广东省揭阳市第三中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

广东省揭阳市第三中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，若b=2，A=120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为A. B.2 C. D.4参考答案：B略2.从[-4,4]上任取一个数x，从[-4,4]上任取一个数y,则使得的概率是（

）A．B．C．D．

参考答案：C：因为点(x，y)在边长为8的正方形区域内，其面积为64，满足不等式的点对应的区域为前面正方形内的一个边长为的正方形区域，其面积为32，所以所求的概率为，则选C.3.，设，则下列判断正确的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B4.已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3参考答案：A【考点】比数列的性质；8F：等差数列的性质．【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．5.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④.

其中判断正确的序号是（

）.A.①③

B.

①④

C.

①②④

D.②③④

参考答案：B略6.二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx=（）A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【分析】在（x﹣a）7的展开式的通项中，令x的指数为4，求出r值，再表示出x4项的系数，解关于a的方程即可求出a，利用定积分可得结论．【解答】解：（x﹣a）7的展开式的通项为（﹣1）rarC7rx7﹣r，令7﹣r=4得r=3，∴展开式中x4项的系数（﹣1）3a3C73=﹣35a3=﹣280，∴a=2，∴dx=lnx=1．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的应用，解决指定项的系数问题．牢记定理是前提，准确计算是关键．7.函数在区间()上存在零点，则的值为A．0 B．2 C．0或1 D．0或2参考答案：D略8.已知函数f(x)的定义域为R，，对任意的满足.当时，不等式的解集为(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题意构造函数，则，所以得到在上为增函数，又．然后根据可得，于是，解三角不等式可得解集．【详解】由题意构造函数，则，∴函数在上为增函数．∵，∴．又，∴，∴，∵，∴，∴不等式的解集为．故选D．9.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：B由图象可知，所以函数的周期，又，所以。所以，又，所以，即，所以，所以，选B.10.若函数上既是奇函数又是增函数，则的图象是（

）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设=（，sinα），=（cosα，），且，则锐角α为

．参考答案：【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】由已知中=（，sina），=（cosa，），，我们易构造一个三角方程，解方程即可求出锐角a的大小．【解答】解：∵=（，sina），=（cosa，），又∵，∴sina?cosa﹣?=0即sina?cosa=即sin2a=1又∵α为锐角故α=故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据向量平行的充要条件，构造三角方程，是解答本题的关键．12.若点P在角﹣的终边上，且P的坐标为（﹣1，y），则y等于．参考答案：考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意根据终边相同的角的定义和表示方法，可得点P的终边在的终边上，由=tan，求得y的值．解答：解：点P在﹣角的终边上，而﹣=﹣4π+，故点P的终边在的终边上，故有=tan=﹣，∴y=，故答案为：．点评：本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，任意角的三角函数的定义，属于基础题．13.设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）?f（y）=f（x+y），若，则数列{an}的前n项和的取值范围是．参考答案：【考点】数列的求和；抽象函数及其应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】依题意分别求出f（2），f（3），f（4）进而发现数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列，进而可求得Sn的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（2）=f2（1），f（3）=f（1）f（2）=f3（1），f（4）=f（1）f（3）=f4（1），a1=f（1）=∴f（n）=∴=∈[，1）．故答案：[，1）【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据已知条件确定出等比数列的首项及公比14.已知α∈（，π），sinα=，则tan=．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cosα和tanα的值，利用两角和的正切公式求出tan的值．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案为：．15.一个袋中放了相同的标号为的三个小球.每次从袋中摸一个小球，记下标号然后放回，共摸球次.若拿出球的标号是奇数,则得分,否则得分，则次所得分数之和的数学期望是

．参考答案：2

命题意图：考查学生对二项分布的理解及二项分布期望公式的应用。16.设集合M={x｜x2﹣mx+6=0}，则满足M∩{1，2，3，6}=M的集合M为

；m的取值范围为

．参考答案：{2，3}或{1，6}或?；m=5或m=7或m∈（﹣2，2）【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【分析】由题设条件M∩{1，2，3，6}=M知M是集合{1，2，3，6}的子集，再结合M={x｜x2﹣mx+6=0}对集合M的情况进行判断即可得出答案【解答】解：由题意M∩{1，2，3，6}=M知M是集合{1，2，3，6}的子集又M={x｜x2﹣mx+6=0}，当M是空集时，即x2﹣mx+6=0无解，m∈（﹣2，2）时，显然符合题意当M中仅有一个元素，即m=±2时，可得x2﹣mx+6=0的根是m=±，不符合题意，舍当M中有两个元素时，考察集合{1，2，3，6}，M={1，6}，M={2，3}都符合题意，此时m=5，或m=7综上集合M可能为{2，3}或{1，6}或?，m的取值范围为m=5或m=7或m∈（﹣2，2）故答案为{2，3}或{1，6}或?，；

m=5或m=7或m∈（﹣2，2）【点评】本题考查集合中的有关参数取值问题，涉及到的知识有集合的包含关系，一元二次方程根的个数判断，一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是理解集合M及条件M∩{1，2，3，6}=M，能利用一元二次方程根与系数的关系辅助做出判断，本题考查了转化的思想与分类讨论的思想，是一个考查能力的题17.记“点M（x，y）满足x2+y2≤a（a＞0）”为事件A，记“M（x，y）满足”为事件B，若P（B|A）=1，则实数a的最大值为．参考答案：【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，利用条件概率，判断圆与可行域的关系，再求出a的最大值．【解答】解：M（x，y）满足，画出可行域如图所示三角形；记“点M（x，y）满足x2+y2≤a（a＞0）“为事件A，记“M（x，y）满足”为事件B，若P（B|A）=1，说明圆的图形在可行域内部，实数a的最大值是圆与直线x﹣y+1=0相切时对应的值，此时d=r，即=，解得a=，所以实数a的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了线性规划的基本应用问题，利用目标函数的几何意义是解题的关键，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一个三棱锥的三视图、直观图如图．（1）求三棱锥的体积；（2）求点C到平面SAB的距离；（3）求二面角的余弦值．参考答案：解：（1）由正视图、俯视图知；由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则，平面，；

由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，则，平面，．如图．（1）三棱锥的体积．解法一：

以O为原点，OA为轴，过O且平行于BD的直线为轴，OS为轴，建立如图空间直角坐标系，可求，，设是平面SAB的一个法向量，则，取，（2）可知，设点C到平面SAB的距离为，则．（3）可知是平面ABC一个法向量，故，

二面角的余弦值为．解法二：

（2）可求，，，△SAB的面积，设点C到平面SAB的距离为，由三棱锥的体积，得．（3）作于H，作交AB于E，则，连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而，故，为二面角的平面角．△ABC中，易求，由△ABC的面积，，，△AEO与△AHC相似，相似比为AO：AC=3：4，故，中，，故，二面角的余弦值为．略19.已知函数f(x)＝(1＋x)lnx.（1）求f(x)在x＝1处的切线方程；（2）设g(x)＝·f(x)，对任意x(0，1)，g(x)＜－2，求实数a的取值范围。参考答案：20.(本小题满分12分)某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：（Ⅰ）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？参考答案：从这5人中任取2人，共有10种不同取法………………9分完全正确列举……………………10分设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，则A中的基本事件有4种：完全正确列举……………11分故所求概率为…………12分21.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．

参考答案：．解：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A=“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.而事件A包含1个基本事件：（1，2）.所以

………………6分

（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的