复变函数全书知识点

复变函数全书知识点第1页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三复数的诞生先从二次方程谈起:

公元前400年，巴比伦人发现和使用

则当时无解，当时有解．二千多年没有进展：寻找三次方程

的一般根式解．

G.Cardano(1501-1576):＂怪才＂，精通数学，医学，语言学，文学，占星学．他发现没有根，形式地表为第2页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

L.Euler(1707-1783):瑞典数学家,13岁入大学，17岁获硕士,30岁右眼失明，60岁完全失明．1748年：Euler公式C.Wessel(挪威1745-1818)和R.Argand(法国1768-1822）将复数用平面向量或点来表示．K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展．R.Descartes(笛卡儿):1596-1650,法国哲学家，坐标几何的创始人．1637他称一个负数的开方为虚数(imaginarynumber).

1777年：首次使用"i"表示，创立了复变函数论，并应用到水利学，地图制图学

．

第3页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。第一章复数与复变函数§1.1复数及其运算定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数。1.复数的概念第4页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

一般,任意两个复数不能比较大小。复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)复数的模判断复数相等第5页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算四则运算第6页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，第7页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三共轭复数的性质3.共轭复数定义若z=x+iy,称z=x-iy

为z的共轭复数.(conjugate)第8页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第9页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第10页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三1.点的表示点的表示：

数z与点z同义.§1.2复数的几何表示第11页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三2.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)第12页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz。

z=0时，辐角不确定。

计算argz(z≠0)

的公式第13页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三当z落于一,四象限时，不变。

当z落于第二象限时，加。

当z落于第三象限时，减。

第14页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指数表示法第15页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此第16页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三2)显然,r=|z|=1,又因此练习：写出的辐角和它的指数形式。解：第17页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例1将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.

[解]

通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)第18页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成

z=z1+t(z2-z1).(0t1)取得知直线段的中点为例2求下列方程所表示的曲线:第19页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三解：设z=x+iy

,

方程变为-iOxy几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为y=-x,也可用代数的方法求出。第20页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三Oxy-22iy=-x设z=x+iy

,那末可得所求曲线的方程为y=-3.Oyxy=-3第21页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三注:这里A是复数,B是实数.第22页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.用直线将复平面内任一点z与N相连,必与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,

而N点本身可代表无穷远点,记作.

这样的球面称作复球面.4.复球面与无穷远点第23页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三扩充复数域---引进一个“新”的数∞:扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点

∞.约定:

注:若无特殊说明,平面均指有限复平面.第24页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理1

两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)

1.乘积与商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2§1.3复数的乘幂与方根

第25页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度

Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。定理1可推广到n个复数的乘积。oxy(z)z1z2z2第26页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例：设则：即k=m+n+1则有第27页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理2

两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。证明Argz=Argz2-Argz1即：由复数除法的定义z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）第28页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第29页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第30页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。2.复数的乘幂定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作zn，即zn=zzz（共n个）。定义特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isinnθ，则有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

一棣模佛(DeMoivre)公式。第31页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的复数ω。3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，第32页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。xyo第33页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第34页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三1.区域的概念邻域复平面上以z0为中心，任意δ>0为半径的圆|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

内部的点的集合称为点z0的δ（去心）邻域。记为Ｕ(z0,δ)即，设G是一平面上点集内点对任意z0属于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使该邻域内的所有点都属于G，则称z0是G的内点。§1.4复平面上的点集第35页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三开集若G内的每一点都是内点，则称G是开集。连通是指区域设D是一个开集，且D是连通的，称

D是一个区域。D-区域边界与边界点已知点P不属于D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；内点外点D的所有边界点组成D的边界。P第36页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三有界区域与无界区域若存在R>0,对任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，则D是有界区域；否则无界。闭区域区域D与它的边界一起构成闭区域,第37页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第38页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三2.简单曲线（或Jardan曲线)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;则曲线方程可记为：z=z(t)，a≤t≤b有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。第39页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三重点设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，对于t1∈(a，b),t2∈[a,b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线C的重点。定义称没有重点的连续曲线C为简单曲线或Jardan曲线;若简单曲线C满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线。z(a)=z(b)简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线第40页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三3.单连通域与多连通域简单闭曲线的性质任一条简单闭曲线C：z=z(t)，t∈[a，b]，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部外部边界定义

复平面上的一个区域B，如果B内的任何简单闭曲线的内部总在B内，就称B为单连通域；非单连通域称为多连通域。第41页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例如

|z|<R（R>0）是单连通的；

0≤r<|z|≤R是多连通的。单连通域多连通域多连通域单连通域第42页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义

§1.5复变函数第43页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第44页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例1例2第45页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：定义域函数值集合

2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)w第46页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

以下不再区分函数与映射（变换）。

在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v

与x，y

之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）第47页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例3解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—旋转变换(映射)见图2例4解第48页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2图2uv(w)o第49页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第50页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

3.反函数或逆映射例设z=w2

则称为z=w2的反函数或逆映射∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.第51页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例已知映射w=z3

，求区域0<argz<在平面w上的象。例第52页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三1.函数的极限定义uv(w)oAxy(z)o几何意义:

当变点z一旦进入z0

的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中§1.6复变函数的极限和连续性第53页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

(1)

意义中的方式是任意的.

与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数.

2.运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理1(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.第54页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理2

以上定理用极限定义证!第55页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例1例2例3第56页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三3.函数的连续性定义定理3第57页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。证明xy(z)ozz第58页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)

仍为连续函数;

连续函数的复合函数仍为连续函数；连续函数的模也连续。有界性：第59页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第二章解析函数基础§2.1复变函数的导数第60页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三(1)导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。第61页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1第62页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三(2)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).证明对于复平面上任意一点z0，有----实函数中求导法则的推广第63页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三③设函数f(z),g(z)均可导，则

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)第64页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三④复合函数的导数(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。第65页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？例2解解第66页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。证明第67页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,

但在复变函数中，却轻而易举。思考题第68页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三解：所以在复平面上除原点外处处不可导。第69页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?第70页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三可微定义:若函数w=f(z)在点z的改变量可写成(4)可导与可微第71页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三可导可微易知A(z)=f'(z)当f(z)=z时,dz=∆z.所以常记

dw=df(z)=f'(z)dz.第72页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三一.解析函数的概念定义

如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称

f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数

(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。

(1)w=f(z)在D内解析在D内可导。

(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析。§2.2解析函数第73页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4)；仅在原点可导，故在整个复平面上不解析。定理1设w=f

(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0时)均是D内的解析函数。第74页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理2设w=f(h)在h

平面上的区域G内解析,

h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析。第75页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。我们将从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题如何判断函数的解析性呢？第76页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三二.解析函数的充要条件第77页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第78页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第79页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三记忆定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).第80页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三C-R方程等价于证明:

第81页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是

u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足

Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有第82页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三证明（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证

f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）。∵函数w=f(z)点z可导，即则f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且第83页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可写为因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy第84页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足

C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：第85页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第86页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.

利用该定理可以判断那些函数是不可导的.第87页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，

ii)验证C-R条件.iii)求导数：

前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.推论：第88页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三三.举例例1

判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)设z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

则第89页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny第90页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三仅在点z=0处满足C-R条件，故解(3)设z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0则第91页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例2

求证函数证明由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f(z)在z≠0处解析，其导数为第92页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例3证明第93页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函数，且f(z)≠0，那么曲线族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，这里C1

、C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、

vy

均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交.第94页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的,它们仍互相正交。例如两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2=c1,2xy=c2互相正交。第95页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10a=2,b=-1,c=-1,d=2练习:第96页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

解析函数退化为常数的几个充分条件：(a)

函数在区域内解析且导数恒为零；(b)

解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数；(c)

解析函数的共轭在区域内解析。第97页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定义定理§2.3调和函数第98页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三证明：设f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在区域D内解析，则第99页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义第100页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：第101页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三如第102页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第103页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理第104页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，第105页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的关系。第106页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例1解曲线积分法第107页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三故

第108页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三又解凑全微分法第109页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三又解偏积分法第110页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三又解不定积分法第111页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三§2.4初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。第112页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义第113页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第114页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三这个性质是实变指数函数所没有的。第115页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

例1例2例3第116页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三二.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义第117页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三故第118页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三特别

第119页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三(2)对数函数的性质第120页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例4第121页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例5解下列方程：[解]第122页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三三.乘幂与幂函数乘幂ab定义

—多值—一般为多值第123页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三—q支第124页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a

的

n次根意义一致。

(1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a的n次幂意义一致。第125页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三解例6第126页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三幂函数zb定义①当b=n(正整数)w=zn在整个复平面上是单值解析函数第127页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值。第128页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三四.三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义第129页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三正弦与余弦函数的性质第130页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三思考题第131页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第132页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义第133页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第134页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质第135页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第136页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三五.反三角函数与反双曲函数详见P55重点：指数函数、对数函数、乘幂．第137页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第三章复变函数的积分第138页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三1.有向曲线§3.1复变函数积分的概念第139页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三CA(起点)B(终点)CC第140页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

2.积分的定义定义DBxyo第141页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

第142页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三3.积分存在的条件及其计算法定理

第143页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三证明第144页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

第145页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三由曲线积分的计算法得第146页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例1解又解Aoxy第147页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三oxy例2解第148页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例3解oxyrC第149页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三îíì¹==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

第150页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

4.积分性质由积分定义得：第151页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例题4

证明：

例如练习第152页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三§3.2柯西积分定理实变函数的线积分:

若D为单连通区域,P(x,y),Q(x,y)在D具有一阶连续偏导数,则

再由Green公式知道

第153页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三问题:复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)满足什么条件在单连通区域D内沿闭路径的积分为零?要使只要这只须u与v具有一阶连续偏导数且ux=vy,uy=-vx.第154页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三—Cauchy定理第155页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也称Cauchy定理第156页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。BBC推论设f(z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0,z1∈B,积分∫cf(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。Cz1z0C1C2C1C2z0z1第157页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三二、原函数与不定积分推论：如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,C属于D，与路径无关仅与起点和终点有关。其中C：。固定z0,z1=z在D内变化,于是在D内确定了关于z的单值函数:变上限积分。第158页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理2

如果函数f(z)在单连通域D内解析,则F(z)在D内也是解析的，且证明：第159页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三因f(z)在D内解析，故f(z)在D内连续第160页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定义若函数(z)

在区域B内的导数等于f(z)

，即

,称(z)为f(z)在B内的原函数.上面定理表明是f(z)的一个原函数。设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章§2例3)第161页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三2.积分计算公式定义设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.

但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强第162页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例1计算下列积分：解1)

第163页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三解2)第164页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例3计算下列积分：第165页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三这里D为复连通域。第166页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三小结求积分的方法第167页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三可将柯西积分定理推广到多连通域的情况，有定理2

假设C及C1为任意两条简单闭曲线,C1在C内部,设函数f(z)在C及C1所围的二连域D内解析,在边界上连续，则证明：取这说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.—闭路变形原理第168页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三推论（复合闭路定理）：(互不包含且互不相交)，

所围成的多连通区域，

第169页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例题2C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解：

（由闭路变形原理）第170页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第171页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例解C1C21xyo第172页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三分析DCz0C1§3.3Cauchy积分公式第173页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三DCz0C1∴猜想积分第174页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理(Cauchy积分公式)证明第175页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第176页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

第177页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.第178页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例1解第179页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例2解CC1C21xyo第180页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例3解第181页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。§3.4解析函数的高阶导数第182页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理证明用数学归纳法和导数定义。第183页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三令为I第184页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第185页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三依次类推，用数学归纳法可得第186页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三一个解析函数的导数仍为解析函数。第187页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例1解第188页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第189页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第190页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第四章级数§1复数项级数与幂级数第191页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

1.复数列的收敛与发散定义又设复常数：定理1证明第192页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第193页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三2.复数项级数级数的前面n项的和---级数的部分和不收敛---无穷级数定义设复数列：

第194页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例1解定理2证明第195页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。性质定理3证明第196页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

?定义由定理3的证明过程，及不等式定理4第197页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三解例2第198页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例3解练习：第199页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三3.幂级数定义设复变函数列：---称为复变函数项级数级数的最前面n项的和---级数的部分和

第200页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中称为幂级数第201页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1(阿贝尔(Able)定理）第202页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三证明第203页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三(2)用反证法，由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛。(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。第204页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三显然，<否则，级数(3)将在处发散。将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。故播放第205页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第206页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.第207页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理2第208页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三推论3(根值法)推论1(比值法)第209页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例1解

综上第210页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解(1)该级数收敛该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是处处收敛的。第211页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

综上该级数发散。该级数收敛，第212页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三故该级数在复平面上是处处收敛的.第213页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三5.幂级数的运算和性质

代数运算

---幂级数的加、减运算---幂级数的乘法运算第214页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三---幂级数的代换(复合)运算幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.例3解代换第215页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三解代换展开还原第216页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

分析运算

定理4---幂级数的逐项求导运算---幂级数的逐项积分运算第217页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三1.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）由幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。§2泰勒级数第218页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三定理（泰勒展开定理）第219页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三设函数f(z)在区域D内解析,而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,把它记作K,它与它的内部全含于D,又设z为K内任一点.z0Kzrz第220页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三按柯西积分公式,有且z0Kzrz第221页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三由解析函数高阶导数公式,上式可写成圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0的泰勒展开式在圆域|z-z0|<d内成立.z0Kzrz第222页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

第223页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三2.展开式的唯一性结论解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:第224页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。---直接法---间接法代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：第225页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三例1解第226页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三第227页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.例2把下列函数展开成z的幂级数:解第228页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三(2)由幂级数逐项求导性质得：第229页，讲稿共258页，2023年5月2日，星期三

(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负