第二十六讲圆锥曲线原卷版

第二十六讲：椭圆、双曲线、抛物线

【考点梳理】

1、求曲线的轨迹方程

直接法、定义法、相关点法

2、椭圆方程

椭圆相关计算

(1)椭圆标准方程中的三个量仇C的几何意义2

=b+C2

(2)通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长匕焦点弦：椭圆过焦点的弦。

a

最短的焦点弦为通经2b丝2，最长为2a。

a

(3)最大角：P是椭圆上一点，当P是椭圆的短轴端点时，/6尸鸟为最大角。

(4)椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

焦点三角形的面积SAgF2=〃tan,,其中6=N耳「工(注意公式的推导)

3、双曲线

(1)双曲线的通径

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通

径.通径长为变.

a

(2)点与双曲线的位置关系

对于双曲线与-1=1(4＞人＞0),点尸(%，％)在双曲线内部，等价于茎

arba"b

点p(与，％)在双曲线外部，等价于工一再＜1结合线性规划的知识点来分析.

矿b

(3)双曲线常考性质

性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数/7；顶点到两条渐近线的距离为常数

也.

C

性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数哗；

C-

(4)双曲线焦点三角形面积为J(可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越

tan-C7

2

小，面积越大)

(5)双曲线的切线

r22

点在双曲线=-二v=13>0/>0)上，过点用作双曲线的切线方程为

crb"

22

警-缚=1.若点"(%,%)在双曲线，-4=1(4>02>0)外，则点〃对应切点弦方程

crb-ab

为其-绰=1

ab~

4、抛物线

(1)、焦半径

抛物线上的点P5,%)与焦点F的距离称为焦半径，若y2=2px(p>0),则焦半径

\PF\=xo+j,\PF\nm=^.

(2)、焦点弦

若4?为抛物线V=2px(p>0)的焦点弦，4(%,%),8(%,%)，则有以下结论：

2

⑴为々=勺.(2)y,y2=-p.

(3)焦点弦长公式1:|AB|=x,+x2+p,xt+x2>2>/xjXj=p,当芭=当时，焦点弦取

最小值2p,即所有焦点弦中通径最短，其长度为2P.

焦点弦长公式2：\AB\=-^-(c为直线AB与对称轴的夹角).

sin-a

2

(4)A4O3的面积公式：SM°B=—匚(&为直线钻与对称轴的夹角).

2sina

(3)、抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径.

对于抛物线丁=2px(p>0),由Ag，p),%，-p),可得|A8|=2p,故抛物线的

通径长为2P.

(4)、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：%="

k

(5)、焦点弦的常考性质

已知&方,%)、8(孙必)是过抛物线V=2px(p>0)焦点厂的弦，又是反的中点，/是

抛物线的准线，MNL,N为垂足.

(1)以"为直径的圆必与准线/相切，以4尸(或3尸)为直径的圆与y轴相切；

(2)FNLAB,FC1FD

；2

(3)西工2=§yty2=-p

(4)设。为垂足，则A、O、。三点在一条直线上

【典型题型讲解】

考点一：椭圆

【典例例题】

例1.(2022•广东清远•高三期末)若椭圆C：£+£=l的焦距为6,则实数，〃=()

4tn

A.13B.40C.5D.2x/13

例2.(2022•广东珠海•高三期末)已知椭圆C：5+〉l(a>b>0)的长轴长为4,左顶点A

到上顶点B的距离为右，F为右焦点.

⑴求椭圆C的方程和离心率；

(2)设直线/与椭圆C交于不同的两点M,N(不同于A,B两点)，且直线8W_LBN时，求F

在/上的射影H的轨迹方程.

【方法技巧与总结】

22

标准方程/+方=13>匕>°)*十1(”〃>0)

T,

图形L

1弋】。

■±____

焦点耳(一0,0),F2(C,0)6(0,—c),巴(0,c)

焦距2222

\FtF2\=2c(c=y]a-h)\FlF2\=2c(c=y/a-h)

范围\x\<a,\y\<b\x\<b,\y\<a

关于轴、轴和原点对称

性质对称性xy

顶点(±a,0),(0,±b)(0,±a),(±b,0)

轴长轴长=2"，短轴长=26

离心率e=£（0<e<l）（注：离心率越小越圆，越大越扁）

a

【变式训练】

小\,2

1.（2022•广东佛山♦高三期末）（多选）已知椭圆C:j+人=1（。>人>0）的左、右焦点分别为

a"b~

0鸟，上顶点为且耳丹=/，点在上，线段与叫交于

B,tan/BPCQ,BQ=2QF2,

则（）

A.椭圆C的离心率为!B.椭圆C上存在点K,使得

4

C.直线PE的斜率为半D.平分

广东•金山中学高三期末）已知椭圆丫右2•+v2方=与圆4b2

2.（2022G：l（^l>b>0）C2：x2+y2=?,

若在椭圆上不存在点使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心

Gp,pc2G

率的取值范围是.

3.（2022•广东汕尾♦高三期末）己知乙分别是椭圆C：二+亡=1的左、右两个焦点，若

6m

椭圆C上存在四个不同的点P,使得△P6E，的面积为石，则正实数m的取值范围为.

22

4.（2022•广东肇庆•二模）己知点”，鸟分别是椭圆C*+方=l（a>6>0）的左、右焦点，

点A是椭圆上一点，点。为坐标原点，若|。4卜|0胃，直线鸟4的斜率为-3,则椭圆C的

离心率为（）

A.工B.@C.1D.叵

8434

5.（2022•广东汕头•二模）己知椭圆C的左、右焦点分别为F2,直线A8过6与该椭圆

交于48两点，当F/B为正三角形时，该椭圆的离心率为（）

A.BB.2C.丝D.立

4332

22

6.（2022•广东中山•高三期末）已知椭圆。：3+方=1（”>6>0）的右焦点为尸漓心率为，

直线/：y=x被椭圆截得的弦长为亚

7

⑴求椭圆C的标准方程

（2）若P是桶圆C上一点，。是坐标原点，过点F与直线/平行的直线与椭圆C的两个交点为

A8,且OP=WA+/.（OB，求"的最大值

22

7.（2022•广东•金山中学高三期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：]+马=1（。>〃>0）

ab~

UUUUU

的左，右顶点分别为A、B,点F是椭圆的右焦点，AF=3FB，AFFB=3.

⑴求椭圆C的方程；

⑵不过点A的直线/交椭圆C于M、N两点，记直线/、AM,AN的斜率分别为k、占、片.若

k&+Q=l,证明直线/过定点，并求出定点的坐标.

为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x-0)，+6=0相切.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)已知点A,B为动直线片k(x-2)(kH0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E,

使得E*+EAYB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

9.(2022•广东东莞•高三期末)已知点A为椭圆C：A+£=l(a>6>0)的左顶点，点尸(L0)

为右焦点，直线/:x=4与*轴的交点为N,且|AF|=|FN|,点M为椭圆上异于点A的任意

一点，直线AM交/于点P.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵证明：ZMFN=24PFN.

10.（2022•广东深圳•高三期末）在平面直角坐标系xQy中，点A（o,l）在椭圆

丫22

C:—4-^—=l（6f>/?>0）±,过点5（2,-1）的直线/与c交于M,N两点（异于点A）,记直

ab

线AM,AN的斜率分别为尢，k2,当人=1时，|AM|=孚.

⑴求C的方程；

⑵证明：为定值.

11.（2021・广东汕头•高三期末）已知椭圆E:£+/=l（a>6>0）的离心率为日，又点

［乎，：）在椭圆E上.

⑴求椭圆E的标准方程；

（2）若动直线/与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（L°）作直线/的垂线，垂足为°,试探

究：是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.

12.（2022•广东潮州•二模）设椭圆cJ+£=l（a>%>0）/，E为左右焦点,8为短轴端点，长轴

长为4,焦距为2c,且6>c,48月用的面积为6.

（助求椭圆C的方程

（即设动直线/：y=丘+，〃椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线X=4相交于点N.试探究:

在坐标平面内是否存在定点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在求出点P的坐标，若

不存在.请说明理由.

考点二：双曲线

【典例例题】

22

例1.（2022•广东珠海•高三期末）双曲线C:1-5=1的右支上一点M关于原点。的对称

a"b~

点为点N,F为双曲线的右焦点，若尸，则双曲线C的离心率6为（）

A.y/2B.&C.72+1D.V3+1

例2.（2022•广东佛山•高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为y=土*x,且过点P（3,0）.

⑴求C的方程；

⑵设Q（l,0）,直线x=r（reR）不经过P点且与C相交于A,8两点，若直线8Q与C交于另

一点D,求证：直线AO过定点.

【方法技巧与总结】

1.双曲线的定义：焦点三角形

2.双曲线的性质：离心率、双曲线的渐近线

【变式训练】

1.（2022•广东潮州•高三期末）石、号分别为双曲线C:x2-5=1的左、右焦点，过£的直

线/与C的左、右两支曲线分别交于A、8两点，若！工F/,则鸟儿68=（）

A.4-26B.4+GC.6-2后D.6+2逐

2.（2022•广东汕尾•高三期末）已知双曲线，■-看■=1（“>0乃>0）的渐近线方程为〉=±瓜，

则该双曲线的离心率为（）

A.亚B.41C.73D.2

3

3.（2022・广东清远•高三期末）（多选）已知双曲线C:=-2=1（〃>0,6>0）的左、右焦点分别

a-b

为耳，尸2,点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点鸟作2耳「月的角平分线的垂线，垂足

为A,若。为坐标原点，h=2\OA\,则（）

A.双曲线C的渐近线方程为丫=±2犬B.双曲线C的渐近线方程为y=±：x

C.双曲线C的离心率为右D.双曲线C的离心率为手

4.（2022•广东东莞•高三期末）已知F为双曲线C：三-片=1的一个焦点，则点F到双曲

916

线C的一条渐近线的距离为.

5.（2022•广东深圳•高三期末）在平面直角坐标系X。），中，F为双曲线C:1=1（匕>a>0）

ab

的一个焦点，以尸为圆心的圆与C的两条渐近线交于。、A、8三点，若四边形O1FB的面

积为*|o歼，则C的离心率为.

6.（2022・广东中山•高三期末）已知点M为双曲线C：W-1=1（a>0,b>0）在第一象限上一

点，点F为双曲线C的右焦点，。为坐标原点，4\MO\=4\MF\=1\OF\,则双曲线C的离心

率为;若ME"。分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别

为k\&,则占•&=.

o2

29.（2022・广东深圳,一模）已知双曲线C：'—方=1（“>0,/,>0）经过点A（2,0）,且点A到

C的渐近线的距离为过区.

（1）求双曲线C的方程;

（2）过点（4,0）作斜率不为0的直线/与双曲线C交于M,N两点，直线x=4分别交直线AM,

AN于点、E,F.试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反

之，请说明理由.

考点三：抛物线

【典例例题】

例1.（2022•广东惠州•一模）若抛物线V=2px（p>0）上一点P（2,%）到其焦点的距

离为4,则抛物线的标准方程为（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

例2.（2022•广东韶关•一模）已知在平面直角坐标系中，有两定点F（0,-3）,G（0,3）,动点T

俩足阳2,

⑴求动点T的轨迹”的方程：

（2）若抛物线M:X2=2py（p>0）与轨迹H按顺时针方向依次交于四点AB,C,D（点、4,。在第

一象限）.

①求证：直线AC与直线8。相交于G点；

②设△ADG的面积为S,求S取最大值时的抛物线方程.

【方法技巧与总结】

1.抛物线的定义：到准线与到定点距离相等.

2.抛物线的性质：焦点弦长

【变式训练】

L（2022•广东广州•一模）设抛物线E:V=8x的焦点为F,过点M（4,0）的直线与E相交于4

B两点，与E的准线相交于点C,点8在线段AC上，IB用=3,则△BCF与△ACF的面积

之比*=（）

ACF

1111

A.-B.—C.-D.一

4567

2.（2022,广东广东•一模）已知。为坐标原点，F为抛物线C：V=4x的焦点，P为C上一点，

若|）|=4,则点F到直线PO的距离为（）

A.6B.26C.—D.亚

77

3.（2022•广东茂名•一模）（多选）已知抛物线C：r=4），的焦点为产，准线为/,P是抛物线

C上第一象限的点，归尸|=5,直线PF与抛物线C的另一个交点为Q,则下列选项正确的是

（）

|eri=-S0P（?=—

A.点P的坐标为（4,4）B.4C.3

D.过点作抛物线C的两条切线其中A,B为切点，则直线A8的方程为：

xQx-2y+2=0

4.（2022•广东•一模）（多选）已知抛物线Uy、©的焦点为F,抛物线C上存在"个点片，

P,,L,P,（“22且〃eN"）满足=AP_FP=APFP,=—,则下列

nxnnn

结论中正确的是（）

11C

A."=2时，而门面一

B.〃=3时，出产|+旧尸|+月产|的最小值为9

u〃=4时，麻丽f府丽F[=Z

D.〃=4时，丑尸|+出川+怛川+比》的最小值为8

5.（2022•广东湛江•一模）（多选）已知F是抛物线C：V=8x的焦点，过点F作两条互相垂

直的直线4，4，4与C相交于A,B两点，4与C相交于E,D两点，M为48中点，N

为E,。中点，直线/为抛物线C的准线，则（）

A.点M到直线/的距离为定值B.以|A4为直径的圆与/相切

C.|A用+。目的最小值为32D.当最小时，MN//1

6.（2022・广东深圳•一模）（多选）已知定圆A的半径为1,圆心A到定直线/的距离为d,

动圆C与圆A和直线/都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦

点到对应准线的距离分别为Pi，P2,则（）

A.d>\B.P|+P=2dC.PR=d°D.---->~

PtPid

【巩固练习】

一、单选题

1.椭圆C：£+金=1（。>石）的左、右焦点分别为月，尸2,经过点”的直线与椭圆C相

a~3

交于A,8两点，若S8乙的周长为16,则椭圆C的离心率为（）

A.姮B.—C.yD.迫

4424

2.已知椭圆*■+/=l（a>b>0）的左右焦点分别"，左顶点为A,上顶点为B,点尸为

椭圆上一点，且若ABHPF、,则椭圆的离心率为（）

A.@B.；C.且D.—

5232

3.已知0鸟分别为椭圆工+二=1的左右焦点，点P为椭圆上一点，以尼为圆心的圆与直

42

线尸匕恰好相切于点P，则NP6K是（）

A.45°B.30°C.60°D.75°

4.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）

所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）

、⑵、⑶中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别*去争设图（1）、⑵、（3）中椭

圆的离心率分别为尔02、03，则（）

⑶

ee

A.e}<e3<e2B.。2<3<i

C.e3<e2<exD.e2<el<e3

22

5.设厂为椭圆C:±+±=1的右焦点，点42,0）,点3在。上，若|3尸|二2|AF|,则|AB|二

43

（）

A.75B.2>/5C.V7D.25/7

22

6.设椭圆二+工•=1（。>〃>0）长轴的两个顶点分别为A、B,点C为椭圆上不同于A、3的

crb“

任一点，若将AA8c的三个内角记作A、B、C,且满足3tanA+3tan8+tanC=0,则椭圆的

离心率为（）

A.立B.-C.在D.-

3333

7.已知直线/过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，且与该抛物线交于M,N两点.若线段MN

的长为16,MN的中点到y轴距离为6,则△"ON（。为坐标原点）的面积是（）

A.B.8夜C.6应D.6

8.过抛物线V=2px（p>0）的焦点F作直线/,交抛物线于A,B两点，若|阳=3|尸8],则直

线/的倾斜角等于（）

A.30°或150°B.45。或135。C.60°或120°D.与p值有关

二、多选题

9.已知尸为椭圆的焦点，A,B分别为椭圆的两个顶点（且A不是离F最近的那个顶点），

若|AF|=3,|AB|=5,则椭圆的离心率可以为（）

A.1B.姮C.2D.25-3.

56334

2.设圆锥曲线C的两个焦点分别为片,用，若曲线C上存在点尸满足|拶|：忻用：归用=4:3:2,

则曲线C的离心率可以是（）

I23

A.-B.—C.—D.2

232

3.双曲线C:工-£=1的左，右焦点分别为耳，鸟，点尸在C上.若△尸耳心是直角三角形，

124

则斗鸟的面积为（）

A.巫B.逋C.4D.2

33

22

4.己知椭圆C：L+±=1的左、右焦点分别为斗鸟，尸为C上一点，则（）

43

A.C的离心率为①B.耳工的周长为5

2

C.N百尸工<90D.14|尸耳区3

5.己知抛物线C：x2=20，S>O),过其准线上的点7(1,-1)作C的两条切线，切点分别为4

8,下列说法正确的是()

A.p=lB.抛物线的焦点为F(0,1)

C.TAVTBD.直线A8的斜率为3

三、填空题

I.与双曲线V-工=1有相同的焦点，且短半轴长为2石的椭圆方程是.

4

22

2.已知椭圆C