第20讲利用导数研究不等式的恒成立问题（解析版）

第20讲利用导数研究不等式的恒成立问题

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.(2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测)定义在(1，^)上的函数Ax)的导函数为了'(X),且

(x-l)r(x)-/(x)>x2-2x对任意xG(1,+8)恒成立.若/(2)=3,则不等式/(x)>f-x+1的解集为

()

A.(1,2)B.(2,+oo)

C.(1,3)D.(3,+00)

【答案】B

【解析】由(X-1)/'(X)-/(X)>X2-2X,即(》-1)/'(工)-/(幻+1>(%-1)2,

即(.1)./丁；(小)-1)_1>0即j313/>0对xc亘成立，

(D11J

令g(x)=/"1-x,则g(x)在(1,+00)上单调递增，

x-1

V/(2)=3,Ag(2)=0,

由f(x)>x2-x+l,即0,即g(x)>g⑵,

x-\

因为g(x)在。,+oo)上单调递增，.•.x>2

故选：B.

2.(2022•辽宁•鞍山一中模拟预测)已知a>0且a*l,若任意xNl,不等式笛-In%之±均恒成立，则

ex'x"

”的取值范围为()

A.[e,+oo)B.[l,e]

C.[e,e2]D.

【答案】A

【解析】由题设，2av-e(lnax)2>e,令f=lna",则2尸-/-12:0恒成立,

令=—则/⑺=2(e~T),/⑺=2(产,一1),

当t<l时1r⑺<0,/'(，)递减;当，>1时/⑺>0，/⑴递增;

所以广⑺⑴=0,故/(，)递增，

当0<”1,即fe(0,lna］时,/(?)</(lna)=--(lna)2-l<0,不合题意;

e

当〃>1,即时，要使/•«)20恒成立,则/(lna)=2-(lna)2-120恒成立，

e

人/、2。八、2।「「I,/、JneIn。、、2(lna-l)

令g(a)=----(ln“)--l且。>1,则g(a)=2(---------),gf(fa/)=--------,

eeaa

当Ivave时g〃(a)<0,g'(“)递减；当〃>e时g〃⑷>0,g'(a)递增；

所以g'(a)Ng'(e)=0,故g(a)在。,+oo)上递增，而g(e)=2-l-l=0,

此时〃>e时g(a)20,即/(Ina)20恒成立.

综上，。的取值范围为［e,+8).

故选:A

3.(2022•重庆八中模拟预测)已知函"x)=e'+Hnx—/一耳。>。)，(e为自然对数底数，

e=2.71828……),若〃x)20对Vxe(l,+8)成立，则实数a的最大值为()

A.-B.1C.eD.e1

e

【答案】C

【解析】解：因为xe(l,+oo),〃x)zo恒成立，即e*+41nx-x"-xNO，

所以,lnxa-xa>lnev-e'>

故令加(f)=lnr-f,t>\,叫-1=彳晨0在(l,+<»)上恒成立，

所以，〃?(。在(1,内)上单调递减，

X

所以x"We',两边取对数得alnxWx,x>\,BPa<--,

Inx

1己9(x)=高(》>1),则/(x)=l；；

所以，当x«l,e),^'(x)<0,3(x)单调递减，当x«e,+oo)时,*'(x)>0,3(x)单调递增,

所以,e(x)的最小值是*(e)=e,故a4e,

所以，实数。的最大值是e.

故选：C

4.(2022•辽宁沈阳•三模)已知函数g(x)=e、-Inx-%的图象恒在f(x)=(e"-l)x的图象的上方，则实数

，"的取值范围是()

A.(—co,1)B.(-oo,e-1)C.(0,1)D.(0,e—1)

【答案】A

rar

【解析】由题意可得(e-l)x<e-lnx-/M,

故x-e"'+m+\nx<e+x，即em+tox+加+Inx<e'+x

令&)=e*+x,则。(x)=e'+x单调递增，原不等式可化为。(m+lnx)<0(x),

所以zn+lnxvx,即〃2Vx—Inx,令/?(x)=x—In],

1x—1

则〃(x)=l--=——,当o<xvl时,h'(x)<0,当1<X时，/(x)>0,

XX

所以函数〃(x)在(0,1)上递减,在(1,物)上递增,故心)mi⑴=1,

所以胆<1.

故选：A

5.(2022•江苏扬州•模拟预测)已知。为正整数，若对任意工«0,物)，不等式alar4x+l成立，则。的最

大值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】因为alnx-x-l40对Vxe(0,+o))恒成立，/(x)=fllnx-x-l,/,(x)=--1,

当"0时，f(x)在(0,+8)匕单调递减，xf0时，”力-2,不满足题意；

当。=0时，f(x)=-x-l<0恒成立；

当a>0时，f'(x)=0=>x=a,所以,f(x)在(0,a)上递增，在卜/,的)上递减，

/(初啊=.f(4)=Hna-a-140,设g(x)=xlnx-x-1,g,(x)=lnx,所以g(x)在(0,1)上递减，在

上递增，8(彳)2”=g(l)=-2,,而。=2,21112-340成立，“=3,31n3-4<0成立，a=4,41n4-5,

,•"mux=3.

故选：B.

6.(2022•江苏•模拟预测)已知。>。>0且a<b+ln：成立，则()

b

A.a<\B.a>\C.O<Z?<1D.a>b>\

【答案】C

【解I斤】彳衣题意，a>b>0,a<b+\n-,a-b<}na-\nb,a-]na<b-\nb,

b

构造函数/(x)=xTnx(x>0)J(x)=l」=^~,

所以/(%)在区间(0,1),/(力<0,〃力递减;在区间(l,+8)J'(x)>0,〃x)递增.

若则〃a-\na>b-]nb,不符合题意.

若lNa>b>0,则/(a)v/(b),a-lna<b-lnb,符合题意,

若a>l>b>0,此时对任意〃£(。,1),〃力=/(力)有两个不同的实数根4%,

则存在/>a>l>b>0,使且a</?+lnq”成立.

b

对任意。«1+8),/(x)=/(a)有两个不同的实数根〃,王，

则存在0<匕<*<1<〃，使“。〉人>0且。+成立.

h

综上所述，Ovbvl.

故选：C

7.(2022•辽宁•建平县实验中学模拟预测)已知函数"x)=e=/(O)x,若存在实数与使不等式

V2

2。一1一半2/(修)成立，则〃的取值范围为()

A.[1,-Ko)B.(-oo,3]C.(-00,2]D.[0,

【答案】A

【解析】令x=0得40)=1,・・・/a)=e-x,

22

将2a-1-枭/(%)化简得会,

2

令g(x)=e*-x+',则g[x)=e*-1+x,令〃(x)=g'(x)=e*-l+x,

•••”(x)=e，+1>0,g'(x)为增函数,

当x>0时，g'(x)>g'(O)=O,g(尤)为增函数,g(x)>g(O)=l；

当x<0时，g，(x)<g，(O)=O,g(x)为减函数,g(x)>g(O)=l：

因此g(x)最小值为1,从而24-121,BPa>l.

故选：A.

8.(2022•浙江绍兴•高三期末)已知关于x的不等式ae、+xlnaN2xlnx恒成立，其中e为自然对数的底数,

aeR+,则()

A.”既有最小值，也有最大值B.〃有最小值，没有最大值

C.。有最大值，没有最小值D.。既没有最小值，也没有最大值

【答案】B

【解析】ae'+xlna22xlnx变形为：e"+lnH+x(x+ln«)>eln/+xlnx2,令g(f)=e'+k(x>0)则上式可

化为：^(x+lna)>^(lnx2),其中g'(r)=e'+x>0,所以g(f)=e'+*(x>0)单调递增，故

x+lna>21nx.即InaN21nx—x,令=21nx-x(x>0),则〃'(x)=—1=---•,当0<x<2时，

//(x)>0,当x>2时，//(x)<0,所以〃(x)在x=2处取得极大值，也是最大值，故

〃(x)a="2)=21n2—2,所以Ina221n2-2，解得：«>e2ln2-2,综上：°有最小值，无最大值・

故选：B

9.(多选)(2022•广东•模拟预测)已知/。)=(，"1户1-9\若不等式/1rLl在(1,3)上

恒成立，则。的值可以为()

A.-72B.-1C.ID.y[2

【答案】AD

【解析】设y=x-l-lnMx>D,则y'=l」>0,

X

所以>=不一1-山工在(1,+00)上单调递增，所以x-l-lnx>0,

所以lnx<x-l,x£(l,+oo),/.0<lnx<x-l,

又/在(1'收)上恒成立，

所以fM在(1,行)上单调递增，

所以f'(X)=(/-1)e--X20对Vx€(1,"0)恒成立,即“2一晚W恒成立.

令g(x)=$，g'(x)=T，当X>1时，g'(x)<0,故g(x)<g⑴=1，

ee

••a2-\>\y解得a>V2或a《-41，

所以a的值可以为-0,五，

故选：AD.

10.(多选)(2022•湖南•长郡中学模拟预测)若存在正实数x,y,使得等式4x+a(y-3e2x)(lny-Inx)=0

成立，其中e为自然对数的底数，则。的取值可能是()

A.—B.—C.fD.2

eee"

【答案】ACD

【解析】解：由题意，。不等于0,由4x+Q(y-3e2x)(l”-lnx)=0,得4+ag-3e2)ln2=0,

XX

令f=)(，>0),则-3=/lnf-Be?In/,

xa

Q2

设g(t)=fInf-Be?Int,则g(r)=l+lnr-—，

因为函数g'。)在Q”)上单词递增，旦g'(e2)=0,

所以当0<r<e2时，g'⑺<0,当f>e2时，g'⑺>0,

则g⑺在(0,)上单调递减，在©,+co)上单调递增，

从而gQ)min=g(e?)=-4e2,

即——>-4e2,解得4或a<0.

ae-

故ae(-oo,0)u

故选：ACD.

11.(2022•湖北省仙桃中学模拟预测)若关于x的不等式2ln(x+1)-a(x+3)-2x+a(e'+2)>0在xe(0,+8)

上恒成立，则实数〃的取值范围为.

【答案】［2,+8)

【解析】不等式2111*+1)—〃(穴+3)—2犬+〃(©'+2)>0可化为：6/e'-2x>iz(x+l)-21n(x+l),即

6/e'-21neA>6t(x+l)-21n(x+l).

id/(x)=e'-l-x,(x>0).

因为r(x)=e*-l,所以当x>0时，Z(x)>0,所以/(x)在(O,+8)上单调递增函数，所以当x>0时,

/(x)>/(O)=O,即e、>l+x.

记尸(力=以一21nx,(x>l),则尸(e，)>F(x+l).

因为e*>l+x,所以只需厂(x)=ox-21nx在(l,+oo)上递增，

2

所以F，(x)=a号0,

2

只需。上恒成立.

因为y=4在单调递减，所以当X71+时，yf2最大,

所以“22.

即实数。的取值范围为［2,住).

故答案为：［2,一8).

12.(2022•江苏•南京师大附中模拟预测)己知/(力:/5.设实数相>o,若对任意的正实数x,不等式

/卜所”当卜亘成立，则机的最小值为.

【答案】-

e

【解析】因为/'(X)=2023/32之0仅在X=0时取等号,

故/(了卜％2023为R上的单调递增函数,

故由设实数m>0,对任意的正实数x,不等式f(e"")2f(等)恒成立,

可得小>0,*2则,口>0)恒成立，

fne,,K>lnx,即tnxe^>xliu=e,nv-Inx恒成立,

ntt

当Ovxvl时，m>Q1/nre2穴山二镇”・lrir恒成立,

当时,

构造函数g(x)=xe、,g'(x)=e*+xe*=(x+l)e、>0恒成立,

...当N时,g(x)递增，则不等式e"“2则恒成立等价于g(e)>g(lnx)恒成立,

m

即妙Nlnx恒成立，故需加>（一）2，

x

设G（x）=则，.•.G,（x）=4,

XV

・•・G（x）在[1,e）上递增，在[e,+e）递减,

••・G（x）3=G（e）=L故加的最小值为1,

ee

故答案为：-

e

13.（2022•湖北•大冶市第一中学模拟预测）已知关于x的不等式e"i+a>aln（or-勿）（。>0）恒成立，则实

数。的取值范围为.

【答案】（。，金）

【解析】易知。>0,将原不等式变形：e'>a]n（ax-2a）-a（a>0）,

e*2>g[ln（ar-2a）-/〃e],可得（x—2）e"2~—ln^^—,

即（x-2）eA2>ln（^^）e'n用，其中x>2.

设力⑺=/，则”（x）=Q+l）e',原不等式等价于〃（x-2）>/?（ln（矢网，

当In（竺三）<0时，原不等式显然成立；

当In（竺7》0时，因为人⑺在[0,竹））上递增，

_.（ax-2aye'T一八一

/.x-2>ln---------=>〃<--^恒成“，

VeJx-2

设3（x）=M，则夕'（%）="亓产，所以程（力在（2,3）递减,（3,内）递增，

所以9（力的最小值为9（3）=e2,故o<a<e2.

故答案为：（0,建）

14.（2022•广东•深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数/（x）=e*+alnx-x"-x（a>。），（e为自然对

数的底数，e=2.71828..当a=2时，函数〃x）在点尸（1J⑴）处的切线方程为；若

/(x)20对Vxe(l,+8))成立，则实数。的最大值为.

【答案】y=(e-l)x-le

7

v2x

【解析】由题意当4=2时，/(x)=e+21nx-x-x,f(x)=e+--2x-lf

则f(l)=e-2,r(l)=e-l,

所以函数/(%)在点P(l"。))处的切线方程为V—(e-2)=(e-l)(x—1),即

y=(e-l)x-l.

因为X£(l,+oo),/(x)之。，即e，+〃lnx-x“一xNO,则Inx"—x"2Ine"—e',

令47«)=ln，-/,/>1,加(，)=；-1=vO在(l,+oo)上恒成立，

故m(f)在上单调递减，故x"Ke"得alnx<x,即。K,

记O(x)="(x>l),则吠(力="1)，

mxIn'xI

当xe(l,e)时，夕,(x)<0,s(x)单调递减，当xe(e,+oo)时，9'(x)>0,夕⑺单调递增，故°(x)的最小

值是9(e)=e,故a4e,即实数。的最大值是e.

故答案为：y=(e-l)x-1；e.

15.(2022•辽宁实验中学模拟预测)已知函数〃x)=x-alnx,(aeR)

⑴请讨论函数〃x)的单调性

(2)当xe，,+8)时，若e'2((ln(lnx+x+l)+l)恒成立，求实数2的取值范围

【解】(1)/。)=1-3=二。>0)

XX

当“V0时，f(x)>0,/*)在(0,田)上递增

当a>0时，在(0,4)上f(幻<0,单调递减

在(a,+oo)上f(x)>o,f(x)单调递增

(2)原式等价于xe*=6""*2〃ln(lnx+x+l)+l)

,,「1、

设LZ=lnx+x,XG一,+8

由(1)当a=-l时，/(x)=lnx+x为增函数，.-.ref--1,+oo),

e

••.等式等价于一2〃111。+1)+1),北，一1,+8)恒成立，

1I1e1

时’"‘>0成立’，叱T”时，花1^71

设g«)=

111(^4-1)4-1

S(ln(r+1)+1)-e(L)ln(r+1)+1-----

g(t)=------------------=e'---------------，

(ln(r+l)+l)2(ln(r+l)+l)2

设h(t)=In。+1)+1———,

r+1

检)=」7+^^>0所以Mf)在d-L+oo)上为增函数，

t+1(t+1)e

又因为"(0)=0,所以在d-1,0)匕力⑺<0,..g«)<0,g⑺为减函数,

在(0,+8)上,〃⑺>0,g(f)>o,g(f)为增函数,

，gQ)min=g(0)=l>A<1.

16.(2022•山东临沂•三模)已知函数/(刈="」，其图象在X=e处的切线过点(2e,2e?).

Inx

⑴求。的值；

(2)讨论〃x)的单调性；

(3)若彳>0,关于x的不等式九仪》)402b-1在区间[1,内)上恒成立，求人的取值范围.

【解】⑴解：因为函数〃工)="二1

Inx

/、、2ctx\nx-(ax2-1]—

所以/(e)=ae--l,f(x\^________________LL.

0时

则r(e)=ae+：,

所以函在X=e处的切线方程为y-(ae2—l)=(ae+：J(x-e),

又因为切线过点(2e,2e)

所以2e2-(〃e2-1)=(ae+—)(2e-e),

BP2«e2=2e2,解得a=l;

x2_i、2x2lnx-x2+1

⑵由⑴知；“小大^则"枷力2，

令g(x)=2x2Inx—/+1,则g，(x)=4xlnx,

当0<x<l时，g'(x)<0,当x>l时，g'(x)>0,

所以g(x)>g⑴=0

即当o<x<i时，r(x)>o,当x>i时，r(x)>。，

所以〃X)在(0,1)上递增，在(l,y)上递增；

(3)因为X的不等式AV(x)<e2Zx-1在区间u,+o))上恒成立，

所以匚二12口在区间［1,行)上恒成立，

即/(的”“X)在区间口,+8)上恒成立，

因为“X)在(1,+=»)上递增，

所以e"2x在区间U,也)上恒成立，

即2士也在区间口,物)上恒成立，

X

令/7(X)=(,则“5)=号它，

当0<x<e时，〃'(x)>0,当x>e时，〃(x)<0,

所以当x=e时，人(力取得最大值/z(e)=g,

所以八L

e

17.(一题多解)(2022•海南中学高三阶段练习)已知函数/(X)=xe*-ax-alnx.

⑴若”,求〃x)的单调区间；

(2)是否存在实数〃，使了(力21对xe(O,+a>)恒成立，若存在，求出。的值或取值范围；若不存在，请说

明理由.

【解】(1)因为f(x)=xe*-公-alnx,

所以r(x)=(x+l)e*_a_£(x>0),

即r(x)=.(xe*-a).

当a=e时，r(x)=W^(xe，-e),

令g(x)=xe*—e,贝i|g<x)=(x+l)e'>0,

所以g(x)在(0,+s)单调递增，因为g⑴=0,

所以，当0cxe1时，g(x)<0,7,(x)<0；当x>l时,g(x)>0,/(x)>0,

所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,心).

(2)法一：设尸(x)=Ae"-a(x+lnx)—1,则6(%)=^^(代”一”)，

①当〃=0时，尸(力=把'-1,呜)=等-1<0,即/(扑1,

故a=0不符合题意.

②当4<0时，

当xw(0,l)时，F(x)=xeA-tz(x4-lnx)-l<e-tz-6dnx-l.•

令e-a-alnx-lKO,即lnx<---,

a

取司=6千e(o/)，则e_a_〃lnX|_l=O,即尸(不)<0,/(^)<1.

故〃<0不符合题意.

③当a>0时，令〃(x)=xe*-a,xe[0,+oo),则〃(x)=(x+l)e*>0,

故"x)在[0,y)单调递增.

因为/?(0)=-a<0,/?(a)=aeu-a=a(efl-l)>0,

所以存在唯一的不«0,a)使得〃(与)=°，

所以，xw(0,3)时,A(x)<0,F,(x)<0；XG(为,+oo)时,/i(x)>0,F,(x)>0,

故f(x)在(0,%)单调递减，在(%，一)单调递增.

所以尸(x)的最小值为F(与)=玉e&-a&+ln与)-1,

因为/7(为)=0，即％e"=a,两边取对数得/+In/=Ina,

所以尸（玉，，二七片与-a^x^+\nx^）-\=a-a\x\a-\,

令G(x)=x-xlnx-1,则Gz(x)=-lnx,

所以G(x)在(0,1)单调递增，在(I,”)单调递减，

故G(x)WG(l)=0,当且仅当x=l时，等号成立，

故当且仅当〃=1时，/(x)NO在(0,+功恒成立，

综上，存在4符合题意，a=\.

法二：F(x)=xer-<7(x+lnx)-l,贝ijF'(x)=>0),

设Mx)=xe”-〃(xN0),易知力(x)在［0,+8)单调递增，

①当”=1时，因为6(；［=曰-l<0,/2(l)=e-l>0,

所以存在唯一玉>e(g』)，使得玉/-1=0,即/e&=l,x°+lnXo=O.

所以当xe(O,x0),〃(x)<。，即尸'(“<0,尸(x)单调递减;

当xe(/,+oo),/i(x)>0,即k(x)>0,二(x)单调递增.

故尸(x)2尸小)=0,B|J/(x)>l,符合题意.

②当”>1时，/?(不))=入用"一a=l-a<0,〃(a)=ae"-a>0,

所以存在唯-XieGoM),使得〃(百)=。，

所以当xw(%0),/z(x)<0,g［JF(x)<0,尸(x)单调递减,

故尸(再)<尸伉)=0,即故。>1不符合题意.

③当0<。<1时，/?($)=为e"1b—。=1—a>0,〃(0)=—。<0,

所以存在唯-wee，%),使得力(工2)=。，

所以当X«孙飞),/z(x)>0,即尸(x)>0.

所以〃x)在(%,所)单调递增,故网毛)〈尸(%)=0,即

故0<“<1不符合题意.

④当4=0时，=不符合题意.

,<?_4一|、1

⑤当。<0时，fe丁<e-a-a•=二=1,不符合题意.

I)a

综上，存在。符合题意，a=l.

法三：①当“V0时，尸(x)=?(xe'-a)>0,故〃x)在(0,+勿)上单调递增.

因为f(x)=x+lnx在(0,+巧单调递增，且=r(l)=l>0,

故存在唯一与,使得，(毛)=0,即/+lnXo=O,

即/e'。=1,故/(%)=七片"-a(%+lnx())=l,

所以任意xe(O,$),都有f(x)</>(%)=1.

故“V0不符合题意.

②当“=1时，/(x)=xex-(x+lnx)=ev+lnx-(x+lnx),

对于函数/?(x)=e*-x-l,/f(x)=ev-l.

所以x<0时，厅(x)<0；x>0时，〃'(x)>0.

所以/?(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+巧单调递增，

故人(x)N/j(O)=O,所以e*2x+l,

故/(x)2x+lnx+l-(x+lnx)=l,故a=l符合题意.

③当a>0且awl时，对于函数9(力=%+111光一1114,

因为>(x)在(0,+8)单调递增，且e(a)=a>0,=

所以存在玉,使得再+lnX|=lna,gpx.e'1=a,

所以=与9—a(X1+lnxj_]=q_alna_1.

令G(r)=f-Hnr-1,则G'(f)=-lnf,

故G(r)在(0,1)单调递增，在(1,内)单调递减.

故G(r)WG(l)=O,当且仅当，=1时，“=”成立.

所以当ae(O,l)U(l,+«0时，a-a\na-\<0,即/(不)-1<0,/(不)<1,

故ae(O,l)U(l,~)不符合题意.

综上，存在a符合题意，a=l.

法四：设〃(x)=x+lnx,易知/z(x)在(O,+R)单调递增.又当xe(O,l)时,x+lnx<l+lnx,所

以y=x+lnx(xe(O,l))的值域为(一oo,l)；

当xe[1,+<»)时，y=x+Inx(xe[l,4w))的值域为[1,+co).

所以〃(x)=x+lnx的值域为R.

故对于R上任意一个值％,都有唯一的一个正数%,使得%=%+皿％.

因为xe*-ar-alnx-1>0>即et+ll,x-a(x+lnx)—1>0.

设尸(f)=e'—〃—1,reR,所以要使e*+M-a(x+lnx)—120,只需打人山20.

当aVO时，因为F(T)=』+a-l<0,即/(一1)<1,所以“M0不符合题意.

e

当a>0时，当f«-oo,lna)时，F,(r)=e/-tz<0,尸⑺在(9,Ina)单调递减；

当Z£(Ina,4oo)时，产'(7)=e'-4>0,F(r)在(ina,+oo)单调递增.

所以F(f)iiin=F(\nci)=a-a\na-\.

设m(Q)=a-alna-l,6fG(0,-BX)),

则加(〃)=—Ina,当QE(O,1)时，加⑷>0,加(。)在(0,1)单调递增；

当ae(1,+oo)时,加(。)<0,m[a)在(1,+oo)单调递减.

所以M<Lx=Ml)=。，所以优(〃)40，尸(“而/°，当且仅当。=1时，等号成立.

又因为尸(，)之0,所以尸(我而=0,所以a=l.

综上，存在。符合题意，々=1.

【素养提升】

1.(2022•广东广州•三模)对于任意x>0都有r-oxlnxNO,则a的取值范围为()

rI「」一

A.[0,e]B.-ee,e

(

C.Y0,-eeu[e,+oo)D.(^»,e]

【答案】B

【解析】xx-axlnx>0=>exlnjr-arlnx>0,令，=/(x)=xlnx,

则/'(x)=lnx+l,所以/(x)在(0,口上单调递减，在+8)上单调递减，

所以/(》)4/1)=」1/=_工，所以/=f(x)2：_L

所以Tv-adnx20转化为：e'-m20，令g(/)=e'-ar,g'(r)=e'-a,

①当“VO时，^(/)>0,所以g(/)在-1,+8)上单调递增，所以

g(儿而=gFE卜三-。卜/0n心-el,所以_e'4<«<o-

②当〃>0时，您g'(f)=O,所以r=lna,

⑴当即a<e一时，

g'(f)>0,所以g(f)在-；,+8)上单调递增，g(%M=g(-，j=ee_a(T»0=>aZ-e'e,所以

0<a<ec,

(ii)当Ina*-，即az/时，

g⑺在-(lna)上单调递减，在［Ina,物)上单调递增，

lna

g(/)min=g(ln6f)=e-«(ln«)>0=>a-alntz>0=>l-lna>0,

所以a4e,所以

'i-l'

综上，”的取值范围为：-ee,e.

故选：B.

2.(2022♦江苏连云港•模拟预测)已知r>0,函数f(x)=(x+t)lnx-"2,当时，/(x)+f<0恒成立,

则实数，的最小值为()

B.-C.；

A.@D.1

432

【答案】D

【解析】解：因为x>l时，.f(x)+f<0恒成立，

所以(x+f)lnx-/x2+/<0在x>l时，恒成立，

即xlnx<(x2-inx-l)r,在x>l时，恒成立，

令g(x)=(f-lnx-l)f-xlnx,

又g'⑴=1，

当g'(l)<0时，BPO<r<l,

因为g⑴=0,肛g®)<g⑴=0,不成立；

当g'⑴20时，即壮1,

则小)=(2+小42+*=昌)+&0

所以g'(x)在(1，+°°)上递增,

贝尔(x)>g，(l)NO,

所以g(x)在口,内)上递增，

所以g(x)>g⑴=1-120,

解得d1,

实数，的最小值为1,

故选：D

3.(2022•山东聊城•三模)已知函数〃x)="+x2-xina(〃>0且"1),若对任意的毛,々印⑵，不

等式/(占)-/区)4/-4+1恒成立，则实数。的取值范围为.

【答案】［e2,-H»)

【解析】解：因为函数f(x)=a'+x2-;dna(a>0且"1),

所以r(x)=("-l)lna+2x,

当xw［l,2］时，ax-1<0,ln«<0,

则〃尤)>0在&2］上成立，

所以在［1,2］上递增，

所以〃x)2=〃2)=a2+4-21n“J(x"n=〃l)=a+17na，

所以卜=，"a+3Tna,

因为任意的巧，々€［1,2］，不等式/a)-〃马)4叱-。+1恒成立,

所以〃一。+12a?-a+3-lna,1!!Jlna>2,

解得aNe?,

当xw［l,2］时，«x-l>0,ln«>0,

则尸(6>0在［12］上成立，

所以f(x)在［1，2］上递增，

所以“X)四=〃2)=a2+4_21naJ(xL=7•⑴=a+l—Ina,

所以［/(xj-f(x2)k=a2-a+3-\na,

因为任意的4,”[L2],不等式/(占)-/(々)4/_4+1恒成立，

所以/一〃+1之片一〃+3—Ina,B|Jlna>2,

解得心/,

综上：实数”的取值范围为人之,一)，

故答案为：[e2,+oo)

4.(2022•辽宁•二模)已知不等式alnV-'+eN”对任意xe(O/)恒成立，则实数。的最小值为

X

【答案】-5

【解析】由题意，不等式可变形为

X

得N/Tnx"对任意xe(O,l)恒成立•

设/(x)=x-lnx.

则/—+/(一)对任意x«O,l)恒成立，/”(力=1一：=号，

当0<x<l时，r(x)<0,所以函数/(X)在(0,1)上单调递减，

当x>i时,ra)>o,所以函数/(X)在。,内)上单调递增.

当xe(0,l)时，l>e，因为求实数。的最小值，

所以考虑a<0的情况,此时与>1，

因为函数f(x)在(L”)上单调递增，

所以要使/(1>/(一),只需eNx?”，

两边取对数，得上，22alnx,

X

山]•xw(0,1)，所以2。之一--.

xinx

^/?(x)=xlnx(xe(0J)),则〃(x)=lnx+l,

令〃(%)=。，得x=L

易得力(X)在(0.)上单调递减，在g，l)上单调递增，

所以"(x)mM=6(£|=-I所以(意)=Y，所以2a*-e,

所以实数。的最小值为-|.

故答案为：-

5.(2022•福建龙岩•模拟预测)若Jdnx—2/nr(x—l)+ei—1之0对DxNl恒成立，则实数加的取值范围是

【答案】［-00,1

【解析】解：因为xlnx-2TH¥(X-l)+e'M对DxNl恒成立，

I'PInx_2/??(x—1)H--------120对Vx21也成乂，

x-l

i己/(x)=lnx-2/W(X-l)4--------1,XG［1,4-09),

所以/>(x)=--2>»+e，

XX

令g(x)=一一2机+―4——

XX

令R(x)=e*T-x,xe［l,-hz>),贝!|"(x)=e*T—1,所以当%>