安徽省合肥市第五十四中学高三数学理测试题含解析

安徽省合肥市第五十四中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，则1不在首位，3不在百位的五位数共有（

）A.54

B.72

C.96

D.78参考答案：D3.已知为复数z=i（1﹣i）的共轭复数，则z?=（）A．﹣2 B．2 C．1﹣i D．1+i参考答案：B考点： 复数代数形式的乘除运算．分析： 直接由复数z求出z的共轭复数，则答案可求．解答： 解：由z=i（1﹣i）=1+i，得．则z?=（1+i）?（1﹣i）=2．故选：B．点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．4.要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（） A、向左平移个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向右平移个单位参考答案：D5.复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6.已知集合A={x|y=），B={x|x2﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1） B．[0，1） C．（1，+∞） D．[0，+∞）参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求解定义域化简集合A，解不等式化简B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：2x﹣1≥0，解得x≥0，即A=[0，+∞），由x2﹣1＞0得到x＞1或x＜﹣1，即B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞），故选：C．7.已知全集，，，则等于（

） A． B． C． D．参考答案：D略8.已知复数z＝1＋i，则＝（

）A.

B.

C.

D.－参考答案：A9.以q为公比的等比数列{}中，a1>0，则“a1<a3”是“q>1”的

A．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A10.设，已知，且，若是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（▲

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：

12.函数对于总有≥0成立，则的取值集合为

．

参考答案：{4}

略13.右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为

；表面积为

.

参考答案：解：体积为；表面积为.14.已知命题，，则为

.参考答案：。15.若函数，则＝参考答案：

【知识点】导数的运算B11解析：因为，所以，则令可得，所以，则，而，则，即，故答案为。【思路点拨】通过导函数的运算求得，代回原函数式可得以及，即可求出、，最后写出结果。16.不等式的解集是___________.

参考答案：(-1，3)略17.已知x，y均为正实数，且x+3y=2，则的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】转化思想；不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x，y均为正实数，且x+3y=2，则==≥=，当且仅当x=y=时取等号．∴的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）

…………2分

……………4分所以函数的最小正周期为.

…………6分由，，则.函数单调递减区间是，.………9分

(Ⅱ)由，得.

………11分则当，即时，取得最小值.

…13分19.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率等于，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，若直线l与y轴不重合，试求λ的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆的离心率，顶点坐标，转化求解即可．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k2）x2+16kx+8=0，通过韦达定理，化简，利用点N在直线y=kx+2上，推出，然后求出结果．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程是，由于椭圆的一个顶点是，故b2=2，根据离心率是，得，解得a2=8，所以椭圆的标准方程是．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k2）x2+16kx+8=0，根据韦达定理得，，由，得，整理得2x1x2=x0（x1+x2），把上面的等式代入得，又点N在直线y=kx+2上，所以，于是有，，由，得，所以．综上所述，．20.（本小题满分14分）在长方体中，，是棱上的一点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若是棱的中点，在棱上是否存在点，使得∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）在长方体中，因为面，所以．

………………2分在矩形中，因为，所以．……4分所以面.

………5分（Ⅱ）因为，所以面，由（Ⅰ）可知，面，

…………7分所以．…………………8分（Ⅲ）当点是棱的中点时，有∥平面．

………9分理由如下：在上取中点，连接．因为是棱的中点，是的中点，所以∥，且．……10分又∥，且．所以∥，且，所以四边形是平行四边形，所以∥．…………11分又面，面，所以∥平面．

…………13分此时，．…………14分21.

某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85），第3组[85，90)，第4组[90，95),第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示：

若要在成绩较高钓第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：

(I)已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；

(Ⅱ)在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有名学生接受篮球项目的考核，求的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A,第三组人数为，第四组人数为，第五组人数为，根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，…2分第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则:

…5分（Ⅱ）第三组应有3人进入复查，则随机变量可能的取值为0,1,2，3．

且，则随机变量的分布列为:0122.．(本小题满分14分)设n∈N*，圆Cn：x2＋y2＝R(Rn>0)与y轴正半轴的交点为M，与曲线y＝的交点为N，直线MN与x轴的交点为A(an,0)．(1)用n表示Rn和an；(2)求证：an>an＋1>2；(3)设Sn＝a1＋a2＋…＋an，Tn＝1＋＋＋…＋，求证：<<.参考答案：(1)解：由点N在曲线y＝上，得N，又点N在圆Cn上，则R＝2＋＝，∴Rn＝.从而直线MN的方程为＋＝1.由点N在直线MN上，得＋＝1，将Rn＝代入化简，得an＝1＋＋.(2)证明：∵1＋>1，>1，∴?n∈N*，an＋1＝1＋＋>2.又∵1＋>1＋，>，∴an＝1＋＋>1＋＋＝an＋1.∴an