射影几何在中学数学的应用

关于射影几何在中学数学的应用第1页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123提纲第2页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三其中(x,y)与(x',y')为任一对对应点P,P'的坐标,矩阵满足|A|0,称为仿射变换的矩阵.仿射变换

明显，椭圆在仿射变换下可变换为圆，平行四边形在仿射变换下可变换为正方形第3页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

仿射变换的基本性质:(1)保持直线的平行线；

(2)保持同素性和结合性；

(3)保持共线三点的单比,从而保持两平行线段的比值不变.仿射变换

定理：两个三角形的面积之比是仿射不变量；

推论1：两个多边形的面积之比是仿射不变量；

推论2：两个封闭图形的面积之比是仿射不变量；第4页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），从而线段的中点保持不变，面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等；但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变仿射变换第5页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三仿射变换

例1

在平行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，且EF//BD,求证：第6页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三仿射变换

例2求椭圆的面积第7页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三仿射变换

半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？

椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内接n边形的面积的最大值多少呢？

例3求椭圆内接△ABC的面积的最大值思考一思考二

一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？第8页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等；但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变仿射变换第9页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三仿射变换

例5设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP第10页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三仿射变换

例4求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦第11页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三仿射变换

例6（2009年辽宁卷数学理第20题）已知椭圆的方程为，点A的坐标为（1,3/2），右焦点为F，设M、N是椭圆上的两个动点，如果直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，证明直线MN的斜率为定值，并求出这个定值第12页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三仿射变换第13页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123提纲第14页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三交比的初等几何意义

注：如果P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则可合理地规定：于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)为前三个通常点的简单比.交比第15页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

定理1

平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线。

定理2

二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值。

注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。二次曲线的射影定义第16页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)交比第17页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三交比

如图：AD平分BC于点O，即OB=OD，过O的两条直线EF和GH，与四边交于E、F、G、H，连接GF和EH，分别交BD于点I、J则有OI=OJ

椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心在y轴的正半轴上,过原点的两条直线分别交椭圆于点Ｃ,D和点Ｇ,Ｈ,设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q,则有OP=OQ第18页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)交比第19页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)

证明因为A,F,C,B为圆上四定点,则由二次曲线的定义，有以直线AB截这两个线束，得由交比的初等几何表示式，有所以同理可证，G'O=OH'.交比第20页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=–1,则称点组为调和点组此时,若P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则这表示P3为P1P2的中点.

定理

设P1,P2,P为共线的通常点，P为此直线上的无穷远点，则P为P1P2的中点交比利用初等几何意义,有第21页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

定理

在完全四点形的每条边上有一个调和点组，其中一对为顶点，另一对中一个为对边点，一个为该边与对边三点形的边的交点。比如在边AB上，有完全四点形的调和性比如在边CD上，有考察完全四点形ABCD第22页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

例8

证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底。几何证明题

证明如图，ABCD为梯形，AD//BC,E,F分别为两腰和对角线的交点。EF交AD,BC于P,Q。只要证明P,Q分别是AD,BC的中点。

考察完全四点形ABCD。设ADBC=G，由上述定理，有(BC,QG)=–1，从而得出Q为BC的中点。

同理有，(AD,PG)=–1，所以P为AD的中点。完全四点形的调和性第23页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123提纲第24页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三2、Desargues透视定理Desargues透视定理

迪沙格定理

如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点共线。

注:Desargues定理与其逆定理实际是一对对偶命题.

迪沙格定理的逆定理如果两个三线形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线交于一点。第25页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三作图题

例9.

已知平面上二直线a,b,P为不在a,b上的一点.不定出a,b的交点ab,过P求作直线c,使c经过ab.作法：(1)在a,b外取异于P的一点O.过O作三直线l1,l2,l3.设l1,l2,分别交a,b于A1,A2;B1,B2.(2)连PA1,PB1分别交l3于A3,B3.(3)连A2A3,B2B3交于Q.(4)PQ=c为所求直线.

证明：由作法,三点形A1A2A3,B1B2B3有透视中心O.故其对应边的交点P=A1A3B1B3,Q=A2A3B2B3以及ab三点共线,即c=PQ经过ab.Desargu