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文档简介
2024届河南省洛阳市数学高三第一学期期末质量检测模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列的通项公式是,则()A.0 B.55 C.66 D.782.过抛物线()的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.,且在第一象限,则()A. B. C. D.3.音乐,是用声音来展现美,给人以听觉上的享受,熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质,他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述,它们是一些形如的简单正弦函数的和,其中频率最低的一项是基本音,其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数构成乐音的是()A. B. C. D.4.已知纯虚数满足,其中为虚数单位,则实数等于()A. B.1 C. D.25.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线与轴正半轴所成的最小正角为,则等于()A. B. C. D.6.是定义在上的增函数,且满足:的导函数存在,且,则下列不等式成立的是()A. B.C. D.7.设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则A.PQ B.QPC.Q D.Q8.已知非零向量满足,若夹角的余弦值为,且,则实数的值为()A. B. C.或 D.9.已知等边△ABC内接于圆:x2+y2=1,且P是圆τ上一点,则的最大值是()A. B.1 C. D.210.抛物线的准线与轴的交点为点,过点作直线与抛物线交于、两点,使得是的中点,则直线的斜率为()A. B. C.1 D.11.设,且,则()A. B. C. D.12.已知平面,,直线满足,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,满足,,,则的取值范围为_________.14.已知函数,若恒成立,则的取值范围是___________.15.已知函数,则关于的不等式的解集为_______.16.设实数满足约束条件,则的最大值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数有两个极值点,求证:.18.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;(Ⅱ)已知直线与曲线交于,两点,与轴交于点,求.19.(12分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=,(1)求f(x)的最小值;(2)对任意,都有恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对一切,都有成立.20.(12分)在四棱锥中,底面是平行四边形,底面.(1)证明:;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)如图,在三棱柱中,平面ABC.(1)证明:平面平面(2)求二面角的余弦值.22.(10分)为了解网络外卖的发展情况,某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市,分别调查了甲乙两家网络外卖平台(以下简称外卖甲、外卖乙)在今年3月的订单情况,得到外卖甲该月订单的频率分布直方图,外卖乙该月订单的频数分布表,如下图表所示.订单:(单位:万件)频数1223订单:(单位:万件)频数402020102(1)现规定,月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲外卖乙总计(2)由频率分布直方图可以认为,外卖甲今年3月在全国各城市的订单数(单位:万件)近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表),的值已求出,约为3.64,现把频率视为概率,解决下列问题:①从全国各城市中随机抽取6个城市,记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数,求的数学期望;②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖,抢红包”的营销活动来提升业绩,据统计,开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平,现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动,若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元,但每件外卖平均需送出红包2元,则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元?附:①参考公式:,其中.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,则,.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
先分为奇数和偶数两种情况计算出的值,可进一步得到数列的通项公式,然后代入转化计算,再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解:由题意得,当为奇数时,,当为偶数时,所以当为奇数时,;当为偶数时,,所以故选:D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题,以及数列求和,考查了正弦函数的性质应用,等差数列的求和公式,属于中档题.2、C【解析】
作,;,由题意,由二倍角公式即得解.【详解】由题意,,准线:,作,;,设,故,,.故选:C【点睛】本题考查了抛物线的性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.3、C【解析】
由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.4、B【解析】
先根据复数的除法表示出,然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.【详解】因为,所以,又因为是纯虚数,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值,难度较易.若复数为纯虚数,则有.5、A【解析】
设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为,由任意角的三角函数的定义可以求得的值,依题有,则,利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图,设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上,所以依题有,则,所以,故选:A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式,属于基础题.6、D【解析】
根据是定义在上的增函数及有意义可得,构建新函数,利用导数可得为上的增函数,从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数,故.又有意义,故,故,所以.令,则,故在上为增函数,所以即,整理得到.故选:D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用,一般地,数的大小比较,可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数,本题属于中档题.7、C【解析】
解:因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此选C8、D【解析】
根据向量垂直则数量积为零,结合以及夹角的余弦值,即可求得参数值.【详解】依题意,得,即.将代入可得,,解得(舍去).故选:D.【点睛】本题考查向量数量积的应用,涉及由向量垂直求参数值,属基础题.9、D【解析】
如图所示建立直角坐标系,设,则,计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系,则,,,设,则.当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了向量的计算,建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.10、B【解析】
设点、,设直线的方程为,由题意得出,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,结合可求得的值,由此可得出直线的斜率.【详解】由题意可知点,设点、,设直线的方程为,由于点是的中点,则,将直线的方程与抛物线的方程联立得,整理得,由韦达定理得,得,,解得,因此,直线的斜率为.故选:B.【点睛】本题考查直线斜率的求解,考查直线与抛物线的综合问题,涉及韦达定理设而不求法的应用,考查运算求解能力,属于中等题.11、C【解析】
将等式变形后,利用二次根式的性质判断出,即可求出的范围.【详解】即故选:C【点睛】此题考查解三角函数方程,恒等变化后根据的关系即可求解,属于简单题目.12、A【解析】
,是相交平面,直线平面,则“”“”,反之,直线满足,则或//或平面,即可判断出结论.【详解】解:已知直线平面,则“”“”,反之,直线满足,则或//或平面,“”是“”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设,,,,由,,,根据平面向量模的几何意义,可得A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆,C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆,为的距离,利用数形结合求解.【详解】设,,,,如图所示:因为,,,所以A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆,C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆,则即的距离,由图可知,.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义,还考查了数形结合的方法,属于中档题.14、【解析】
求导得到,讨论和两种情况,计算时,函数在上单调递减,故,不符合,排除,得到答案。【详解】因为,所以,因为,所以.当,即时,,则在上单调递增,从而,故符合题意;当,即时,因为在上单调递增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,则在上单调递减,从而,故不符合题意.综上,的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,转化为函数的最值问题是解题的关键.15、【解析】
判断的奇偶性和单调性,原不等式转化为,运用单调性,可得到所求解集.【详解】令,易知函数为奇函数,在R上单调递增,,即,∴∴,即x>故答案为:【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用:解不等式,考查转化思想和运算能力,属于中档题.16、【解析】
试题分析:作出不等式组所表示的平面区域如图,当直线过点时,最大,且考点:线性规划.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)求导得到,讨论,,三种情况得到单调区间.(Ⅱ)设,要证,即证,,设,根据函数单调性得到证明.【详解】(Ⅰ),令,,(1)当,即时,,,在上单调递增;(2)当,即时,设的两根为(),,①若,,时,,所以在和上单调递增,时,,所以在上单调递减,②若,,时,,所以在上单调递减,时,,所以在上单调递增.综上,当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.(Ⅱ)不妨设,要证,即证,即证,由(Ⅰ)可知,,,可得,,所以有,令,,所以在单调递增,所以,因为,所以,所以.【点睛】本题考查了函数单调性,证明不等式,意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.18、(1)(x-1)2+y2=4,直线l的直角坐标方程为x-y-2=0;(2)3.【解析】
(1)消参得到曲线的普通方程,利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程;(2)先得到直线的参数方程,将直线的参数方程代入到圆的方程,得到关于的一元二次方程,由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.【详解】(1)由曲线C的参数方程(α为参数)(α为参数),两式平方相加,得曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=4;由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos-ρsinθsin=ρcosθ-ρsinθ=2,即直线l的直角坐标方程为x-y-2=0.(2)由题意可得P(2,0),则直线l的参数方程为(t为参数).设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则|PA|·|PB|=|t1|·|t2|,将(t为参数)代入(x-1)2+y2=4,得t2+t-3=0,则Δ>0,由韦达定理可得t1·t2=-3,所以|PA|·|PB|=|-3|=3.19、(1)(2)((3)见证明【解析】
(1)先求函数导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性,最后根据函数单调性确定最小值取法;(2)先分离不等式,转化为对应函数最值问题,利用导数求对应函数最值即得结果;(3)构造两个函数,再利用两函数最值关系进行证明.【详解】(1)当时,单调递减,当时,单调递增,所以函数f(x)的最小值为f()=;(2)因为所以问题等价于在上恒成立,记则,因为,令函数f(x)在(0,1)上单调递减;函数f(x)在(1,+)上单调递增;即,即实数a的取值范围为(.(3)问题等价于证明由(1)知道,令函数在(0,1)上单调递增;函数在(1,+)上单调递减;所以{,因此,因为两个等号不能同时取得,所以即对一切,都有成立.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.20、(1)见解析(2)【解析】
(1)利用正弦定理求得,由此得到,结合证得平面,由此证得.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出二面角的余弦值,再转化为正弦值.【详解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,,设平面的法向量为,由可得:,令,则,设平面的法向量为,由可得:,令,则,设二面角的平面角为,由图可知为钝角,则,,故二面角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.21、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)证明平面即平面平面得证;(2)分别以所在直线为x轴,y轴.轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,再利用向量方法求二面角的余弦值.【详解】(1)证明:因为平面ABC,所以因为.所以.即又.所以平面因为平面.所以平面平面(2)解:由题可得两两垂直,所以分别以所在直线为x轴,y轴.轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则,所以设平面的一个法向量为,由.得令,得又平面,所以平面的一个法向量为.所以二面角的
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