6.(2021高三上.邢台月考)若函数/(力=2/一3Zz?在区间(-1,1)有最小值，则实数b的取值

范围为()

A.B.

C.(―co,—D.I———

【答案】D

【解析】/"(力=6/-6纵=6x(x—勿，①当b>0H寸，可得函数/(x)的增区间为(F，0),

伍,+8),

b<\

减区间为(o,b),若函数/(x)在区间(一1,1)有最小值，必有<

/(-I)>/(/?)

b<\

y3

\b3-3b-2>Q由b<l,有b<1b-3b-2<0，不合题意;

②当b<-l时，此时函数/(x)的增区间为(-8,b),(0,+oo),减区间为(Z7,0),/(x)

在区间(一1,1)最小值为/(。)=0，符合题意;

③当一1<6<0时，此时函数f(x)的增区间为(-co,b),(0,+oo),减区间为(3,0),

7

只需要/(-1)=-2-3/?>0,得一1<此一§；

④当b=0时，f(x)=2x3在区间(一1,1)单调增，不合题意，

故实数b的取值范围为1-00,一g.

故答案为：D

1

7.(2022・桂林模拟)若函数f(x)=-e2x-me——f有两个极值点，则实数m的取值范围是()

A.f—>+B.(1,+8)C.f+1

(e,+8)

【答案】B

【解析】依题意，_T(x)=e2x-/ne'.一如有两个变号零点，

令/'(力=0,即e2'-me'-mx=0，则e2jt=m(ex+x),

显然m^O，贝ij21=e土*+x>，

me2x

2xxlx

,、e'+xr1l(e'+11-e-(e