第8-10章知识梳理-高一数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019）

第8-10章知识梳理第8章立体几何初步知识梳理空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环一、简单几何体㈠空间几何体的类型1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。㈡几种空间几何体的结构特征1棱柱的结构特征棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱的分类棱柱的性质⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形；⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；图1-1棱柱⑶过不相邻的图1-1棱柱⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。长方体的性质图1-1棱柱⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：AC12=AB2+AC2+AA图1-1棱柱⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成的角分别是α、β、γ，那么：cos2α+cos2β+cos2γ=1sin2α+sin2β+sin2γ=2⑶长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则：cos2α+cos2β+cos2γ=2sin2α+sin2β+sin2γ=1图图1-2长方体棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。棱柱的面积和体积公式S直棱柱侧面=c·h(c为底面周长，h为棱柱的高)S直棱柱全=c·h+2S底V棱柱=S底·h2圆柱的结构特征图1-3圆柱图1-3圆柱2-2圆柱的性质⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆；⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。2-3圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。2-4圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面=2π·r·h(r为底面半径，h为圆柱的高)S圆柱全=2πrh+2πr2V圆柱=S底h=πr2h3棱锥的结构特征3-1棱锥的定义⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。⑵正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3-2正棱锥的结构特征⑴平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；⑵正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；⑶正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均为直角三角形)。3-3正棱锥的侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成。3-4正棱锥的面积和体积公式S正棱锥侧=ch’(c为底面周长，h’为侧面斜高)S正棱锥全=ch’+S底面V棱锥=1/3S底面·h(h为棱锥的高)图图1-4棱锥图1-4棱锥图1-4棱锥4-1圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。4-2圆锥的结构特征⑴平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；图1-5圆锥⑵图1-5圆锥⑶母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2=r2+h24-3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4-4圆锥的面积和体积的公式S圆锥侧=πr·l(r为底面半径，l为母线长)S圆锥全=πr·(r+l)V圆锥=1/3πr2·h(h为圆锥高)5棱台的结构特征棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。正棱台的结构特征⑴各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；⑵正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；⑶正棱台的对角面也是等腰梯形；图1-6棱台⑷图1-6棱台5-3正棱台的面积和体积公式S棱台侧=n/2(a+b)·h’(a为上底边长，b为下底边长，h’为棱台的斜高，n为边数)S棱台全=S上底+S下底+S侧V棱台=6圆台的结构特征6-1圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。6-2圆台的结构特征图1-7圆台⑴图1-7圆台⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。6-3圆台的面积和体积公式S圆台侧=π·(R+r)·l(r、R为上下底面半径)S圆台全=π·r2+π·R2+π·(R+r)·lV圆台=1/3(πr2+πR2+πrR)h(h为圆台的高)7球的结构特征图1-8球图1-8球7-2球的结构特征⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2=R2–d2★7-3球与其他多面体的组合体的问题球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：⑴根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；⑷注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长。7-4球的面积和体积公式S球面=4πR2(R为球半径)V球=4/3πR3㈢空间几何体的视图1三视图：观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形。正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。注意：⑴俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等。(正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽)⑵正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。2直观图2-1直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。2-2斜二测法做空间几何体的直观图⑴在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy=90°；⑵画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O’y，取∠x’O’y’=45°或135°，它们确定的平面表示水平平面；⑶在坐标系x’o’y’中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的2-3解决关于直观图问题的注意事项⑴由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”；⑵由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。二、点、直线、平面之间的关系㈠平面的基本性质1立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化图形语言文字语言符号语言点A在直线a上点B在直线a外A∈aBa点A在平面α内点B在平面α外A∈αBα直线a在平面α内直线b在平面α外aαbα直线a与平面α相交于点Aa∩α=A直线a与直线b相交于点Aa∩b=A平面α与平面β交于直线aα∩β=a★2平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理二：不共线的三点确定一个平面。推论一：直线与直线外一点确定一个平面。推论二：两条相交直线确定一个平面。推论三：两条平行直线确定一个平面。公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。㈡空间图形的位置关系1空间直线的位置关系(相交、平行、异面)平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。即：a∥b，b∥ca∥c等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。异面直线⑴定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。⑵判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。图2-1异面直线图2-1异面直线异面直线所成的角⑴异面直线成角的范围：(0°，90°].⑵作异面直线成角的方法：平移法。注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。2直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)图图2-2直线与平面的位置关系3平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)㈢平行关系(包括线面平行和面面平行)1线面平行线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。判定定理：性质定理：判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法)：l∩α=ф，l∥α(用于判断)；⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)；图2-3线面角⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)图2-3线面角⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。2线面斜交和线面角：l∩α=A直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。线面角的范围：θ∈[0°，90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°3面面平行面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。面面平行的判定定理：图2-4面面平行⑴判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。图2-4面面平行推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：⑵判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：面面平行的性质定理⑴(面面平行线面平行)⑵⑶夹在两个平行平面间的平行线段相等。图2-5判定2㈣图2-5判定21线面垂直线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。线面垂直的判定定理：线面垂直的性质定理：⑴若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。即：⑵垂直于同一平面的两直线平行。即：常用的判定或证明线面垂直的依据⑴利用定义，用反证法证明。⑵利用判定定理证明。⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。★三垂线定理及其逆定理⑴斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。图2-6图2-6斜线定理⑵三垂线定理及其逆定理已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内的一条直线。①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。⑶三垂线定理及其逆定理的主要应用图2-7三垂线定理图2-7三垂线定理②作出和证明二面角的平面角；③作点到线的垂线段。2面面斜交和二面角二面角的定义：两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。二面角的范围：∠α-l-β∈[0°,180°]二面角平面角的作法：⑴定义法：证明起来很麻烦，一般不用；⑵三垂线法：常用方法；图2-8面面垂直图2-8面面垂直3面面垂直面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。即：面面垂直的性质定理⑴若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；⑵⑶⑷三、立体几何主要难点1三种角的对比角的类型范围解题步骤异面直线所成角0°～90°1找：利用平移法找出异面直线所成角；⑴固定一条直线，平移另一条直线，⑵将两条直线都平移至一特殊位置。2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行；3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。直线与平面所成角0°～90°1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理；2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直；3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。二面角的平面角0～π1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角；2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法；3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。第9章统计知识梳理一、随机抽样像人口普查那样，对每一个调查对象都惊醒调查的方法，称为全面调查，又称普查.在一个调查中，我们把调查对象的全体成为总体，组成总体的每一个调查对象成为个体.像这样，根据一定目的，从总体中抽取-一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.我们把从总体中抽

取的那部分个体称为样本，

样本中包含的个体数称为样本量.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据.1.简单的随机抽样一般地，设一个总体含有N

(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n

(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样;如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进人样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.2.抽签法（1）概念先给总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，知道抽足样本所需要的个数（2）优缺点优点：简单易行，当总体较小时，号签搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽取，从而能保证样本的代表性缺点：当总体较大时，费时、费力，且号签很难被搅拌均匀，产生的样本代表性差，导致抽样的不公平3.随机数法（1）概念对总体中的N个个体编号，用随机数工具产生编号范围内的整体随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本，重复上述过程，知道抽足样本所需要的个数，如果生产的随机数有重复，即统一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个数（2）优缺点优点：简单易行，它很好的解决了抽签法中遇到的当总体个数较多时制签难、号签很难被搅拌均匀的问题缺点：当总体较大时，需要的样本容量较大时，不太方便一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为，,

.，，则称==为总体均值，又称总体平均数，如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记

为，,

...，其中;出现的频数:

(i=1,

2,

....k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式=如果从总体中抽取-一个容量为n的样本，它们的变量值分别

为，，...

，则称为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.4.分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.二、用样本估计总体1.总体取值规律的估计为了探索-组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数.在这个实际问题中，因为我们更关心月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据.与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图.1.求极差极差式一组数据中最大值与最小值的差2.决定组距与组数合适的组距与组数对发现数据分布规律有重要意义.组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要-一个尝试和选择的过

程。数据分组的组数与数据的个数有关，:一般数据的个数越多，所分组数也越多.3.将数据分组4.列频率分布表5.画频率分布直方图小长方形的面积=组距×2.总体百分位数的估计把100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为和13.8.可以发现，区间(13.6,

13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第80百分位数,或80%分位数.一般地，一组数据的第p百分位数是这样-一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第力百分位数:第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i=n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第力百分位数为第j项数据;若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.3.总体集中趋势的估计（1）平均数：如果给定的一组数是，，…，则这组数的平均数为即（2）中位数：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为则称为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为则称为这组数的中位数（3）众数：一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数，若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数4.总体离散趋势的估计假设一组数据是,,

..

,用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差.有时为了计算方差的方差，我们还把方差写成以下形式由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据

不一致.为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即（2）我们称(2)式为这组数据的标准差.如果总体中所有个体的变量值分别为总体平均数为,则称为总体方差，S=为总体标准差.与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式。如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为,

其中;出现的频数为(i=1,

2,

.

k),则总体方差为如果一个样本中个体的变量值分别为样本平均数为则称为样本方差，s=

为样本标准差.三、统计案例公司员工的肥胖情况调查分析背景与数据近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI=中国成人的BMI数值标准为为偏瘦为正常为偏胖;BMI≥28为肥胖.第10章概率知识梳理一、随机事件与概率1.随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验，常用字母E表示.例如，抛一枚硬币、掷一个均匀的骰子等,都可以看成随机试验.2.样本点和样本空间（1）定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间（2）表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点（3）有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间=为有限样本空间3.事件(1)随机事件:我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,表示，在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.(2)必然事件:作为自身的子集,