二次函数与幂函数-高考真题复习-高考复习课件

§

2.3二次函数与幂函数高考理数

(课标Ⅱ专用)考点

二次函数与幂函数(2014大纲全国,16,5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间

是减函数,则a的取值范围是

.答案(-∞,2]五年高考A组统一命题·课标卷题组解析

f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,x∈

,则t∈

,则函数y=-2t2+at+1在

上是减函数,则

≤

,所以a≤2.解题关键

本题的解题关键在于通过换元,将原函数转化为二次函数,再结合复合函数单调性

即可求解.考查转化能力、数形结合思想.考点

二次函数与幂函数1.(2017浙江,5,5分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m

(

)A.与a有关,且与b有关

B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关

D.与a无关,但与b有关B组自主命题·省（区、市）卷题组答案

B本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类

讨论思想.解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m与b无关.又a=1时,g(x)max-g(x)min=2,a=2时,g(x)max-g(x)min=3,故M-m与a有关.故选B.解法二:(1)当-

≥1,即a≤-2时,f(x)在[0,1]上为减函数,∴M-m=f(0)-f(1)=-a-1.(2)当

≤-

<1,即-2<a≤-1时,M=f(0),m=f

,从而M-m=f(0)-f

=b-

=

a2.(3)当0<-

<

,即-1<a<0时,M=f(1),m=f

,从而M-m=f(1)-f

=

a2+a+1.(4)当-

≤0,即a≥0时,f(x)在[0,1]上为增函数,∴M-m=f(1)-f(0)=a+1.即有M-m=

∴M-m与a有关,与b无关.故选B.2.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=

(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间

上单调递减,那么mn的最大值为(

)A.16

B.18

C.25

D.

答案

B当m=2时,f(x)=(n-8)x+1在区间

上单调递减,则n-8<0⇒n<8,于是mn<16,则mn无最大值.当m∈[0,2)时,f(x)的图象开口向下且过点(0,1),要使f(x)在区间

上单调递减,需-

≤

,即2n+m≤18,又n≥0,则mn≤m

=-

m2+9m.而g(m)=-

m2+9m在[0,2)上为增函数,∴m∈[0,2)时,g(m)<g(2)=16,∴mn<16,故m∈[0,2)时,mn无最大值.当m>2时,f(x)的图象开口向上且过点(0,1),要使f(x)在区间

上单调递减,需-

≥2,即2m+n≤12,而2m+n≥2

,所以mn≤18,当且仅当

即

时,取“=”,此时满足m>2.故(mn)max=18.故选B.3.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零

),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是

(

)A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值

D.点(2,8)在曲线y=f(x)上答案

A由已知得,f'(x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B正确,则有

解得b=-2a,c=-3a,则f(x)=ax2-2ax-3a.由于a为非零整数,所以f(1)=-4a≠3,则C错.而f(2)=-3a≠8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确.若A、C、D正确,则有

由①②得

代入③中并整理得9a2-4a+

=0,又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+

=0无整数解,故A错.若B、C、D正确,则有

解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10x+8,此时f(-1)=23≠0,符合题意.故选A.考点

二次函数与幂函数1.(2013课标全国Ⅱ,16,5分)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大

值为

.C组教师专用题组答案16解析由f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,有

即

解得a=8,b=15,∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=(1-x2)[(x+4)2-1],令x+2=t,则x=t-2,t∈R.∴y=g(t)=[1-(t-2)2][(t-2)2+8(t-2)+15]=(4t-t2-3)·(4t+t2+3)=16t2-(t2+3)2=16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5)2,∴当t2=5时,ymax=16.2.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,

-

+

的最小值为

.答案-2解析设2a+b=t,则2a=t-b,由已知得关于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有

解.故Δ=9t2-24(t2-c)≥0,所以t2≤

c,所以|t|max=

,此时c=

t2,b=

t,2a=t-b=

,所以a=

.故

-

+

=

-

+

=8

=8

-2≥-2.所以

-

+

的最小值为-2.3.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=

+b-

,得对称轴为直线x=-

.由|a|≥2,得

≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=

得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.考点

二次函数与幂函数1.(2018海南国兴中学月考)方程|x2-2x|=a2+1(a∈R+)的解的个数是

(

)A.1

B.2

C.3

D.4三年模拟A组2016—2018年高考模拟·基础题组答案

B∵a∈R+,∴a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图,∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.∴方程有两个解.故选B.2.(2018宁夏石嘴山三中模拟,6)若函数f(x)是幂函数,且满足

=3,则f

的值为

(

)A.-3

B.-

C.3

D.

答案

D设f(x)=xα(α为常数),∵

=3,∴

=3,∴α=log23.∴f(x)=

.则f

=

=

.故选D.3.(2017甘肃天水秦州月考,4)已知函数f(x)=

x2-x,则f(x)的单调递增区间是

(

)A.(-∞,-1)和(0,+∞)B.(0,+∞)C.(-1,0)和(1,+∞)D.(1,+∞)答案

D函数f(x)=

x2-x为二次函数,且其图象的开口方向向上,对称轴为直线x=-

=1,则f(x)的单调递增区间是(1,+∞).故选D.4.(2017陕西汉中4月模拟,7)已知函数f(x)=ax2-2ax+c(a≠0)满足f(2017)<f(-2016),则满足f(m)≤f

(0)的实数m的取值范围是

(

)A.(-∞,0]

B.[0,2]C.(-∞,0]∪[2,+∞)

D.[2,+∞)答案

B函数f(x)=ax2-2ax+c(a≠0)的图象关于直线x=1对称,由f(2017)<f(-2016),可知函数f

(x)的图象开口向上,∴若f(m)≤f(0),则|m-1|≤1,解得m∈[0,2],故选B.5.(2018甘肃武威一中期中,17)若幂函数y=(m2-3m+3)·

的图象不经过坐标原点,求实数m的取值范围.解析由题意得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,m=1时,y=

,图象不过原点,m=2时,y=x0,图象不过原点,故m=1或2.1.(2018新疆乌鲁木齐二模,8)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f

,b=f(lnπ),c=f

,则a,b,c的大小关系为

(

)A.a<c<b

B.a<b<cC.b<c<a

D.b<a<c选择题（每小题5分，共35分）B组2016—2018年高考模拟·综合题组(时间：20分钟分值：35分)答案

A由点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,可得m-1=1,且mn=8,∴m=2,n=3,则f(x)=x3,∴f(x)在R上递增,∵0<

<

<1,lnπ>1,∴a<c<b,故选A.思路分析由幂函数的定义可得m=2,由函数图象过(m,8),得n=3,∴f(x)=x3,∴f(x)在R上递增,结

合对数函数和幂函数的性质,即可得到a,b,c的大小关系.解后反思本题考查了幂函数概念以及运用其性质比较大小.2.(2018陕西西安铁一中学4月模拟,6)已知f(x)=

若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值集合是

(

)A.{c|c≤-5或c=-1或c=3}B.{c|c<-5或c=-1或c=3}C.{c|2<c<3或c>4}D.{c|2<c≤3或c≥4}答案

B作出函数f(x)=

的图象如图:由y=f(x)-c=0得f(x)=c,由图象可知要使方程f(x)=c恰有两个解,则c=-1或c=3或c<-5.故选B.思路分析作出函数y=f(x)的图象,然后根据图象确定实数c的取值集合.解题方法解决二次函数的图象以及两个图象的交点问题,数形结合是主要方法.3.(2018海南文昌中学模拟,7)已知二次函数f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若x1<x2,x1+x2=0,则f(x1)与f(x2)的

大小关系为

(

)A.f(x1)=f(x2)

B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)<f(x2)

D.与a值有关答案

C

f(x)=2ax2-ax+1(a<0)图象的对称轴为x=

,开口向下.∵x1<x2,x1+x2=0,∴x1<0<x2,且x2=-x1,则x1距离对称轴x=

较远.易知f(x1)<f(x2),故选C.解题关键有关二次函数的对称性的应用问题,解题的关键是确定二次函数图象的对称轴及

开口方向.4.(2018宁夏银川二中二模,10)已知f(x)为二次函数,对任意的二次函数f(x)和实数t,关于x的方程

f(|x-t|)=0的解集不可能是

(

)A.{1,2}

B.{1,3}C