统计抽样分布规律

统计抽样分布规律知识点回顾统计量根据样本计算出的量。设X1，X2，…，Xn是从总体中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T（X1，X2，…，Xn），不依赖任何未知参数，则称函数T是一个统计量。参数统计抽样分布规律第6章抽样分布§6.2抽样分布§6.3一个总体参数推断时样本统计量分布§6.4两个总体参数推断时样本统计量分布统计抽样分布规律卡方分布T分布F分布统计抽样分布规律2分布

(2distribution)由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来。设随机变量X1，X2，…Xn，相互独立，且Xi服从标准正态分布，则它们的平方和服从自由度N的X2分布统计抽样分布规律分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的右偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称用于方差的推断2分布

(性质和特点)统计抽样分布规律(c2)分布不同容量样本的抽样分布n=1n=4n=10n=20Y统计抽样分布规律T分布T分布也称学生分布，高塞特在1908年在一篇以“Student”为笔名的文章中首次提出的。设随机变量X~N（0，1），Y~x2(n),且X和Y独立则称为t分布，n为自由度。应用于小样本的均值的推断。统计抽样分布规律T分布的特点和标准正态分布极为相似，偶函数。比标准正态分布的方差大一些。标准正态分布T分布统计抽样分布规律由统计学家费舍(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏的第一个字母来命名则应用于方差之比的推断，方差分析，回归方程显著检验设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F分布

(Fdistribution)统计抽样分布规律F分布

(图示)

不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)统计抽样分布规律样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本

(samplingdistribution)统计抽样分布规律抽样分布

(samplingdistribution)总体计算样本统计量例如：样本均值、比例、方差样本统计抽样分布规律§6.3样本统计量的抽样分布

(一个总体参数推断时)样本均值的抽样分布样本比例的抽样分布抽样方差的抽样分布统计抽样分布规律容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体总体均值的理论基础 样本均值的抽样分布统计抽样分布规律样本均值的抽样分布

(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3、x4=4。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差统计抽样分布规律样本均值的抽样分布

(例题分析)

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）统计抽样分布规律样本均值的抽样分布

(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值样本的均值（x）X样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.5统计抽样分布规律样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)=2.5σ2总体分布14230.1.2.3抽样分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X统计抽样分布规律不同总体的均值抽样实践

(centrallimittheorem)的分布趋于正态分布的过程统计抽样分布规律中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体X统计抽样分布规律正态分布中心极限定理=50

=10X总体分布n=4n=16抽样分布X当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)统计抽样分布规律抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布统计抽样分布规律样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样样本均值的抽样分布

(数学期望与方差)统计抽样分布规律抽样标准误差所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度小于总体标准差计算公式为统计抽样分布规律例题设从一个均值为u=10，＝0.6的总体中，随机选取容量为n=36的样本，假定该总体不是很偏，求1.计算样本均值小于9.9的概率，2计算样本均值在总体均值附近0.1的概率。解：统计抽样分布规律例：某汽车电瓶商声称其生产的电瓶具有均值为60个月，标准差为6个月的寿命分布，现假设质检部门决定检验该厂商的说法是否正确，为此随机抽样了50个该厂的电瓶进行了寿命测试，求（1）假定厂商的声明是正确的，试描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布（2）假定厂商的声称是正确的，则50个样本的平均寿命不超过57个月的概率是多少统计抽样分布规律比例：总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

2.样本比例的抽样分布统计抽样分布规律容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似一种理论概率分布推断总体总体比例的理论基础 样本比例的抽样分布统计抽样分布规律样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样样本比例的抽样分布

(数学期望与方差)统计抽样分布规律例题假定某统计人员，在其填写的报表中，有2%至少会有一处错误，如果我们检查了一个由600份报表组成的随机样本，其中至少有一处错误报表所占的比例在0.025~0.075之间的概率有多大？统计抽样分布规律对于来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为(n-1)

2分布，即统计抽样分布规律样本方差的分布服从于自由度N－1的卡方分布。只讨论总体是正态分布统计抽样分布规律§6.4样本统计量的抽样分布

(两个总体参数推断时)统计抽样分布规律两个总体都为正态分布，，两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差方差为各自的方差之和 统计抽样分布规律两个样本均值之差的抽样分布

m1s1总体1s2

m2总体2抽取简单随机样样本容量n1计算X1抽取简单随机样样本容量n2计算X2计算每一对样本的X1-X2所有可能样本的X1-X2m1-m2抽样分布统计抽样分布规律例题设有甲乙两所高校在某年录取新生时，甲校的平均分655，标准差为20，已校平均分625，标准差25分，现从甲乙两校各随机抽取8名新生，出现甲校比已校的平均分低的可能性有多大？（假设都服从正态分布）统计抽样分布规律两个总体都服从二项分布分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似分布的数学期望为方差为各自的方