第二十四讲随机变量分布列原卷版

第二十四讲：随机变量分布列

【考点梳理】

1.古典概率

列举法列表法画树状图法

2.条件概率

已知A发生，在此条件下8发生，相当于他发生，要求P(B|A),相当于把A看作新的

“(AB)

基本事件空间计算4?发生的概率，即P(B|A)=式黑=上黑=£绊.

n(A)n(A)尸(A)

加

3.相互独立事件

设A,3为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则称事件4与事件3相互独立.

4.随机变量分布列

(1)分布列：若离散型随机变量X可能取的不同值为不，占，，匕，，匕，X取每一个

值x,.(1=1,2,,〃)的概率尸(X=x,)=p，，以表格的形式表示如下：

XX2XiXn

PPTPlPiPn

我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单

起见，也用等式尸(X=x,)=p；,i=l,2,，〃表示X的分布列.

(2)期望或者均值

若离散型随机变量X的分布列为

xX

X\x2Xin

pPlPiPiPn

称"x)=玉门+x2P2+…+ZP,,为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型

随机变量取值的平均水平.

(3)方差

“(X)-石®-E(X))P，为随机变量X的方差，并称其算术平方根向©为随机变

量X的标准差.

5.两点分布、二项分布、超几何分布及正态分布

(1)两点分布的均值与方差：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则

E{X)=lxp+Ox(l-〃)=p,D(X)=p(l-p).

(2)二项分布的期望、方差

若X〜B(n,p),则E(X)=〃p,D(X)=npQ-p).

(3)超几何分布

(4)正态分布

正态分布完全由参数〃，。确定，因此正态分布常记作N(〃，〃).如果随机变量X服从

正态分布，则记为XN（〃，cr2）.

【典型题型讲解】

考点一：古典概率

【典例例题】

例1.（2021・广东汕头•高三期末）某市场一摊位的卖菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只

用现金支付的概率为0.2,选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1,且买菜后无赊

账行为，则选择只用非现金支付的概率为（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

例2.（2022•广东揭阳•高三期末）袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从

袋中不放回地依次抽取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是

（）

A.-B.-C.；D.—

45210

【方法技巧与总结】

（1）分别求出基本事件的个数〃与所求事件A中所包含的基本事件个数m;

八4八A包含的基本事件的个数十山击出“砧皿说

（2）利用公式一=基本事件的总数求出事件A的概率•

【变式训练】

1.（2022•广东•一模）从集合。={1,2,3}的非空子集中随机选择两个不同的集合4B,则

AcB={l}的概率为（）

.4_5八1_5

A.-—B.—C.-D.—

2142756

2.（2022•广东汕头一模）有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，冬奥会志

愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，

则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（）

“9八2-4

A.—B._C.—D.一

164279

3.（2022•广东广州•一模）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，

每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于-2的位置”的概率

为.

-6-5-4-3-2-10123456x

4.（2022•广东•铁一中学高三期末）马林•梅森（MarinMersenne,1588-1648）是17世纪法

国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧凡里得、费马

等人研究的基础上对2。-1作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡

献，将形如2〃-1（其中。是素数）的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两

个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（）

“5-1门9-1

A.—B.-C.—D.—

1162222

5.（2022•广东东莞•高三期末）甲乙两人在数独APP上进行“对战赛”，每局两人同时解一

道题，先解出题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢3局者

获胜，则甲获胜且比赛恰进行了4局的概率是（）

A.—B.|C.—D,—

1081616

6（2022•广东汕头•高三期末）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子

书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考

价值.某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4、B两位同学参赛，比赛时每位同

学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则八、B两位同学抽到同一本书的概率

为.

7.（2022•广东珠海•高三期末）接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法.我国自2021年

1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗.截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗

（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任

选其中一种.若5人去接种新冠疫苗，恰有3人接种同一种疫苗的概率为.

开展的知识竞赛活动中，共有A&C三道题，答对A&C分别得2分、2分、4分，答错不得

分.已知甲同学答对问题A&C的概率分别为1422乙同学答对问题A&C的概率均为-3,

甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.

（1）求甲同学至少有一道题不能答对的概率；

（2）运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强

考点二：条件概率

【典例例题】

例1.甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、农夫山泉、雪碧这3种饮品中随

机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件A="甲选择农夫山泉”，事件3="甲和乙选

择的饮品不同”，则P（B|A）=（）

【方法技巧与总结】

用定义法求条件概率”即0的步骤

（1）分析题意，弄清概率模型；

（2）计算/A）,RAIB）；

「⑻A）=%A出）

（3）代入公式求「（4）.

【变式训练】

1.现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每

人只去一处景点，设事件A为“4个人去的景点各不相同”，事件8为“只有甲去了中山陵”，

贝ijP（川B）=.

2.（2022•广东深圳•一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随

机选择一个家庭，则下列说法正确的是（）

A.事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是

互斥事件

B.事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件

C.该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为:

O

、4

D.当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为了

3.端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒.现有9个粽子，其中2个为蜜枣

馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，

事件B为“取到的两个均为豆沙馅”，则P（8|A）=（）

4.2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社

会的关注.为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了

减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一

起检验，若检验结果为阴性,这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；

如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检

验.假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为P=QOO3,每个人的检

验结果是阳性还是阴性是相互独立的.

（1）若该社区约有2000人，有两种分组方式可以选择：方案一是：10人一组；方案二：8

人一组.请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由；

(2)我们知道核酸检测呈阳性，必须由专家二次确认，因为有假阳性的可能；已知该社区人

员中被感染的概率为0.29%,且已知被感染的人员核酸检测呈阳性的概率为99.9%,若检

测中有一人核酸检测呈阳性，求其被感染的概率.(参考数据：

(0.9978=0.976,0.99710=0.970,)

考点三：随机变量分布列

【典例例题】

例1.(2022•广东深圳•高三期末)已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20,15,

10.现采用分层抽样的方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查.

(1)应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？

(2)若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进一步

的访谈调研，若随机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列与数学

期望.

例2.（2022•广东中山•高三期末）某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员

将独立地进行项日中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为=、

4

2

5、21

（1）对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率；

（2）该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员I万元并进行实验乙，

否则技术人员不获得奖励且该项目终止；实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员3

万元奖励并进行实验丙，否则技术人员不追加奖励且该项目终止；实验丙做三次，若至少两

次成功，则项目研发成功，再追加技术员4万元奖励，否则不追加奖励且该项目终止.每次

实验相互独立，用X（单位：万元）表示技术人员所获得奖励的数值，写出X的分布列及

数学期望.

例3.（2022•广东珠海•高三期末）为建设粤港澳大湾区教育高地，办人民满意的教育，深

入推进基础教育课堂教学改革，某高中为了提升教育质量，探索了一种课堂教学改进项目.某

研究机构为了解实施新项目后的教学效果，通过随机抽样调查了该校某年级100位学生，

对这些学生的课堂测试成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.

（1）若这些学生课堂测试成绩的分数X近似地服从正态分布N（〃,100）,其中〃近似为样本平

均数最（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），求P（64<XM94）；

（2）为做进一步了解，研究机构采用分层抽样的方法从课堂测试成绩位于分组[50,60）,

[60,70）,[80,90）的学生中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到分数位于[80,90）

的人数4的分布列和数学期望.

附参考数据：若X~N(〃,〃)，则P(〃一b<X4〃+b)=0.6827；

P(〃—2CT<XM〃+2<T)=0.9545；P(//-3cr<X<//+3cr)=0.9973.

【方法技巧与总结】

求解离散型随机变量分布列的步骤：

(1)审题(2)计算随机变量取每一个值的概率

(3)列表：列出分布列，并检验概率之和是否为I.

(4)求解：根据均值、方差公式求解其值.

【变式训练】

1.某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当

晚的收看情况进行了随机抽样调查.统计发现，通过手机收看的约占通过电视收看的约

占g，其他为未收看者：

(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；

(2)从被调查对象中随机选取3人，用X表示通过电视收看的人数，求X的分布列和期望.

2.(2022•广东惠州•一模)惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题

竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知

这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为5.

甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的.

(1)求甲小组至少答对2个问题的概率；

(2)若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？

3.(2022•广东湛江•一模)中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在

接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展

为重症病人的几率.对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和

病毒转阴都有明显效果;2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极

救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A,B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙

139

种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为B组3人康复的概率分别为历，

33

4'41

(1)设事件C表示人组中恰好有1人康复，事件。表示B组中恰好有1人康复，求尸(8)；

(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲、

乙两种中药哪种药性更好？

4.(2022•广东汕尾•高三期末)书籍是精神世界的人口，阅读让精神世界闪光，阅读已成为

中学生的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地中学生的阅

读情况，通过随机抽样调查了"名中学生，对这些人每周的平均阅读时间(单位：小时)进

行统计，并将样本数据分成[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,

14),[14,16),[16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知这。名中学生中

每周平均间读时间不低于16小时的人数是2人.

(2)为进一步了解这n名中生数字媒体读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从周平均时

间在[8,10),[10,12),[12,14)三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现

从这6人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在[10,12)内的中学生人数为X,求X的分

布列和数学期望.

5.今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回

暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，

可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此

之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够

达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消

费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随

机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，

其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：

(1)求摸出2个红球的概率；

(2)设获得优惠券金额为X,求X的方差.

6.(2022•广东广东•一模)某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分

120分.现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78,81,84,86,86,87,

92,93,96,97.

(1)已知10名学生的平均成绩为88,计算其中位数和方差；

(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布NJ。?)，某校实验班学生30人.

匚依据(1)的结果，试估计该班学业水平测试成绩在(94,100)的学生人数(结果四舍五入

取整数)：

口为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在(94,100)的学生参加预选赛，若每

个学生通过预选赛的概率为:，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数

学期望.(正态分布参考数据：P(〃-b<X<〃+b)=0.6828,

P(〃一2cr<X<〃+2CT)=0.9544)

7.为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.

某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取

50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超

标”企业:

硫排

[5.5,[8.5,[115,[175,

放量[2.55.5)[14.5.175)[20.523.5)

8.5)115)14.5)20.5)

X

频数56912864

(1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布其中〃近似为样本平

均值元，/近似为样本方差52,经计算得了a12.8,SB5.2.试估计这320家企业中“超标”

企业的家数；

(2)通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这

8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y

为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求V的分布列与数学期望.

(参考数据:若X~X则P(〃-bWXW〃+(T)=0.6827,

P(〃-2bWX«M+2cr)=0.9545,P(〃-3(rWX+)=0.9973.)

8.某共享单车集团为了进行项目优化，对某市月卡用户随机抽取了200人，统计了他们在同

一月的使用次数(假设每月使用次数均在8至36之间).将样本数据分成[8,12),[12,16),

[16,20),[20,24),[24,28),[28,32),[32,36]七组，绘制成如图所示的频率分布直方图,

并用样本的频率分布估计总体的频率分布.

(1)求图中的a的值；

(2)设该市月卡用户每月使用次数近似服从正态分布，其中〃近似为样本的平均数

(各区间数据用中点值近似计算)，取b=3.16,若该城市恰有1万个用户，试估计这些用

户中，月使用次数X位于区间［12.36,25］内的人数：

(3)现从该市月卡用户中随机抽取10人，其中月使用次数在［24,28)的有y人,记“事件Y=k”

的概率为P(y=Z),其中4=0,1,2,10,当2卜=心最大时，求k的值.

参考数据：若随机变量：服从正态分布则P(〃-b4,4〃+b”0.6827,

P(//-2cr<^<〃+2cr”0.9545,P(/z-3<T<<<//+3<T)®0.9973.

【巩固练习】

一、单选题

1.从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生

参加的概率为().

“2

A.-B.-C.—D.y

55102

2.20名学生，任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内

的概率是()

A5p5“2ny—18

plOD,「10plO「10

5。y。joJo

3.为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了

传统体育、美育、书法三门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，

每门课程至少有一位同学选修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为（）

5「Ic7-7

AA.—B.-C.—D.—

3663618

4.在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布（100,关卜若x在（85,115）内的概率是0.5,

则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（

27939

A.—B.—C.-D.—

6464416

5.新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道

备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道

题的应聘者才可通过面试.已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不

能完成，则小王正确完成面试题数的均值为（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

6.盒中装有大小相同的5个小球（编号为1至5）,其中黑球3个，白球2个.每次取一球

（取后放回），则（）

A.每次取到1号球的概率为，

B.每次取到黑球的概率为，

C.“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件

D.“每次取到3号球”与“每次取到4号球”是对立事件

7.一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）

A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是|

B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为太

C.从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红

球的概率为：

D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为称

三、填空题

8.某校为落实“双减政策.在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、

乙、丙三名同学拟参加篮球、足球、乒乓球三项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只

能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为.

9.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，〃表示取到黑

球的个数.给出下列各项：

2

E（X）咚E（7）=|；□E（X）=E（7）；E（rf）=E（X）；D（X）=D（7）=^.

其中正确的是.（填上所有正确项的序号）

四、解答题

10.某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”

当晚的收看情况进行了随机抽样调查.统计发现，通过手机收看的约占通过电视收看的

约占g，其他为未收看者：

（1）从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；

（2）从被调查对象中随机选取3人，用X表示通过电视收看的人数，求X的分布列和期望.

11.有3名志愿者在2022年10月1号至10月5号期间参加核酸检测工作.

（1）若每名志愿者在这5天中任选一天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，求3

名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作的概率；

（2）若每名志愿者在这5天中任选两天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，记4

表示这3名志愿者在10月1号参加核酸检测工作的人数，求随机变量4的分布列及数学期

望£（/.

12.某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、