高考第一轮复习数学-解斜三角形

解斜三角形

・知识梳理

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a_b_c

“—-，’—,■，’.

sinAsinBsinC

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.

(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和

角)

2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角

的余弦的积的两倍，即

a2=b2+c2-2bccosA;①

b2=c2+a2-2cacosB;②

c2=a2+b2—2abcosC.③

在余弦定理中，令C=90°,这时cosC=0,所以C2=a2+拉.

由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得

cosA=b2+c2-a2；

2bc

cos5=£l+空一些；

2ca

cosC=a2+h2-c2.

lab

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

(1)已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

特别提示

两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把

三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知

识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三

角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.

・点击双基

1.（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

解析：由2cos8sinA=sinC得竺土竺二Xa=c,.'.a=b.

ac

答案：C

2.下列条件中，△A5C是锐角三角形的是

1，♦

+cosA=_B.AB,BC>0

5

+tanB+tanC>0=3,c=3、G,5=30°

解析：由sinA+cosA=J.

5

得2sinAcosA=—Zi<0,：.A为钝角.

25

由4方>BC>0,得西,BC<0,.,.COS<BA,BC>VO.,3为钝角.

由tanA+tanB+tanOO,得tan（A+8）・（1—tanAtanB）+tanC>0.

tanAtanBtanO0,A、B、。都为锐角.

由）_得sinC=3,.・.C=!L或竺.

sin8sinC233

答案：C

3.（2004年全国IV,理11）ZVIBC中，a、b、c分别为/A、/C的对边，

如果a、b、c成等差数列，ZB=30°,ZVIBC的面积为3,那么b等于

2

A.S+4

2

C.2+E+百

2

解析：••・〃、b、c成等差数列，.•.2A=a+c.平方得。2+°2=4拉一2欧.又△ABC的面积

为2,且NB=30°,故由S-1acsinB=1tzcsin30°=1.ac=-9得〃c=6.「・〃2+C2=4/72

2MBC2242

一12.由余弦定理，得CCW=〃2+C2"2一4〃-12"2一。24_4•解得历=4+2/.又

lac2x642

b为边长,:.b=l+£.

答案：B

4.已知(a+b+c)(b+c—a)=3bc,贝!j/A=.

解析：由已知得(匕+。)2—。2=3历，/.b2+c2~a2=hc./.b2+c2~a'=1.Z/!=--

2hc23

答案：1

3

5.在锐角△ABC中，边长a=l,b=2,则边长c的取值范围是_____.

解析：若。是最大边，贝iJcosOO.」.“2+/户-旧>o,：.c<^.Xc>b-a=\,

2ah

：.1<C<75.

答案：(1,J5)

•典例剖析

【例1】ZVIBC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果④斗(He),

求证：A=2B.

剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.

证明：用正弦定理,a=2AsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入ai=b(b+c)中，得sin2A=sinfi

(sinB+sinC)=>sin2A—sin2B=sinBsinC

=>I-cos2A_1-C°s2'=sinBsin(A+8)

22

nJ.(cos25—cos2A)=sin5sin(A+8)

2

=sin(A+B)sin(A—B)=sinBsin(A+B),

因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin(A+B)#0.所以sin(A-B)=sin8.所

以只能有A-8=6,BPA=2B.

评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式

变换求解.

思考讨论

(0该题若用余弦定理如何解决？

解：利用余弦定理，由a2=b(b+c),得C0sAJ2+c2-a2="2+c2)-°(b+c)=j,

2bc2bc2b

COS2B=2COS2B-1=2(a2+c2~b~)2-1="+c)2c2一1=

2ac2b(b+c)c22b

所以cosA=cos28.因为A、8是△ABC的内角，所以A=28.

(2)该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决？

解：由题设。2=匕(b+C),得，二=2①，

b+ca

作出△ABC,延长C4到。，使AD=4B=c,连结80.①式表示的即是空=生，所

DCBC

以△BCOs/VlBC.所以/1=ZD.

又A8=AO,可知/2=/。，所以/1=/2.

因为/胡。=/2+/。=2/2=2/1,

所以A=2B.

评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查

的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.

【例2】(2004年全国n,17)已知锐角AABC中，sin(A+B)=2,sin(A-B)

5

_1

——.

5

(1)求证：tanA=2tanB;

(2)设AB=3,求A8边上的高.

剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以0)为铺垫，

解决(2).

(1)证明：Vsin(A+8)=2,sin(A-B)=1,

55

.3

sinAcosB+cosAsin8=一

/..5

sinAcosB-cosAsinB=-

5

si.nAAcosnn="2

5tanAc

=><=>=2.

，.八1tanB

cosAsinB=-

5

.*.tarL4=2tanS.

(2)解：WV4+8V兀,/.sin(A+B)=2.

25

/.tan(A+B)=—2,

4

即JanA+tanB=-2.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan23-4tan8-1=0,解得

1-tanAtanB4

tanR=2±K(负值舍去).得tanB=2+>..-.tanA=2tanB=2+^.

22

设AB边上的高为8,贝ljAB=AD+DB=2+旦=由AB=3得CD=2+R,

tanAtanB2+76

所以A8边上的高为2+«.

评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.

【例3】（2004年春季北京）在△ABC中，。、仄c分别是/A、/8、NC的对

边长，已知。、b、c成等比数列，且。2—。2="—儿，求/A的大小及竺哒的值.

C

剖析：因给出的是。、b、c之间的等量关系，要求/A,需找/A与三边的关系，

故可用余弦定理.由岳="可变形为丝=a,再用正弦定理可求bsinB的值.

CC

解法一：••・。、b、C成等比数列，••.b2=ac.

又az-ci=ac—be,：.b^+Ci~^=bc.

在△ABC中，由余弦定理得

cosA=Q_L竺二竺=g=1,•••NA=60°.

2bc2hc2

在△ABC中，由正弦定理得sin5="i上i,

,・b2=ac,ZA=60°,

^ing_fe2sin60°=gin6no=&.

cac2

解法二：在△ABC中，

由面积公式得！■》c'sin4=1acsinB.

22

bi=ac,ZA=60°,hcsinA=h^sinB.

•••丝gsinA=3.

c2

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系

常用正弦定理.

・闯关训练

夯实基础

1.(2004年浙江，8)在△ABC中，“4>30°”是—>"!•"的

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：在△A8C中，A>30°nOVsinAVlsinA>j.;sinA>j.=>30°<A<150°

22

=>4>30°.

答案：B

2.如图，4ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太

阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面A3。面积最大，遮阳棚A8C与地面所成的

角为

OOOO

解析：作CE1平面ABD于E,则NC0E是太阳光线与地面所成的角，即/

CDE=40°,延长。E交直线AB于力连结CF,则NCFO是遮阳棚与地面所成的角，

设为a.要使S最大，只需最大.在△CFD中，U=一些一.

wsin40°sin(140°-a)

♦DF=CF-sin（140°-a）

sin40°

.「CF为定值，.•.当a=50°时,DF最大.

答案：C

3.在八ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积5=1（①+枕

4

-C2）,则NC的度数是_______.

解析：由S=1（Z+拉―C2）得J.a》sinC=4,2a&cosC..,.tanC=l./.C=^,

4244

答案：45°

4.在△ABC中，若/C=60°,则，-.

b+ca+c

解析：ab_a^+ac++be

b+ca+c（b+c）（a+c）

=〃2+b2+ac+bc（*）

ab+ac+be+c2

zC=60°,/.a2+b2—C2=2abcosC=ab.

■'-a2+b2=ab+c2.

代入（*）式得止+.+ac+bc=i

ab+ac+bc+c2

答案：1

5.在AABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是

=20,A=45°,C=80°=30,c=28,5=60°

=14,b=l6,A=45°=12,c=15,A=120°

解析：由a=14,b=l6,A=45°及正弦定理，得列叱=包工，所以sin氏迤.因而

16147

B有两值.

答案：C

培养能力

6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a/、c,依次成等比数列,求产上sin2%

sinB+cosB

的取值范围.

解：•.72=ac,.・.cosi+c2山="2+c2y=」(a+£)一

laclac2ca22

・・・0V84巴，

3

.l+sin2B=(sin8+cosB)'=sin5+cos8Sin(B+三)/二三〈8+三《卫，

sinB+cosBsinB+cosB44412

.•.也Vsin(6+巴)<1.故1〈户户.

24

7.已知aABC中，2行(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,外接圆半径为行.

(1)求NC；

(2)求△ABC面积的最大值.

解：(1)由2"(sin2A-sin2C)=①一/"•sinB得2板(史_一£_)=(a-b)

4R24K2

h

2R,

又

•'­ai-C2=ab-h2..\。2+〃2-C2=ab.

...cosC=史_心1二竺=J..

lab2

又・・・0。<C<180°,/.C=60°.

(2)5=1absinC=-x—ab

222

=273sinAsinB=2V3sinAsin(120°—A)

=2JisinA(sinl20°cosA—cosl20°sinA)

=3sinAcosA+asin2A

LL

=-sin2A——sin2Acos2A+—

222

=4sin(2/1-30°)+叵.

2

.•.当2A=120。，即A=60。时，S=迈

max2"

8.在aABC中，8C=a,顶点A在平行于8c且与BC相距为a的直线上滑动，求丝

AC

的取值范围.

解：令AB=Zx,AC=x(k>0,x>Q),贝lj总有sinB=巴，sinC=3(图略)，且由正

kxx

弦定理得sinB=£iM,所以a2=kx2-sinBsinC=tesiM,由余弦定理，可得

as

cosix2+x2-"2sin“=」(^1-sinA),所以狂_L=siM+2cosAW血==石.所以

2kx22kk

k2-、k+l&0,所以或二1<攵<垦1.

22

所以空的取值范围为[正二1,垦1].

AC22

探究创新

9.某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向。8,现要

修建一条铁路L,L在。4上设一站A,在。8上设一站8,铁路在AB部分为直线段，

现要求市中心。与A8的距离为10km,问把A、8分别设在公路上离中心。多远处才

能使L48最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)

解：在aAOB中，设OA=a,OB=b.

因为A。为正西方向，。8为东北方向，所以/4。8=135°.

贝ljL4Bl2=a2+/?2—2"cosl35°=a2+b2+J2ab>2ab+J2ab=(2+行)ab,当且仅当a=b

时，“=”成立.又。到AB的距离为10,设/。AB=a,则/。A4=45°-a.所以”=旦，

sina

b=_12_,

sin(45°-a)

丘工­—12—

sinasin(45°-a)

100

sinasin(45°-a)

=__________100__________

sina(旦cosa-旦

sina)

22

=__________100__________

五.c收/,c、

—sin2ct—(1—cos2ct)

44

_400>400,

2sin(2a+45。)2-拒

当且仅当a=22°30'时，"=”成立.

所以从况>"g叵=40。（及+i）2,

2-、5

当且仅当a%,a=22°30,时，“=”成立.

所以当a=b=_匚=10g（2+6时,於川最短，其最短距离为20（行+1）,即

sin22030,

当AB分别在。4、OB上离。点10/2（2+再km处，能使IA8最短，最短距离为20（户

—1）.

・思悟小结

+A+g71

1.在aABC中，-：A+B+C=TI,/.sin=COS£>cos=sin£>tan+=cot£.

222222

2./A、LB、NC成等差数列的充分必要条件是/8=60°.

3.在非直角三角形中，tarL4+tanB+tanC=tarL4•tanB-tanC.

4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.

并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.

5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向

量的模求三角形的边长.

6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互

补.

・教师下载中心

教学点睛

1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解

三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决

实际问题的能力.

2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训

练.

拓展题例

【例1】已知A、B、C是△A5C的三个内角，y=cotA+2sin4.

cosA+cos(B-C)

(1)若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.(2)求)，的最

小直

解：⑴•.•y=cot4+「2sin卜一(8+C)]

cost-(B