福建省福州市仓山区2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（上）期末

数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1.分式上有意义，则X的取值范围是（)

A.%>-1B.%>-1C.x<-1D.%H—1

2.计算3T的结果是（）

A.3B,c-lD.-3

3.一种生物，它们的最小身长只有0.00000002米，将0.00000002用科学记数法表示为（）

A.2x10-7B.2x10—8C.2x10-9D.2x10-*10

4.化简分式等的结果是（）

y+x

A.-B.空C.y+1D.

XXx

5.下列各组数据为边,不能组成直角三角形的是（）

A.1,2,V7B.V2.V3.V5

C.5,12,13D.2,2,2V2

6.等腰三角形的一个角是70。，它的底角的大小为（）

A.70°B.40°C.70°或40°D.70°或55°

7.已知△4BC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直

角边分别在48,4c上，且这组对应边所对的顶点重合于点M,点

M一定在（）

A.4A的平分线上

B.AC边的高上

C.BC边的垂直平分线上

D.AB边的中线上

8.已知/一8x+a可以写成一个完全平方式，贝必可为（）

A.4B.8C.16D.-16

9.若一个三角形的三条边的长是a,b,c,并且满足恒等式5/+2cx+3=（ax+b）（x+1）,

则这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

10.如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交8c于点。，4C的垂直平分线交BC于点E,点M,N为

垂足，若BZ）=|,DE=2,EC=|,则AC的长为（）

A这B.迪C.迪D.西

2222

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11.如果二次根式VT二讶有意义，那么化的取值范围是

12.分解因式：x2-4

13.若a=2022°,b=20212-2020x2022,则a,b的数量关系为

14.如图，P、Q是等边△力BC边上的点，AQ、PC交于M点，AP=BQ,

则乙4MC的度数为

is•若壬品？那有意义，下列等式①5=2；②1彳+%③：去④4罟中

一定不成立的是.

16.如图，在四边形力BCD中，若8。=。，48=388（；，48=90。，乙4=30。，乙4。（；=/

乙BCD,则四边形4BCD的面积为（用含a的代数式表示）.\

卜

BC

三、解答题（本题共9小题，共86分）

17.计算：

⑴6a-3b+（a-2）2；

（2）V6xJ|-V8+iV50.

18.解分式方程：丁工■+当1.

19.已知产+3x=l,求代数式+-—■/-2X+1的值.

x+1X-lx+2

20.如图，已知4B=4C,E为AB上一点，ED//AC,EC=4E.求证：BDCD.

21.甲、乙两人分别从距离目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4,结

果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度.

22.作图题：如图，在6x6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,请在所给网格中按下

列求画出图形.

(1)画出线段4B,使它的长度为2vL端点B落在格点(即小正方形的顶点)上；

(2)在(1)的条件下，画出顶点都在格点上，三边长都是无理数的等腰△ABC,并在三边上标

注长度；

(3)若BCD是以(2)中的BC为直角边的格点三角形，请直接在图上画出△BCD,再画出

NCB。的平分线.

A

23.如图，△力BC中，AB=AC,BC长为10,点。是4c上的一点，BD=8,CD=6.

(1)求证：BD1AC；

(2)求线段4B的长.

D

24.阅读理解

材料：为了研究分式:与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据:

X—-4-3-2-101234—

1

—-0.25-0.3-0.5-1无意义10.50.30.25.•・

X

从表格数据观察，当x>0时，随着x的增大，:的值随之减小，并无限接近0；当x<0时，随

着久的增大，3的值也随之减小.

材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这

个分式叫做真分式.当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式.有时

候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分

分式•如：==口=2+^。

根据上述材料完成下列问题：

(1)当x>0时，随着x的增大，1+5勺值(增大或减小)；

当x<0时，随着x的增大，平的值(增大或减小)；

(2)当x>l时，随着x的增大，等的值无限接近一个数，请求出这个数；

(3)当04x<2时，求代数式詈值的范围.

25.如图1,在△4C0中，04=0C,AB=CD,/.BAO=Z.DCO.

(1)求证：OB=OD；

⑵如图2,AB交CD于点P,若乙4PD=90。+，COB,求证：A,0,。三点共线；

(3)如图3,在(2)的条件下，若0clAB于H,过点。作。E1于E,OE=BD,CO=7,求

AB,AD的长度.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：根据题意，得

分母1+xrO,即工彳一1时，分式总有意义.

故选：D.

分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义.

本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念：

(1)分式无意义=分母为零；

(2)分式有意义=分母不为零；

(3)分式值为零=分子为零且分母不为零.

2.【答案】B

【解析】解：af=《尸，

所以3T=《.

故选：B.

根据负整数指数幕的意义即可求出答案.

考查负整数指数嘉的运算，解题的关键是正确理解负整数指数基的意义，本题属于基础题型.

3.【答案】B

【解析】解：0.00000002=2xIO：.

故选：B.

应用用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO-%其中1式旧＜10,n为由原数左边起第

一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可得出答案.

本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，熟练掌握用科学记数法表示较小的数的计算方法进

行求解是解决本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：等

(y+1)%

x2

y+i

X

故选：B.

先把分式的分子分解因式，再约分即可.

本题考查了分解因式，约分和分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：

分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的数，分式的值不变.

5.【答案】A

【解析】解：••・12+22^(77)2,故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；

(V2)2+(V3)2=(通/，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；

V52+122=132,故选项C中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；

•••22+22=(2a)2,故选项D中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；

故选：A.

根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否够构成直角三角形，从而可以判断哪

个选项符合题意.

本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.

6.【答案】D

【解析】解：①当这个角是顶角时，底角=(180。-70。)+2=55。；

②当这个角是底角时，另一个底角为70。，顶角为40。.

故选：D.

题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解.

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

作射线AM,根据角平分线的判定定理得到AM平分NBAC,得到答案.

本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键.

【解答】

解：作射线如图所示：X

由题意得，MG=MH,MGLAB,MHLAC,G/\

•••力M平分NB4C,/SXw\

.••点M在NA的平分线上/J*k\

故选：4A.HC

8.【答案】C

【解析】

【分析】

根据完全平方式的结构是：。2+2帅+匕2和£12一2防+82两种，据此即可求解.

本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方

式.注意积的2倍的符号，避免漏解.

【解答】

解：%2-8%+Q可以写成一个完全平方式，

二则Q可为：16.

故选C.

9.【答案】B

【解析】解：•・•(ax+/?)(%+1)=ax2+(Q+b)x+b,

・•・5x2+2cx+3=ax2+(Q+b)x+b,

ci—5,2c=a+b,b=3,

・•・c=4,

Va2=25,b2+c2=9+16=25,

a2=b2+c2,

.•・这个三角形是直角三角形.

故选：B.

先计算(ax+b)(x+l),对应相等可得出a、b、c的关系.

本题考查了勾股定理的逆定理以及多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线的性质得出4D,AE当长，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，进

而利用勾股定理解答即可.

本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理的应用，解题关键是是添加辅助线构造直

角三角形.

【解答】

解：连接40,AE,

■.AB的垂直平分线交BC于点D,4C的垂直平分线交BC于点E,

35

.・・AD=BD=AE=EC=

22

•・•DE=2,

/.AD2+DE2=-+4=—=/lF2,

44

・•.△ADE是直角三角形，/.ADE=90°,

由勾股定理可得：4c=7AD2+DC2=J(|)2+(52=亨,

故选。.

11.【答案】x>2

【解析】解：由题意可知：x-2>0,

/.%>2,

故答案是：x>2.

根据二次根式有意义的条件即可求出答案.

本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解有意义的条件，本题属于基础题型.

12.【答案】(x+2)(x-2)

【解析】解：X2-4=(x+2)(%-2).

故答案为：(x+2)(x—2).

直接利用平方差公式进行因式分解即可.

本题考查了平方差公式因式分解.能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，

符号相反.

13.【答案】a=b

【解析】解：:a=2022°=1,

b=20212-2020X2022=20212-(2021-1)X(2021+1)

=20212-20212+1

=1,

・•・a=b.

故答案为：a=b.

利用平方差公式对b进行变形计算即可得到答案.

此题考查的是平方差公式，零指数哥，掌握平方差公式的结构是解决此题的关键.

14.【答案】120°

【解析】解：•••△ABC为等边三角形，

・•・AB=AC,Z-BAC=乙B=60°,

在a/BQ和中

(AB=CA

乙ABQ=4CAP,

BQ=AP

・•.△ABQ=^CAP,

・•・Z-BAQ=乙ACP,

・・・匕ACM+乙CAM=/.PAM+Z-CAM=乙PAC=60°,

・・・Z.AMC=180°-60°=120°.

故答案为120。.

利用等边三角形的性质得=AC.Z-BAC==60°,再证明△ABQ=^CAP得到4B4Q="CP,

则乙4cM+/.CAM=^PAC=60°,然后根据三角形内角和计算乙4MC的度数.

本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角

相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.在应用全等三角形的判定

时.，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.也考查了等边三角

形的性质.

15.【答案】②

【解析】解：.•44-,，陌意义，

THm+nn

・••mWO,m+nWO,nWO,

当巾=71Ko时，①巴=与=1,④巴=M|=1,

••.①④可能成立，

①④不符合题意；

根据分式的基本性质可得巴=箸,

m2m

，③不符合题意；

若」一=—+工成立，则有(Hi+n)2=mn,

m+nmn、'

：•m2+mn+n2=0,

关于ni的一元二次方程，A=-3n2<0,

不存在这样的m、n的值使原式成立，

②一定不成立；

故答案为：②.

根据分式的基本性质逐项进行判断即可.

本题考查了分式的加减、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质及加减

运算法则是解题关键.

16.【答案】谑

2

【解析】解：延长40和8C,它们相交于E点，过。点作0H1CE于H点，如图,

vZ-B=90°,=30°,

:.乙ADC+(BCD=360°-90°-30°=240°,

vZ-ADC=乙BCD,

・・・Z.ADC=乙BCD=120°,

・•・乙EDC=乙ECD=60°,

.•.△DCE为等边三角形，

在RtAABE中，vAB=3V3BC=3V3a>/.A=30°,

BE=—AB=—x3V3a=3a，

33

vBC=a,

・•・CE=2a,

・・・DH=遮HE=岛，

.•・四边形4BCD的面积=SMBE—S〉DCE

=|x3ax3V3a—x2axV3a

7V32

=——QJ

2

故答案为：\2,

2

延长4。和BC,它们相交于E点，过。点作DHJ.CE于H点，如图，根据四边形的内角和可计算出

AADC=LBCD=120°,则利用邻补角的定义可计算出NEOC=NEC。=60°,则可判断^DCE为

等边三角形，再利用含30度的直角三角形三边的关系表示出BE=3a,则CE=2a,DH=^3a,

然后根据三角形面积公式，利用四边形ABC。的面积=S“BE-SAOCE进行计算.

本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=[x底x高.也考

查了含30度角的直角三角形三边的关系.

17.【答案】解：(1)原式=6g一汕+。-4

=6ab；

(2)原式=J6x|-2V2+V2

=3-2y[2+V2

=3—V2.

【解析】(1)先算乘方，再算除法；

(2)先算乘法和把各数化简，再合并即可.

本题整式及二次根式的运算，解题的关键是掌握相关运算法则及运算顺序.

18.【答案】解：士+尹=1,

2x—42—X

1%+1-

---------=\

2(x-2)x-2，

方程两边都乘2(x-2),得

1-2(%+1)=2(%-2),

解得：x=：,

4

检验：当％=［时，2(%—2)。0,

所以工=1是原方程的解，

即原方程的解是X=I

4

【解析】方程两边都乘2。-2)得出l—2(x+l)=2(x—2),求出方程的解，再进行检验即可.

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

19.【答案】解：原式==一」--丝空

x+1x-1x+2

_x-2x-1

-x+lX+2

_(x-2)(x+2)(x-l)(x+l)

一(x+l)(x+2)(x+l)(x+2)

_7一4一42+1

-X2+3X+2

一3

X24-3X+2，

当/+3%=1时，

原式=言=-1-

【解析】先计算分式乘法，再通分计算分式减法，最后整体代入求值.

本题考查分式的化筒求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式.

20.【答案】证明：•••ED//AC,

・•・Z-EDA=Z.DAC,

•・•ED=AE,

••Z.EAD=Z.EDAf

••・Z-EAD=乙DAC,

在△ADB和AADC中，

AB=AC

乙BAD=乙CAD

AD=AD

•••△4DBwUDC(S4S),

.・.BD=CD.

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证明

4DC是本题的关键.

由平行线的性质和等腰三角形的性质可得NE4D=4DAC,由“S4S”可证A/WB三△4DC,可得

BD=CD.

21.【答案】解：设甲的速度为3x千米/小时，则乙的速度为4x千米/小时，

根据题意得:,一国号,

解得：x=1.5,

经检验，x=1.5是原分式方程的解，

:.3%=4.5,4x=6.

答：甲的速度为4.5千米/小时，乙的速度为6千米/小时.

［解析】本题考查了分式方程的应用，根据时间=路程+速度结合甲比乙提前20分钟到达目的地列

出关于x的分式方程是解题的关键.

设甲的速度为3x千米/小时，则乙的速度为4x千米/小时，根据时间=路程+速度结合甲比乙提前20

分钟到达目的地即可得出关于x的分式方程，解之即可求出x的值，检验后将其代入3x、4x中即可

得出结论.

22.【答案】解：(1)如图，线段4B即为所求；

A

(2)如图，△ABC即为所求；

(3)如图，射线8E即为所求.

【解析】(1)利用数形结合的思想作出图形即可；

(2)根据等腰三角形的定义画出图形即可；

(3)画一个等腰直角三角形CBD即可，使得CB=BO=g，4CBD=90。即可.

本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中

考常考题型.

23.【答案】(1)证明：••・BC=10,BD=8,CD=6,

BD2+CD2=82+62=102=BC2,

•••上BDC=90°,

•••BD1AC；

(2)解：设则4B=4C=x,

vCD=6,

:.AD=x—6,

•・•AB2=BD2+心，

.•・x2=824-(%—6产，

解得：x=p

AB=—.

3

【解析】(1)根据勾股定理的逆定理即可得到结论；

(2)设AB=x,则AB=AC=x,得到AD=x-6,根据勾股定理列方程即可得到结论.

此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的

三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

24.【答案】减小减小

【解析】解：(1)•.•当x>0时:随着x的增大而减小，

随着x的增大，1+工的值减小；

X

・••当X<0时2随着X的增大而减小，

X

X+2",2

=1+?

・•.随着》的增大，箜的值减小，

故答案为：减小，减小；

竺生=2(24=2+2,

'7x-lx-1X-1

•••当x>l时，三的值无限接近0,

x-1

二等的值无限接近2；

x-1

/介、5x-25(x-3)+13l.13

(3)V----=------------=5H-------，

x-3x-3x—3

又0<x<2,

,13,13

・

•-13<-x—-3<3

(1)由；、：的变化情况，判断1+3、1+：的变化情况即可;

(2)由艺节=2+三，即可求解；

\/x-1x-1

(3)由头=2+/；，再结合x的取值范围即可求解.

、/x-3x-1

本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键.

25.【答案】(1)证明：在和△C。。中,

0A=0C

Z-BAO=乙DCO,

AB=CD

三△C0D(S4S),

・•・OB=ODt

(2)证明：由(1)知：AAOBaCOD,

・•・Z-OCD=Z.OA