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普通高中数学人教版《必修四》第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

与

反向OABOA

与

同向OABB

两个非零向量

和，作

，则叫做向量

和

的夹角．记作与

垂直，OAB注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的。复习、两个向量的夹角如图，等边三角形ABC中,求：（1）AB与AC的夹角＿＿＿＿；（2）AB与BC的夹角________．ABC

通过平移变成共起点！练习D§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标：1.了解平面向量的数量积的物理背景；2.理解平面向量数量积的概念、几何意义；3.掌握平面向量的数量积的性质。位移SOAFθ向量数量积的物理背景力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角。问:一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？一、向量与数量积的概念

规定：零向量与任一向量的数量积为0。即：向量的运算向量运算数学符号运算结果

加法数乘减法向量数量积（内积）数量向量向量注意：

数量积

a·b=|a||b|cos

公式中有四个量，可以“知三求一”。

“·”不能省略，也不能写成“×”。

既然

数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为零？探究：（1）当cos

>0即：0°≤θ＜

90°时，数量积为正。（2）当cos

<0即：90°＜θ≤180°时，数量积为负。a·b=|a||b|cos（3）当cos

=0，即：θ=90°时，数量积为零。总结：数量积公式中有四个量，可以“知三求一”。典型例题变式练习2已知的夹角θ。二、数量积的性质（3）判定两向量垂直求向量模的依据用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状.1、判断正误，并说明理由错误正确正确ABCD辨析：是非零向量与2.已知：ba(√)(×)(×)(√)(√)的结果还是一个向量。ba·)1((×)2||)2(aaa=·||||||)3(baba=·baba^Þ=·0)4(0)5(=·Þ^baba||||//)6(bababa=·ÞOABba向量数量积的几何意义数量积a·b，等于a的模|a|与

b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。三、投影的概念投影也是一个数量，不是向量。投影的作图:AO⑤AOB|b|cos=b|b|cos0|b|cos0|b|cosb|b|cos0OAaBbθOAaBbθOAaBbθB1B1B（1）当0°≤θ<90°时，投影为______；（2）当90°<θ

≤180°时，投影为______；（3）当θ=90°时，投影为______；正数负数零例2

：已知（1）当时，求的夹角为600时。（3）当求（2）当∥时，求答案：（1）0；（2）同向时，20；反向时。-20；练习3

：已知（1

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