高考方法技巧上册(学生版)

高考数学方法技巧专题上册（学生版）

目录

专题01函数的图像.......................................................................................4

一、函数的图像知识框架...............................................................................4

二、函数的图像备用知识扫描...........................................................................4

三、函数的图像题型分析...............................................................................5

[-]函数图象的作法............................................................................5

[-]函数图象的识别............................................................................6

【三】根据图像识别解析式........................................................................8

【四】函数图像的应用............................................................................9

专题02方程的根与函数的零点问题........................................................................14

一、方程的根与函数的零点问题知识框架..............................................................14

二、函数零点存在性判断..............................................................................14

三、方程的根与函数零点个数.........................................................................15

四、利用函数的零点求参数范围.......................................................................16

专题03导数与切线方程..................................................................................19

一、导数与切线方程问题知识框架.....................................................................19

二、导数与切线方程问题题型分析.....................................................................19

[1已知切点求切线...........................................................................19

[-]过某点求切线.............................................................................20

【三】利用切线求参数...........................................................................21

【四】切线与其他知识综合运用...................................................................22

专题4函数单调性、极值、最值与导数问题.................................................................26

一、函数单调性、极值、最值知识框架................................................................26

二、函数单调性、极值、最值问题题型................................................................27

[-]判断函数单调性...........................................................................27

[-]根据单调性求参数.........................................................................28

【三】函数的极值问题...........................................................................29

【四】函数的最值问题...........................................................................30

专题5函数中恒成立与存在性问题.........................................................................34

一、函数中恒成立与存在性问题知识框架............................................................34

二、函数中恒成立问题34

[-]分离参数法...............................................................................34

[-]函数性质法...............................................................................35

【三】数形结合法...............................................................................36

三、函数中存在性问题.............................................................................37

四、函数中恒成立与存在性的综合问题...............................................................39

专题06函数不等式的证明................................................................................42

一、函数不等式的证明知识框架.....................................................................42

二、构造辅助函数证函数不等式.....................................................................42

三、函数不等式的变形原理.........................................................................43

[-]累函数与Inx的积商形式..................................................................44

[-]嘉函数、/与Inx的混合形式..............................................................44

四、函数不等式的单零点一隐零点问题................................................................46

五、函数不等式的双零点问题........................................................................48

[-]双零点是二次函数的零点...................................................................48

【二】极值点偏移问题...........................................................................49

专题07三角恒等变换....................................................................................54

一、三角恒等变换问题知识框架....................................................................54

二、三角恒等变换方法技巧..........................................................................54

【一】公式顺用、逆用及其变形用.................................................................54

【二】拆凑角问题...............................................................................56

【三】常值代换.................................................................................57

【四】辅助角公式...............................................................................57

专题08三角函数的图像和性质............................................................................62

一、三角函数一的图像和性质知识框架................................................................62

二、根据解析式研究三角函数性质....................................................................62

【一】化为同角同函型...........................................................................62

【二】化为二次函数型...........................................................................63

三、根据图像和性质确定解析式....................................................................63

【一】图像型...................................................................................63

【二】性质型...................................................................................65

四、图像变换问题..................................................................................67

五、三角函数值域（最值）..........................................................................68

六、平面向量为载体的三角函数综合问题..............................................................69

专题09解三角形........................................................................................74

一、解三角形问题知识框架..........................................................................74

二、解三角形题型分析..............................................................................74

（一）三角形中的求值问题......................................................................74

（二）三角形中的最值或范围问题.................................................................77

（三）解三角形的实际应用.......................................................................78

专题10平面向量........................................................................................83

一、平面向量知识框架..............................................................................83

二、平面向量的线性运算及其坐标表示................................................................83

【一】向量的概念...............................................................................83

【二】平面向量的线性表示.......................................................................84

【三】向量共线的应用...........................................................................85

【四】平面向量基本定理及应用...................................................................86

【五】平面向量的坐标运算.......................................................................87

【六】向量共线（平行）的坐标表示...............................................................88

三、平面向量的数量积..............................................................................90

【一】平面向量数量积的概念.....................................................................90

【二】平面向量数量积的性质.....................................................................91

【三】平面向量的综合应用.......................................................................92

专题11数列求通项问题..................................................................................95

一、数列求通项常用方法知识框架......................................................................95

二、数列求通项方法..................................................................................95

【一】归纳法求通项.............................................................................95

【二】公式法求通项.............................................................................96

【三】累加法求通项.............................................................................96

【五】Sn法（项与和互化求通项）.................................................................98

【六】构造法求通项.............................................................................99

【七】其他求通项方法..........................................................................100

【八】特征根和不动点法求通项（自我提升）.....................................................101

专题12数列求和问题..................................................................................107

一、数列求和的常用方法知识框架...................................................................107

2

二、数列求和方法.................................................................................107

[-）公式求和法..............................................................................107

[-]分组求和法..............................................................................108

【三】奇偶并项求和法..........................................................................109

【四】倒序相加法求和..........................................................................110

【五】错位相减求和............................................................................111

【六】裂项求和................................................................................112

【七】其他方法................................................................................114

专题13不等式的解法与基本不等式.......................................................................119

一、不等式的解法与基本不等式知识框架.............................................................119

二、不等式的解法.................................................................................119

【一】一元二次不等式的解法....................................................................119

[-]分式不等式的解法........................................................................120

三、基本不等式...................................................................................121

【一】配凑型..................................................................................122

【二】条件型..................................................................................122

【三】换元型..................................................................................123

[:四】实际应用................................................................................123

专题14不等式的性质与线性规划.........................................................................127

一、不等式的性质与线性规划知识框架...............................................................127

二、不等式的性质.................................................................................127

【一】不等式的性质............................................................................127

【二】比较数（式）大小........................................................................128

三、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.....................................................129

【一】二元一次不等式组表示的平面区域..........................................................129

【二】求解目标函数的取值范围（最值）..........................................................130

【三】求解目标函数中参数的取值范围............................................................131

【四】简单线性规划问题的实际运用..............................................................132

3

专题01函数的图像

一、函数的图像知识框架

函数图像

据图识别解析式

图像的应用

二、函数的图像备用知识扫描

关于函数图像常用结论

1.函数图象自身的轴对称

(1加-X)=/(x)=函数y=y(x)的图象关于y轴对称；

⑵函数y=/(x)的图象关于x=a对称=/(a+x)=/m—x)o/(x)=/(2°—x)=/(—x)=/(2a+x)；

(3)若函数y=/(x)的定义域为R,且有/(a+x)=/(b—x),则函数y=/(x)的图象关于直线苫=审对称.

2.函数图象自身的中心对称

(1)/(—%)=—j(x)=函数'=/a)的图象关于原点对称；

⑵函数y=/(x)的图象关于(°,0)对称=/(a+x)=-Aa-x)=/(x)=-_/(2a-x)=A—x)=->(2a+x)：

(3)函数夕=/(x)的图象关于点(a,6)成中心对称=/(a+x)=26-/(a—x)o/(x)=2b—/(2a—x).

.两个函数图象之间的对称关系

(1)函数》=/(4+工)与y=/(b—冗)的图象关于直线x=一—对称(由a+x=6—x得对称轴方程);

(2)函数y=/(x)与y=/(2a—x)的图象关于直线x=a对称；

(3)函数y=/(x)与y=2b-/(-x)的图象关于点(0,6)对称;

4

(4)函数y=/(x)与y=2b—/(2“一x)的图象关于点3，b)对称

⑴平移变换

①尸危)的图象：*：.夕鬣/盘fx-a)的图象;

②y=/G)的图象x3］就=/仁)+人的图象.

“左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数，无关，上加下减指的是在A)整体上加减.

(2)对称变换|

①y=/(x)的图象关于x轴对彩=—加)的图象;

②了=於)的图象关于」轴对中y=/(—x)的图象;

③y=/(x)的图象关「原点时”，=—/(—x)的图象;

④j，=T3>0且存1)的图象关「直线对瓶尸log“x(a>0且存1)的图象.

(3)伸缩变换

①y=/(x)的图象o鹏蹴熹变片加x)的图象.

a

a>\,纵坐标伸长为原来的。倍，横坐标不变_"、.囱缶

②y=/(x)的图象横坐标不变一切的图象.

0<”1,纵坐标缩短为原来的a倍,y(X)

(4)翻折变换

①尸危)的图象,战鬻鹦蕊方尸监)|的图象:

g、明囱缶y轴右侧部分翻折到左侧_"一、的囱电

②尸危)的图象原y轴左侧部分去掉，右侧不变尸/(⑼的图象•

三、函数的图像题型分析

函数图象的作法：

(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛

物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象.

(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象

变换作出，但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺

序对变换单位及解析式的影响.

1.例题

5

【例1】作出下列函数的图象.

(2)y=|log2(x+l)|；

2x-l

(3»=(4)y=/_2|x|-l.

X—1

【例2】为了得到函数y=log2/^l的图象，可将函数y=logM图象上所有点的（）

A.纵坐标缩短为原来的L横坐标不变，再向右平移1个单位

2

B.纵坐标缩短为原来的L横坐标不变，再向左平移1个单位

2

C.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位

D.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位

【例3】设函数关于该函数图象的命题如下：

①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；

②任意两点的连线都不平行于y轴：

③关于直线y=x对称；

④关于原点中心对称.

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

2.巩固提升综合练习

【练习1］分别画出下列函数的图象:

(l)v=|lg(x-l)|；

(2»=2-1；

(3)y—x2—\x\—2；

/八2x-l

(4)尸--

X—1

6

[-]函数图象的识别

识别函数图象的两种方法：

（1）直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象.

（2）间接法筛选错误与正确的选项可从如下几个方面入手：

①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置;

②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势：

③从函数的奇偶性判断图象的对称性；

④从函数的周期性判断图象的循环往复；

⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项.

1.例题

【例1】已知二次函数y=aN+fcr+c（a翔）的图象如图所示，则正比例函数y=S+c）x与反比例函数>=

a-'+c在同一坐标系中的大致图象是（）

X

【例2】函数y=-x4+x2+2的图象大致为（）

2.巩固提升综合练习

【练习1】在同一直角坐标系中，函数丁二4,y=log4（x+!）（〃>0,且存1）的图象可能是（

）

7

【例3】若函数y=/(x)的图象如图所示，则函数夕=一义*+1)的图象大致为(

【三】根据图像识别解析式

通过图象变换识别函数图象要掌握的两点

(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象);

(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换.

1.例题

【例1】如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是()

X2x

C.y=——D.y=(^-2x^e

Inx

【例2】已知图①中的图象是函数y=/(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是()

8

C.y=」（一|X|）D.y=—/（一恸）

2.巩固提升综合练习

【练习1】函数歹=/（x）的图象如图所示，则，（x）的解析式可以为（）

C./（x）=--x2D./U）=--lnx

XX

【练习2】已知函数/（X）的图象如图所示，则/（X）的解析式可能是（）

B./W=—+

2x-l

D./（X）=---4-X3

2x+l

【四】函数图像的应用

9

函数图像的应用：

(1)利用函数图象研究函数性质，一定要注意其对应关系.

(2)利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根,

方程J(x)=O的根就是函数./(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程外)=g(x)的根就是函数y(x)与g(x)图象

交点的横坐标.

(3)利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转

化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.

1.例题

【例1】己知函数｛x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()

A.加0是偶函数，递增区间是(0,+oo)

B./(x)是偶,函数，递减区间是.(一8,1)

C.Xx)是奇函数，递减区间是(一1,1)

D.寅》)是奇函数，递增区间是(一如0)

【例2】函数.危)是周期为4的偶函数，当xC[0,2]时，则不等式欢x)>0在(-1,3)上的解集为

()

A.(1,3)B.(-1,1)

C.(-l,0)U(l,3)D.(-l,0)U(0,l)

fb,a—b>\>

【例3】对任意实数a,b定义运算一设兀0=(/—1)。(4+》)+左，若函数外)

a，a~b<\,

的图象与x轴恰有三个交点，则"的取值范围是()

A.(-2,1)B.[0,1]

C.[-2,0)D.[-2,1)

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知函数人x)=|logsx|,实数相,〃满足且｛加)=加),若於)在[加2,网上的最大值为2,

则4=

m

llgx\fx>0,

【练习2】已知J则函数y=2[/(x)]2—y(x)+l的零点个数是

课后自我检测

1.要得到g(x)=log2(2x)的图象，只需将函数0:)=log/的图象()

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位

10

立土1的图象()

2.函数犬0

A.关于原点对称B.关于直线夕=x对称

C.关于x轴对称D.关于y轴对称

3.已知函数y=/(x)的定义域为｛x|xGR,且x/0},且满足y(x)—/(—x)=0,当x>0时，/(x)=lnx—x+1,

4.设奇函数/(x)在(0,+8)上为增函数，且/(1)=0,则不等式/)-A—x)<0的解集为(

)

X

A.(-l,0)U(l,+oo)B.(-oo,-1)U(O,1)

C.(-oo,-1)U(1,+oo)D.(-l,0)U(0,l)

5.己知函数/(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是()

A./(x)=x\nxB.f(x)=xex

,/、InxD.〃X)=C

c・f(x)=——

XX

6.设函数满足/(x)-/(一次)=0，〃%)=/。一2),则3=/(%)的图象可能()

人"皿'B.x

,田D*

11

9.已知函数次苫)=1°8"'Q°'且关于x的方程兀v)-a=O有两个实根,则实数a的取值范围是________.

12Sx<0,

10.定义在R上的函数次x)=JgR'讨°'关于x的方程Xx)=c(c为常数)恰有三个不同的实数根%,也,

,1,x=0,

Xj>则X1+X2+X3=.

11.已知函数y=Ax)&y=g(x)的图象分别如图所示，方程Hg(x))=0和g(/(x))=0的实根个数分别为a和b,

12.已知函数人X)=X|W-X|(XGR),且/(4)=0.

(1)求实数机的值;

(2)作出函数“V)的图象;

(3)根据图象指出/(x)的单调递减区间；

(4)若方程J(x)=a只有一个实数根，求a的取值范围.

13.已知函数Hx)的图象与函数〃(x)=x+1+2的图象关于点/(0,1)对称.

X

(1)求用)的解析式;

(2)若g(x)=/a)+=且g(x)在区间(0,2］上为减函数，求实数”的取值范围.

X

12

14.已知函数/(x)=2-xeR

(1)当加取何值时方程网x)—2」=机有一个解？两个解？

(2)若不等式伏好?+段)一加＞0在R上恒成立，求m的取值范围.

13

专题02方程的根与函数的零点问题

一、方程的根与函数的零点问题知识框架

二、函数零点存在性判断

1、函数零点存在性判断：(此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数)

若函数y=fi［x)在闭区间［a,b］上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)・f(b)

<0,则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一

个实数解.

2、求函数零点所在区间的方法：

(1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

1.例题

【例1】设7(x)=lnx+x—2,则函.数J(x)的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【例2】函数y=ln(x+l)与的图象交点的横坐标所在区间为()

X

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)

【例3】函数/(%)u1Q+oxZ+bx+c(a^cG/?)的导函数的图象如图所示:

(1)求。力的值并写出f(%)的单调区间;

(2)若函数y=f")有三个零点，求c的取值范围.

14

2.巩固提升综合练习

【练习1】函数外)=3x-7+lnx的零点位于区间(〃，〃+l)(〃£N)内，则〃=.

【练习2】若〃VbVc,则函数/(%)=(%—4)(x—b)+a—b)(x—c)+(x—c)(x—a)的两个零点分别位于区间()

A.(a,b)和(b,c)B.(—8,和(〃，h)C.(h,c)和(c,+°°)D.(—00,〃)和(c,+

°°)

【练习3】已知函数/(X)=COSX+；/-1

(1)证明：/(x)<0,X€-y

(2)判断y=/'(x)的零点个数，并给出证明过程.

三、方程的根与函数零点个数

1、方程的根与函数零点的关系：

函数y=f(x)有零点o方程f(x)=O有实数根=函数y=f(x)的图象与函数y=0(即x轴)有交点.

2,求方程的根与函数零点个数的方法：

(1)解方程法：令f(x)=O,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间［a,b］上是连续不断的曲线，且f(a)•f(b)VO,

还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零

点值所具有的性质.

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，

其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

1.例题

【例1】已知函数y(x)=，''满足＜0)=1,且大0)+"-1)=0,那么函数虱x)=/(x)+x的

一炉+bx+c,xWO

零点个数为.

【例2】函数/(x)=2'|logo5x|—l的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

1

【例3】已知函数f(%)=］无29-3Znr.

15

(1)求/(X)在(1/(1))处的切线方程；

(2)试判断f(x)在区间(l,e)上有没有零点？若有则判断零点的个数.

2.巩固提升综合练习

2一|x|,xW2,

【练习1】已知函数/(x)=,函数g(x)=3—y(2—x),则函数y=/(x)—g(x)的零点个数为()

(x—2)2,x>2,

A.2B.3C.4D.5

【练习2】若定义在R上的偶函数满足於+2)=/(x),且当xG[O,1]时，7(x)=x,则函数y=/(x)—log3|x|

的零点个数是.

【练习3】已知函数/(*)=(?-l)e*+2a>0,aeR).

XX

(1)若/'(X)在(0,+8)上单调递减，求a的取值范