二轮复习梳理纠错预测学案八排列组合二项式定理（理）

专题8排列组合、二项式定理

1.排列组合的考查主要以实际生活为背景，以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，

通常还会与概率结合进行考查，难度中等.

2.二项式定理主要以选择题或者填空题的形式进行考查，常考的内容为，求展开式中特

定项的系数，或者已知特定项的系数求参数，以及运用赋值法求特定项系数和的问题.

考点清单

1.排列、组合的定义

按照一定的顺序排成一列，叫做从几个不同元素中取出小个

排列的定义从n个不同元素中取

元素的一个排列

出m(m<n)个兀素

组合的定义合成一组，叫做从九个不同元素中取出HI个元素的一个组合

2.排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数组合数

从n个不同元素中取出小(瓶<

定从几个不同元素中取出Wmm,九WN*)个

n,m,n6N*)个元素的所有不同排

义元素的所有不同组合的个数

列的个数

="（〃一1）（〃一2）（H-m+1）

公_女_〃（"_1）（"一2）（〃一加+1）

nl

式"一A厂加

（n-m）!

性

「0-1

=n!,0!=1un--1->upmn-_urn-m>Grmn'।urmn-1—_cpnm+l

质

正确理解组合数的性质

(1)神=铲:从n个不同元素中取出TH个元素的方法数等于取出剩余n-m个元素的方法

数.

(2)C$+C7T=C^I：从n+1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊

元素4有C/种方法；②含特殊元素力有C=T种方法.

3.二项式定理

(1)二项式定理：(a+b)"=第屋+盘…+制心-上块+…+C的n(neN*)。；

nkk

(2)通项公式：Tk+1=C^a-b,它表示第k+1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为碎，碎，…，C落

4.二项式系数的性质

(I)①项数为几+1.

②各项的次数都等于二项式的号指数叫即a与b的指数的和为n.

③字母a按降舞排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幕排列，从第一项

起，次数由零逐项增1直到上

(2)二项式系数与项的系数的区别

二项式系数是指废，最，…，阴，它只与各项的项数有关，而与a,b的值无关；而项的系数

是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a,b的值有关.如(a+

取产的二项展开式中，第k+1项的二项式系数是以，而该项的系数是制m-k/当然，在某

些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.

.•••F精题集训••・.(70分钟)

Q经典训练题

一、选择题.

1.在＜xj的展开式中，N的系数为。

A.-15B.15C.-20D.20

【答案】C

【解析】由二项式定理得ixj的展开式的通项

人=晨仁厂，1)=禺产”(_1),

IXJ,

令12-3r=3,得r=3,

所以北=。"3(_1)3=—20%3,所以％3的系数为-20,故选C.

【点评】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析.

(21丫

2.在I尤1的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为。

A.63B.-517c.-217D,一⑺

【答案】B

。江3.仔)+C^x-Cl(--(-1)4+(-1)6=581

【解析】常数项是,

令％=1求各项系数和，(1+2—1)6=64,

则除常数项外，其余各项系数的和为64-581=-517,故选B.

【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项公式的应用.

3.为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少

安排一名干部，则分配方案的种数有0

A.540B.240C.150D.120

【答案】C

【解析】根据题意分派到3个贫困村得人数为3,1,1或2,2,1,

当分派到3个贫困村得人数为3,1,1时，有Cj4g=60种;

生^^=90

当分派到3个贫困村得人数为2,2,1时，有2种，

所以共有60+90=150种，故选C.

【点评】本题考查了两个计数原理和简单的排列组合问题，属于基础题.

4.高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲

不与戊相邻，

乙与戊相邻的站法种数为0

A.4B.8C.16D.24

【答案】B

【解析】由题可知，戊站在正中间，位置确定，则只需排其余四人即可，

则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法有废x&x朗=8（种），故选B.

【点评】本题主要考查了分布分类计数原理，属于基础题.

5.甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，

且甲、乙两人

不能同去一个地方，则不同分法的种数0

A.18B.24C.30D.36

【答案】C

【解析】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3

个元素的全排列共有废用种，再排除甲乙被分在同一地方的情况共有“种，

所以不同的安排方法种数是盘&-题=36-6=30,故选C.

【点评】本题考查了排列组合的综合运用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于

中档题.

6.2020年我国实现全面建设成小康社会的目标之年，也是全面打赢脱贫攻坚战之年.某乡镇

为了了解本镇脱贫攻坚情况，现派出甲、乙、丙3个调研组到4、B、C、D、E等5个村去，

每个村一个调研组，每个调研组至多去两个村，则甲调研组到4村去的派法有0

A.48种B.42种C.36种D.30种

【答案】D

【解析】甲只去1村，则方法为盘废，甲去2个村调查，则方法数有盘底腐，

，总方法数为C：废+G废掰=30,故选D.

【点评】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件的过程方法，

根据完成事件的方法选择分类计数原理和分步计数原理.

7.如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种

颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种

数为()

A.56B.72C.64D.84

【答案】D

【解析】分两种情况：

(1)A、C不同色(注意：B、。可同色、也可不同色，。只要不与A、C同色，

所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色)：有4x3x2x2=48种；

(2)A、C同色(注意：B、。可同色、也可不同色，。只要不与A、C同色，

所以。可以从剩余的3中颜色中任意取一色)：有4x3x1x3=36种，

共有84种，故答案为D.

【点评】(1)本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分

析推理能力.

(2)排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象

优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.

8.2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个

数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为()

A.72B.84C.96D.120

【答案】B

【解析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有戏•用=96种，

其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，

考虑1和。相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有1=24种排法，

其中一半是重复的，故此时有12种重复.

故共有96-12=84种，故选B.

【点评】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

9.《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五

鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五

个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，

一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（）

J_23J_

A.5B.5c.5D.10

【答案】B

【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去

两地执行公务，基本事件总数n=CjCj=20,

大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数m=废0度+废废废用=8,

m82

p=—=——=—

所以大夫、不更恰好在同一组的概率为n205,故选B.

【点评】本题考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

（-^=一加］＜2）

10.（多选）已知（J*J的展开式中第3项的二项式系数为45,且展开式中各

项系数和为1024,则下列说法正确的是（）

A.。=1B.展开式中偶数项的二项式系数和为512

C.展开式中第6项的系数最大D.展开式中的常数项为45

【答案】BCD

C：=△——^=45

【解析】由题意，2，所以n=10（负值舍去），

又展开式中各项系数之和为1024,所以（l-a）】°=1024,所以a=-l,故A错误；

-x2'°=-xl024=512

偶数项的二项式系数和为22，故B正确；

、10

1,2

不+X

7展开式的二项式系数与对应项的系数相同,

所以展开式中第6项的系数最大，故C正确;

、10

"-5

+X--(10-r)

2r

7的展开式的通项4+1-x52

牝-5=0,

令2,解得r=2,所以常数项为0*=45,故D正确,

故选BCD.

【点评】本题主要考查了二项式基本定理及其通项，属于基础题.

二、填空题.

11.记a，b,c,d,e,f为匕213)4,5,6的任意一个排列，则(a+b)(c+d)(e+/)为偶数的

排列的个数共有.

【答案】432

【解析】根据题意，a,b,c,d,e,f为I,2,3,4,5,6的任意一个排列，

则共有公=720个排列，

若(a+0)(c+d)(e+/)为偶数的对立事件为"3+0)(c+4)(e+/)为奇数”，

(a+b)、(c+d)、(e+/)全部为奇数，有6x3x4x2x2x1=288,

故(a+》)(c+d)(e+/)为偶数的排列的个数共有720—288=432,

故答案为432.

【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，

属于中档题.

12.现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品.现每次取其中一个进行测试，直到4

个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是

2

【答案】105

【解析】现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品.

现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时

被发现，

基本事件总数〃=隹，

最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：

优先考虑第五次（位置）测试.这五次测试必有一次是测试正品，有,；种，

4只次品必有一只排在第五次测试，有0：种，

那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有用种.

于是根据分步计数原理有废。；4：种.

一煤，2

・・・最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率PU。105,

2

故答案为105.

【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、

运算求解能力，是中档题.

13.现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒

子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共

有种.（结果用数字表示）

【答案】336

【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有用种排法，再安排空盒，有鬣朗种方法;

再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有“鹿种排法，再安排空盒，有C；鹿种方法，

m也小十号,土9贴4&一A；用=336

因此所求放法种数为45*23*24*2.

【点评】本题考查排列组合应用，考查综合分析与求解能力，属中档题.

14.在二项式I胃）的展开式中，含"3厂x的项的系数为；各项系数的最小值为

.（结果均用数值表示）

【答案】15,-20

【解析】因为二项式I,所以V7x)

当r=2时，则△=15正，含正的项的系数为15;

T=-20-2

当r=3时，则〃一“Xr,此时系数最小，最小值为-20,

故答案为15,-20.

【点评】本题考查二项式定理展开式的系数问题，是基础题.

•高频易错题

一、填空题.

1.12本相同的资料书分配给三个班级，要求每班至少一本且至多六本，则不同的分配方法共

有种.

【答案】25

【解析】先分组，再排序，12本书分三个班级，且每班至少一本且至多六本，

可能有1、5、6;2、4、6;2、5、5;3、3、6;3、4、5;4、4、4共6中情况，

一个班分5本，一个班分6本，不同的方法有6=6种；

当一个班分1本，

一个班分4本，一个班分6本，不同的方法有a=6种；

当一个班分2本，

-4=3

一个班分本，一个班分本，不同的方法有&种；

当一个班分2本，55

A=3

一个班分3本，一个班分6本，不同的方法有否种；

当一个班分3本，

一个班分4本，一个班分5本，不同的方法有用=6种；

当一个班分3本，

4=1

一个班分4本，一个班分4本，不同的方法有㈤种；

当一个班分4本，

所以一共有6+6+3+3+6+1=25,故答案为25.

【点评】本题考查了排列组合，此种情况解题的关键是先分组，再排序，属于中档题.

©精准预测题

一、选择题.

2TI“。，/

1.展开式中x-2y3项的系数为160,则£1=()

C.-2D.-2V2

【答案】C

【解析】二项式(1+ayA展开式的通项为7>+1=星x16-r(ay)『=C^aryr,

令r=3可得二项式(1+ay>展开式中,的系数为牖。3,

卜-3](1+⑥『

.,A*)展开式中x-2y3的系数为(_i)得&3=160,

可得。3=-8,解得。=-2,故选C.

【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项，属于基础题.

X>1

”2

I?7x+V<4

2.已知随机变量X服从二项分布I2人其期望E(X)=2,当I)一时，目标函数2=

%一'的最小值为九则(a+bx)5的展开式中各项系数之和为()

B.25C.3s

【答案】B

E(X)=ax—=2

【解析】根据二项分布期望的定义，可知2,得Q=4,

x>i

■”2

画出不等式组〔"+'<4表示的区域，如图中阴影部分所示,

Jy/

其中4(2,B。，2),C（l,3）,

平移直线2=%-%当直线经过点。(1,3)时，z取最小值，即卜=2„^,

于是(a+=(4-2x>,

令x=l,可得展开式的各项系数之和为25,故选B.

【点评】本题把二项式定理与线性划结合以及二项分布考查，属于中档题.

3.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概

率是0

11

A.2B.10C.4D,5

【答案】D

【解析】由题可得基本事件总数n=ClCl=20,

第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数m=ClClCl=4,

p_—_m—__4—_1

所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是〃2°5,故选D.

【点评】本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数.

4.某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修,

则不同的选课方案有。

A.96种B.84种C.78种D.16种

【答案】B

【解析】先确定选的两门C=6,再确定学生选42-2=14,

所以不同的选课方案有6X14=84,故选B.

【点评】本题主要考了分步分类计数原理，属于基础题.

5.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区

分站的位置，

则不同的站法总数是0

A.90B.120C.210D.216

【答案】C

【解析】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，

所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：盘题=120种站法；

第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：ClCl=90种站法;

所以每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是120+90=

210,

故选C.

【点评】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的

能力，属于中档题.

6.2020年5月22日，国务院总理李克强在发布的2020年国务院政府工作报告中提出，2020

年要优先稳就业保民生，坚决打赢脱贫攻坚战，努力实现全面建成小康社会目标任务.为响

应党中央号召，某单位决定再加派五名工作人员甲、乙、丙、丁、戊去所负责的A,B,C,D

四个村小组帮助指导贫困户脱贫，每个村小组至少派一人，为工作方便，甲不去A小组，乙

去8小组，则不同的安排方法有0

A.24B.42C.120D.240

【答案】B

【解析】当甲、乙在同一小组时，即都在B小组时，则不同的安排方法有：A；=3x2xl=6；

当甲、乙不在同一小组时，根据题意可以分成废-1=9组，乙所在的小组去B小组，甲有2

种方法，剩下的两人有2种方法，

因此有不同的安排方法有：9x2x2=36,

因此符合题意的不同的安排方法有6+36=42种方法，故选B.

【点评】本题考查了排列组合的应用，考查了数学分析问题能力，属于中档题.

二、填空题.

卜-12

7.1X）的展开式中常数项为_________.

【答案】-3

（3-3（1+村=3（1+行（1+村

【解析】VX）X

3-Cf=3-6=-3

展开式中常数项为x,故答案为-3.

【点评】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所

给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中〃和，•的隐

含条件，即〃，r均为非负整数，且“》广，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二

步是根据所求的指数，再求所求解的项.

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

8.数列｛。耳｝中，g=1,an+1=2an+1(neN,),贝lj

C；%+C\a2+Cja3+C,a4+C；%+C：4=

【答案】454

【解析】因为a“+i+1=2an+2=2(an+1),

所以Sn+1｝以2为首项，2为公比的等比数列，

所以a4+l=2x2nT=2n,所以斯=2九一1,

则eg%+C^a2+Cja3+C^a4+C^a5+C^a6

=C^X2+C；X22+C；X23+C；X24+C；X25+GX26-C+C+《+C；+C；+C^)