二轮复习梳理纠错预测学案二常用逻辑用语（文）

专题2常用逻辑用语

命题趋势

对于逻辑用语的考查，主要以充分必要条件，命题真假的判断为主.充分必要条件一般

以其他知识作为载体进行考查.

・.■■7号点清*I■…

1.四种命题的关系

(1)逆命题与否命题互为逆否关系.

(2)互为逆否命题的两个命题同真假；当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它

的逆否命题的真假.

(3)当已知一个命题的真假时，只能由此得出它的逆否命题的真假性，不能判断它的逆命题

与否命题的真假.

2.充分、必要条件

(1)p=>q,则p是q的充分条件；

(2)p<=q,则p是q的必要条件;

(3)poq,则p和q互为充要条件.

3.简单的逻辑联结词

(1)若命题pVq为真，则命题p或q有一个为真，或两个都为真；

(2)若命题pAq为真，则要求p,q都为真.

4.全称命题与特称命题互相否定

否定

Vx£M,p(x)=3x0GM,->p(x0)

5.“或”"且”联词的否定形式

“P或q”的否定形式是“非P且非q"，"P且q”的否定形式是“非p或非q”.

.・••丁精题集训••・.(70分钟)

❷经典训练题

一、选择题.

1.设a,b是两条不同的直线，a是平面且bua,那么〃"是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】当直线a在平面a内时，由a〃匕不能推出a〃a;

当a//a时，a有可能与b平行或异面，

所以是“a〃a”的既不充分也不必要条件，故选D.

【点评】本题考查线线与线面位置关系的判断，充分与必要条件的判断，属于基础题.

2.已知命题p:3%eR,x2-x+1>0;命题q:若a2<川，则a<b.下列命题为真命题的

是0

A.p八qB.pA-iqC.-ip/\qD.pA-iq

【答案】B

【解析】命题p：3xGR,x2—x+1>0；知：p是真命题，-ip是假命题；

命题q：若a2cb2,贝lja<b；知：q是假命题，rq是真命题，

」.pA-iq是真命题，故选B.

【点评】本题考查了命题的真假性判断，根据原命题的真假性，应用复合命题的真假判断方

法，属于简单题.

3.已知空间中不过同一点的三条直线小，n,I,贝n,I在同一平面''是"m,n,I两两相

交”的0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】依题意小，n,，是空间不过同一点的三条直线，

当n,［在同一平面时，可能”?〃〃〃’,故不能得出Tn,n,/两两相交;

当m,n,/两两相交时，设mnn=4,mCI=B,nrtI=C,

根据公理2可知m,n确定一个平面a,而Bemua,CEnca,

根据公理1可知，直线BC,即lua,所以m,n,1在同一平面.

综上所述，“m,n,［在同一平面”是“m,n,I两两相交”的必要不充分条件，故选B.

【点评】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.

4.已知命题p：Vx>0,ln(x+l)>0；命题q：若a>b,则a?>。？，下列命题为真命题

的是()

A.PMB.P八7C.22D.7八f

【答案】B

【解析】由x>0时，x+l>l,ln(x+l)有意义，知p是真命题，

由2>1,22-M；-i>-2,(―<(-2)2可知q是假命题，

即P，F均是真命题，故选B.

【点评】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非

真值表，进一步作出判断.

5.给出下列两个命题：命题P：空间任意三个向量都是共面向量；命题q：“［2)\1)，，

是“Inxvlny,,的充要条件，那么下列命题中为真命题的是()

A.pAqB.pVqC.(-ip)AqD.(-ip)Vq

【答案】D

【解析】平行于同一平面的向量叫共面向量，故空间任意三个向量不一定都是共面向量，

例如在三条两两垂直的直线上取向量，则不共面，故命题p错，为假命题；

由,解得x<y；

由Inxvlny,解得0<%<九

故八，，不是x<Iny,,的充要条件，故命题q错，为假命题，

所以「p为真命题，

故pAq,pVq,(rp)Aq为假命题，(-ip)Vq为真命题，故选D.

【点评】本题主要考查了向量共面，以及对数函数、指数函数的基本性质、复合命题的真假

的判断，

属于基础题型.

6.已知直线/是平面a和平面/?的交线，异面直线a,b分别在平面a和平面£内.

命题P：直线a,b中至多有一条与直线I相交；

命题q：直线a,匕中至少有一条与直线/相交；

命题s：直线a,b都不与直线，相交.

则下列命题中是真命题的为。

A.pV(-)(?)B.(->p)AsC.qA(-)s)D.(-ip)A(-iq)

【答案】C

【解析】由题意直线，是平面a和平面/?的交线，异面直线a,b分别在平面a和平面£内，可知,

命题P：直线a,b可以都与直线/相交，所以命题p为假命题；

命题q：若直线a,b都不与直线(相交，则直线a,b都平行于直线那么直线a,b平行，与题

意a,b为异面直线矛盾，所以命题q为真命题；

命题s：直线a,b都不与直线Z相交，则直线a,b都平行于直线Z,那么直线a,b平行，与题意

a,b为异面直线矛盾，所以命题s为假命题；

由复合命题真假可知，对于A,〃为假命题，「q为假命题，所以pv(「q)为假命题；

对于B,巾为真命题，s为假命题，所以(巾)As为假命题；

对于C,q为真命题，「s为真命题，所以qA(「s)为真命题；

对于D,「p为真命题，「q为假命题，SinX°=C0SX°,所以(巾)人(虫)为假命题，

综上可知，C为真命题，故选C.

【点评】本题考查了命题真假判断，复合命题真假判断，点、线、面的位置关系，属于基础

题.

7.已知命题p：VX6R+，怆"2°;q:sinxo=cos/,则下列命题中为真命题

的是()

A.-iqB.pAqC.-ipAqD.->qVp

【答案】C

【解析】由于当。〈尤<1时，lgx<°,故命题P为假命题；

_71

由于当X"W时，sinx0=cosx0i故命题q为真命题，

所以->pAq是真命题，故选C.

【点评】本题主要考了复合命题真假关系的判断，结合条件，首先判断命题P，q的真假，再

判断复合命题的真假.

8.命题“若a>l,则mx>0,使得户>/”的否命题为()

A.若贝Wx>0,ax<x2B.若贝归x>0,ax<x2

C.若a>l,JilijBx<0,ax>x2D.若a>l,贝Wx>0,ax<x2

【答案】A

【解析】命题“若a>1,则更>0,使得小>x如的否命题为“若a<1,则Vx>0,ax<x如,

故选A.

【点评】本题考查四种命题的应用，考查否命题的写法，属于基础题.

/(X)伞+L2M

9.下列命题中假命题有：03mGR,使1ml是寻函数；②

3

sin0cos6=一

使5成立；③VQ€R,使a%+2y+。-2=0恒过定点；@Vx>0,不等式

2x+->4

工成立的充要条件是a22.则假命题是。

A.3个B.2个C.1个D.0个

【答案】B

1c,

mH---F2=1

【解析】①中，令m，即机2+巾+1=0,其/=1—4=-3<0,

所以方程m2+爪+1=0无解，故①错；

ax

sin0cos0=—sin28=—>1

②中，由5,得5不成立，故②错；

③中，由ax+2y+a-2=0,得(x+l)a+2y-2=0,

所以ax+2y+a—2=0恒过定点（一1,1）,故③正确；

2x+->2V2a>4

④中，当a22时，》成立，

2x+->4

反之，当X成立，贝Ija2-/+4x=-2（x—1）2+2恒成立，

所以a22,故④正确，

故选B.

【点评】命题的真假判断，需要考生对各章节知识点熟悉.

io.下列命题中正确命题的个数是0

①对于命题pTxCR,使得/+%+1<0,则-）p:Vx€R,均有/+x+l>0;

②命题“已知X,yGR,若x+yK3,贝Ijx#2或y彳1”是真命题；

③“0<%<甘是“l°g2*<1"的必要不充分条件；

④已知直线II平面a,直线n〃平面出贝『a/9'是“1心的必要不充分条件.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于命题pTx€R,使得/+%+1<0,则rp：VxeR,均有M+x+lZO,故①

不正确；

命题”已知X,yeR,若x+y，3,则％力2或yH1”的逆否命题为：“已知》,yeR,若x=2且

y=1,

则x+y=3”为真命题，故②正确；

由log2”<l,得0<》<2,故"0<x<4”是“l°g2X<l，，的必要不充分条件，故③正确；

因为,〃£,直线Z1平面a,所以直线11平面£,又直线〃〃平面仇所以，In,充分性成立，

故④不正确，

故选B.

【点评】本题考查命题的真假判断，掌握命题的否定，必要不充分条件的定义，互为逆否命

题的等价性是解题关键.

H.下列说法中，正确的是（）

A.命题“若am?<,贝Ija<b”的逆命题是真命题

B.命题“存在xCR,/-％>0”的否定是：“任意％611,%2-%<0"

C.命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题

D.已知X6R,则“x>1”是“X>2”的充分不必要条件

【答案】B

【解析】A.命题“若a/<bm2,则a<b"的逆命题是“若a<b,则am2<b/"是假命题,

m=0时不成立；

B.命题“存在X6R,/-%>0，，的否定是：“任意》6凤%2-%<0,,,正确；

C."p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；

D.xeR,贝lj“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，因此不正确，

故选B.

【点评】本题考查了简易逻辑的判断方法，属于基础题型.

12.对于实数a,b,m,下列说法：①若a>b,flljani2>bm2;②若a>b,则a|a|>b|b|;

a+ma

③若b>a>0,m>0,则》+"?b；④若a>b>0,且,则2。+6的最小值

为2vL其中是真命题的为()

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】B

【解析】对于①，当m=0时，am2=bm2=0,所以①是假命题；

对于②,当a>0时，a|a|>b|b|成立;

当a<0时，a|a|>。同等价于一a2>一常,即口2<62,

因为b<a<0,所以。2<。2,所以a|a|><b|成立;

当a=0时，b<0,所以a|a|>b|b|成立，

所以②是真命题；

a+ma+m)b-{b+ni)a(b-a^m

------------------——----------------------------------------------------------->(J

对于③，因为b>a>。，m>0,所以"(b+m)b+,

a+m>a

所以8+加b,所以③是真命题；

对于④，因为a>b>0,且所以a>i>b>0,且lna=—ln,所以帅=1,

2a+b=2a+^->2^22a--a=————<1

因为a,当且仅当a,即2时成立，2,不合题意，

所以2a+b的最小值不是2企，

|2a+-|=2--Sy|2a+-|=2--^>0

又由1a)”一，因为a>l,所以Ia'0,

c1C1

y—2aH—2aH—

所以.”是a的增函数，a在a>1时没有最小值.所以④是假命题，

故选B.

【点评】本题主要考查了以命题为背景的命题的真假判定，以及不等式的性质和基本不等式

的应用，

其中解答中熟记不等式基本性质和基本不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

13.以下说法中正确的是0

①VxGR,x2—x+1>0

②若pVq为真命题，则pAq为真命题

③x>1是/+%-2>0的充分不必要条件

④“若%>y,则♦>V”的逆否命题为真命题

A.①②B.①③C.②③D.③④

【答案】B

【解析】①函数y=--x+1开口向上，J<0,因此vxeR,%2-x+1>0,正确；

②pVq为真命题，则其中一个为假命题或都是真命题，因此pAq不一定为真命题，错误；

③由厂+x—2>°,得x>l或％<—2,因此x>1=>/+x—2>0,

但M+x-2>o3刀>1,即久>1是丁+*-2>°的充分不必要条件，正确；

@x>y^x2>y2,原命题为假命题，因此它的逆否命题为假命题，错误，

故选B.

【点评】本题考查了任意性命题的判断，“且”和“或”的理解，充要条件的判断，原命题与逆否

命题真假值的关系.

二、填空题.

14.设n6N+,一元二次方程/-4x+n=。有整数根的充要条件是n=

【答案】3或4

【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算.

2

因为X是整数，即2±G而为整数，所以GG为整数，且〃W4,

又因为n€N+，取n=l,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意；

反之n=3,4时，可推出一元二次方程/-4》+71=0有整数根.

【点评】本题考了一元二次方程有实根的充要条件及分来讨论的思想，属于基础题.

15.能说明“若/(x)>/(0)对任意的Xe(0,2］都成立，则f(x)在［0,2］上是增函数”为假命题的一

个函数是__________.

【答案】/(x)=sinx(答案不唯一)

/(■=［：_"I

【解析】令14一x,"e(0,2］,则/⑸>/(o)对任意的％e(0,2］都成立，但/(%)在［0,2］

上不是增函数.

又如,令f(x)=sinx,则f(0)=0,/(%)>/(0)对任意的》6(0,2］都成立，但f(x)在［0,2］上

不是增函数.

【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题型.

16.下列命题正确的是____.(写出所有正确命题的序号)

①已知a,beR,"a>1且b>1”是“ab>1”的充分条件；

②已知平面向量"，方，“HE且网>L，是」的必要不充分条件；

③已知a,b&R,-a2+b2>1”是“|a|+\b\>1”的充分不必要条件；

-

④命题P：叼％o6R,使/。>x0+1且ln%0<%o1”的否定为"»P：“Vx£R,都有e"<x+1

且lnx>x—l”.

【答案】①③

【解析】对于①，已知a,b€R,且力>1"是“ab>T'的充分条件，正确；

对于②，向量的加法法则可知，」4>1且网>1”不能得到」

“k+">i”不能得到」4>i且网>i，，，故错；

对于③，在单位圆/+y2=1上或圆外任取一点P(a,b),满足+b2>r,

根据三角形两边之和大于第三边，一定有“⑷+\b\>1”，

在单位圆内任取一点M(a,b),满足“|。|+依21”,但不满足，、2+拄21，，，故正确；

对于④，命题P：“〃0eR,使靖。之沏+1且In%4/一1，，的否定为-1P:“vxeR,都有短<

x+1或lnx>x-l，，，故错，

故答案为①③.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质，考查向量的运算，考查命题的否定,

属于中档题.

•商频易错题

一、选择题.

1.命题SnGN*,使得n2M，，的否定形式是()

A.VxGR,3nGN*,使得n</B.Vx6R,VnGN*,使得n<x2

C.3x6R,2nGN*,使得n</D.3%GR,VnGN*,使得n</

【答案】D

【解析】V的否定是土三的否定是V,«2/的否定是九</,故选口.

【点评】考查了全称命题与特称命题的否定，注意在写命题的否定的时候，把条件当中的特

称量词改成全称量词，全称量词改写成特称量词，结论改成否定的形式.

2.已知下列命题：

①“VxeR,x2+5x>6”的否定是TxeR,x2+5x<6,,；

②已知P，q为两个命题，若“pVq”为假命题，贝/(-^)/\(，7)”为真命题；

③“a>2019”是“a>2020”的充分不必要条件；

④“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.

其中真命题的序号为0

A.③④B.①②C.①③D.②④

【答案】B

【解析】“VXGR,x2+5x>6”的否定是TxGR,x2+5x<6"，正确；

已知为两个命题，若“pvq”为假命题，贝仁（Fo）/\（「q）”为真命题，正确；

“a>2019”是“a>2020”的必要不充分条件，错误；

“若孙=0,则》=0且y=0”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误，

故选B.

【点评】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条

件等概念是解题基础.

3.下列叙述中正确的是0

A.若a,若CCR,则“a/+以+c20”的充分条件是*2-4ac<0"

B.若a,瓦ceR,则“。炉>刈2”的充要条件是“a>c”

C.命题“对任意xeR,有/20”的否定是“存在xeR,有

D.I是一条直线，a,夕是两个不同的平面，若l_La,110,则。

【答案】D

【解析】当a<0时，"b2-4ac<0"推不出"aN+bx+cN。"，A错；

当b=0时，"a>c"推不出2炉>必2”,B错；

命题“对任意xeR,有/20”的否定是“存在xeR,有/<o"，c错；

因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D正确.

【点评】本题考查了充分、必要条件，当P的充分条件是q时，贝g=P；当P的必要条件是q时,

则p=>q；

当P的充要条件是q时，贝ljp=q.

八兀

G〉（）,夕£一,兀

L2」）的部分图象如图所示，其中

4.已知函数f(x)=2sin(a)x+cp)(

|W|=-p:/(x)=2sin

2.即命题命题q：将/（%）的图象向右平移6个单位,

y=2sin

得到函数的图象.则以下判断正确的是（）

A.pAq为真B.pVq为假c.pAjq)为真D.(->p)Vq为真

【答案】C

n

co--

【解析】由,解得3

结合f(0)=

兀5兀

好弓，兀夕=至

结合L，」，可得

/(x)=2sinl—x+—n

函数的解析式为136)则命题?是真命题.

兀

将函数/Q)的图像上所有的点向右平移7个单位,

所得函数的解析式为即命题“为假命题,

则PAq为假命题；pVq为真命题；pA(-iq)为真命题；(-«p)Vq为假命题,

本题选择C选项.

【点评】本题结合三角函数考查复合命题的真假的判断，要求考生三角函数图象及三角函数

的性质熟悉,

对逻辑联词的概念清晰，难度中等.

。精准预测题

一、选择题.

1.给出命题：若函数y=f(x)是幕函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命

题、否命题、

逆否命题三个命题中，真命题的个数是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】若函数y=/Q)是累函数，则函数y=/(%)的图象不过第四象限，原命题是真命题