2022-2023学年辽宁省丹东市凤城东汤中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年辽宁省丹东市凤城东汤中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16=0，则圆C1和圆C2的位置关系是（）A．相离 B．外切 C．相交 D．内切参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于半径之和，可得两个圆关系．【解答】解：圆C1：x2+y2=4，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于2的圆．圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16=0，即（x+3）2+（y﹣4）2=9，表示以C2（﹣3，4）为圆心，半径等于3的圆．∴两圆的圆心距d==5=2+3，∵两个圆外切．故选：B．【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，属于基础题．2.设函数是定义在R上的奇函数，且=，则（）A．﹣1

B．﹣2

C．1

D．2参考答案：A3.若复数z满足（1﹣i）z=|3﹣4i|，则z的实部为（） A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求． 【解答】解：由（1﹣i）z=|3﹣4i|， 得． ∴z的实部为． 故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.设非空集合P、Q满足，则（

）（A）xQ，有xP

（B），有（C）x0Q，使得x0P

（D）x0P，使得x0Q参考答案：B5.已知全集，集合，，那么集合（

）（A）（B）（C）

（D）参考答案：A略6.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的(***).A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C7.等差数列{an}中，a1=2，a5=a4+2，则a3=（）A．4 B．10 C．8 D．6参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出a3．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=2，a5=a4+2，∴，解得a1=2，d=d=2，∴a3=2+2×2=6．故选：D．8.已知定义在R内的函数满足，当时，则当时，方程的不等实数根的个数是（）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：C试题分析：根的个数等价于与的交点个数，时，，画出与的图象，如图，由图知与的图象有个交点，即实数根个数为，故选C.考点：1、分段函数的解析式与图象；2、方程根与函数图象交点之间的关系.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式与图象、方程根与函数图象交点之间的关系，属于难题.判断方程实根的个数的常用方法：（1）转化法：函数零点个数就是则方程实根的个数；（2）零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数；（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，本题的解答就利用了方（3）.9.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若当x∈[﹣4，﹣2）时，不等式f（x）≥﹣t+恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[2，3] B．[1，3] C．[1，4] D．[2，4]参考答案：B【考点】函数恒成立问题．【分析】根据条件，求出函数f（x）在x∈[﹣4，﹣2）上的最小值，把不等式f（x）≥﹣t+恒成立转化为f（x）的最小值大于等于﹣t+恒成立，然后求解关于t的一元二次不等式得答案．【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]；当x∈[1，2）时，f（x）=﹣∈[﹣1，﹣]，∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），∴当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣，当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣，若x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）≥﹣t+恒成立，∴﹣≥﹣t+恒成立．即t2﹣4t+3≤0，解得1≤t≤3，∴t∈[1，3]，故选：B．10.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（

）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45参考答案：A试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.考点：条件概率．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量=（－4，3），=（6，m），且⊥，则m=__________.参考答案：8【分析】利用转化得到加以计算，得到.【详解】向量则.

12.在单位正方体的面对角线上存在一点P使得最短，则的最小值

．

参考答案：13.已知函数，，则的最小正周期是，而最小值为_____.参考答案：2π，1的最小正周期；当时，取最小值114.设是一元二次方程的两个虚根.若，则实数

．参考答案：15.如图，设，且．当时，定义平面坐标系为–仿射坐标系，在–仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的序号有

．①设，则；②、，若，则；③、，若的夹角为，则；④、，若，则．参考答案：②、③试题分析：对于①，，，①错误；对于②，由，故②正确；对于③，，的夹角为，根据夹角公式得故即则；③正确对于④，∴④错误；所以正确的是②、③．考点：命题真假的判断及应用和向量坐标运算.16.已知点为抛物线上一点，若点到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为

.参考答案：略17.函数在区间（）上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图（1）在平面六边形ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求三棱锥E﹣BCF的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由题意，点E在底面ABCD的射影在MN上，可设为点P，同理，点F在底面ABCD的射影在MN上，可设为点Q，推导出平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，由结论2能证明E、F、M、N四点共面．（2）三棱锥E﹣BCF的体积VE﹣BCF=VABCDEF﹣VE﹣ABCD，由此能求出结果．【解答】证明：（1）由题意，点E在底面ABCD的射影在MN上，可设为点P，同理，点F在底面ABCD的射影在MN上，可设为点Q，则EP⊥平面ABCD，FQ⊥平面ABCD，∴平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，又MN?平面ABCD，MN?平面EMP，MN?平面FNQ，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个，得到E、F、M、N四点共面．解：（2）∵二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，∴∠EMP=∠FNQ=60°，∴EP=EM?sin60°=，∴三棱锥E﹣BCF的体积：VE﹣BCF=VABCDEF﹣VE﹣ABCD=2×+（）×3﹣×=．19.如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.⑴求证：平面平面；⑵求四棱锥的体积.参考答案：(1)证明：由题可知， (2)，则. 略20.[选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．参考答案：【考点】绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）由a＞0，b＞0，得到f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥a+b，由此能求出a+b的值．（Ⅱ）推导出ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立，则ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|﹣a﹣b|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b．由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2．…5分证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2≤a+b=2，∴ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立21.(本小题满分12分)已知函数．

(I)当a=1时，求f(x)的单调区间，并比较log23，log34与log45的大小；

(II)若实数a满足时，讨论f(x)极值点的个数．

参考答案：(1)22.（13分）已知函数，

①若在区间上单调递减，求实数的取值范围。②若过点可作函数图象的三条切线，求实数的取值范围。③设点，，记点，求证：在区间内至少有一实数，使得函数图象在处的切线平行于直线。参考答案：解析：①在上增，上减，上增，