1-17 平行线几何模型-M模型（基础篇）（专项练习）-（浙教版）

专题1.17平行线几何模型-M模型（基础篇）（专项练习）一、单选题1．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（）A．90° B．105° C．120° D．135°2．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．50°3．如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（）A．120° B．130° C．140° D．150°4．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．5°5．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°二、填空题6．如图，在中，，，．在上取一点，上取一点，连接，若，过点作，且点在的右侧，则的度数为__________．7．如图，，则____________________．8．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____．9．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．三、解答题10．如图所示，已知，平分，平分，求证：11．如图，AB//CD，点为两平行线间的一点．请证明两个结论．

（1）；（2）．12．（1）如图1，，，，则；（2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系．13．在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：证明：过点，作，如图2∴______（_________________）∵，_______=（已知）∴（___________）∴______=_______∴_____（________________）∵∴14．如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度数．15．如图，已知，求证：.16．如图所示，，平分，平分，的余角等于的补角，求的度数.17．（1）已知：如图（a），直线．求证：；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？18．如图，，点E在直线AB，CD内部，且．（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；（2）如图2，点M在线段AE上，①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由；②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由．19．已知直线l1//l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）20．如图，直线AB//CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为______________．21．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数．

（1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；（2）如图3，，点在直线上运动，记，．①当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；②若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系．22．直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．23．在图中，若，又得到什么结论？参考答案1．B【分析】先作直线OE平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质即可得到答案.【详解】作直线OE平行于直角三角板的斜边．可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°，故∠1的度数是：60°+45°＝105°．故选B．【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质.2．B【分析】根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【详解】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故选：B．【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．3．B【分析】过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数．【详解】解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a，∵a∥b，∴a∥b∥AB，∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，又∵∠CAD=90°，∴∠4=50°，∴∠5=50°，∴∠1=180°-50°=130°，故选：B．【点拨】本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．4．B【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．【详解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．5．D【详解】分析：过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可.详解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∴故选D．点睛：考查平行公理已经平行线的性质，注意辅助线的作法，作出辅助线是解题的关键.6．【分析】在中，由三边的长度可得出，进而可得出为直角三角形且，由于平行线之间有拐点，所以过点C作交AB于点M，则，利用平行的性质可得出的度数，结合可求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出的度数．【详解】解：在中，，，，∵，即，∴为直角三角形且．过点C作交AB于点M，则，如下图所示，∵，，∴，∴．又∵，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理以及平行线的性质，利用勾股定理的逆定理，找出并知道过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．7．【分析】过点做的平行线，利用平行线的性质，即可证明．【详解】过点做的平行线，又又.故答案为：．【点拨】本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线．8．38°【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．【详解】如图，过点B作BD∥a，

∴∠ABD=∠1=22°，

∵a∥b，

∴BD∥b，

∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．

故答案为：38°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．9．y=90°-x+z．【分析】作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．【详解】解：作CG∥AB，DH∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CG∥HD∥EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，∴∠y=∠z+90°-∠x．即y=90°-x+z．【点拨】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．10．见解析【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：如图：∵AB∥CD，

∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，

∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．

∵∠3是三角形的外角，

∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，，

即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，

∴∠E＝（∠A＋∠C）．【点拨】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键．11．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）过点作，根据平行线的性质求证即可；（2）根据平行线的性质即可得证；【详解】（1）过点作，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，，，．

（2），，又∵∠BED=∠BEF+∠DEF，．【点拨】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．（1）；（2），理由详见解析；（3）当点在射线上时，；当点在上时，．【分析】（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可；（2）过点作交于点，然后根据平行线的性质求解即可；（3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可；【详解】（1）如图1，过作，，，又，，则（2）理由是：如图2，过点作交于点，，（3）当点在射线上时，设CD与AP交于点P，如图所示，∵，∴，又∵在△CHP中，，∴，即：．当点在上时，如图所示，

作PE∥AB，

∴∠APE=∠BAP=∠α，

∵AB∥CD，

∴PE∥CD，

∴∠CPE=∠PCD=∠β，

∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．

答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α．

即．【点拨】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．13．BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．【详解】证明：过点，作，如图2，（两直线平行内错角相等），，（已知），（等量代换），，（内错角相等两直线平行），，．故答案为：，两直线平行内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等两直线平行．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．14．110°．【分析】作BF∥AE，由平行线的性质得∠A+∠ABF=180º，可求∠ABF=180º-∠A，由∠B＝110°，可求∠CBF=∠ABC-∠ABF=70º，由AE∥CD，推出BF∥CD，利用平行线的性质∠FBC+∠C=180º，可求∠C．【详解】如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度数．作BF∥AE，∴∠A+∠ABF=180º，∵∠A＝140°，∴∠ABF=180º-∠A=40º，∵∠ABC＝110°，∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=110º-40º=70º，∵AE∥CD，∴BF∥CD，∴∠FBC+∠C=180º，∴∠C=180º-∠FBC=180º-70º=110º．【点拨】本题考查平行线的性质问题，关键是掌握平行线的判定与性质，会利用平行线的性质求角，会作平行线，利用平行线的判定方法证明两线平行．15．见解析.【分析】作PQ∥BE，由平行线的性质和判定可求证BE∥FC，然后再由邻补角的定义、三角形外角的性质及平行线的性质可求证∠A+∠B+∠C+∠D=180°.【详解】解：作PQ∥BE，如图所示：∵BE∥PQ，∴∠1=∠EOP，∵∠3=∠1+∠2，∠3=∠EOP+∠POF，∴∠2=∠POF，∴PQ∥FC，∴BE∥FC，∴∠AME=∠FNA，又∵∠AME=∠A+∠B,∠FND=∠C+∠D,∠FNA+∠FND=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°.【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形的外角和定理、邻补角的定义等知识点，根据题意和所学知识证明BE∥FC是解题的关键.16．.【分析】先设，.由题意的，，又因为的余角等于的补角，所以，最终求得.【详解】设，.由基本图形HABCG知，由基本图形HAFCG知，因为的余角等于的补角，所以，解得，所以【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线、余角和补角，解题的关键是设，，由题意得到有关x，y有关的等式.17．（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．【详解】解：（1）证明：过点C作CF∥AB，

∵AB∥ED，

∴AB∥ED∥CF，

∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，

∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，

证明：如图：

∵AB∥ED，

∴∠ABC=∠BFD，

在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，

∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，

∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若点C在直线AB与DE之间，猜想,∵AB∥ED∥CF，∴∴.【点拨】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．18．（1）见解析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析.【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.【详解】（1）解：因为，所以∠BAC+∠DCA=180°，因为，所以∠EAC+∠ECA=90°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，所以∠BAE+∠DCE=90°，所以∠EAC+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠ECA，所以CE平分∠ACD；（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°.【点拨】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.19．（1）；（2）当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．【分析】（1）过点作，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出，再由“两直线平行，内错角相等”得出、，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点的两种情况分类讨论：①当点在直线上方时；②当点在直线下方时，同理（1）可得、，再根据角与角的关系即可得出结论．【详解】解：（1）．过点作，如图1所示．，，，，，，．（2）结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．①当点在直线上方时，如图2所示．过点作．，，，，，，．②当点在直线下方时，如图3所示．过点作．，，，，，，．【点拨】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．20．40°或140°【分析】分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，可得EG∥FH∥AB，根据AB∥CD，可得EG∥FH∥AB∥CD，情况一根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°；情况二根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．进而得到结论．【详解】解：分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，∴EG∥FH∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥FH∥AB∥CD，如图，∵EG∥AB∥CD，∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG，∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°，如图，∵EG∥AB∥CD，∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG，∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，∴∠AME+∠CNE=360°-（∠BME+∠DNE）=280°∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．综上所述：∠MFN的度数为40°或140°．故答案为：40°或140°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．21．（1）见解析；（2）①，见解析；②【分析】（1）过作，利用平行线的性质即可得出答案；（2）①过作，再利用平行线的性质即可得出答案；②分在延长线上和在延长线