2022-2023学年安徽省芜湖市新港中学高二数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年安徽省芜湖市新港中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若,则等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略2.设||=1，||=2，且、夹角120°，则|2+|等于(

)A．2 B．4 C．12 D．2参考答案：A【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量模的平方等于向量的平方，再开方求出向量的模．【解答】解：据题意=∴=4﹣4+4=4∴故选A【点评】本题考查向量的数量积公式、考查向量模的平方等于向量的平方常利用此性质解决向量模的问题．3.已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为（）A． B．﹣2 C．﹣2或 D．不存在参考答案：A【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由于f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，于是有b=﹣3﹣2a，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；∴=﹣=﹣．故选A．4.设（1﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014+a2015x2015，则a2014=（）A．﹣2014B．2014C．﹣2015D．2015参考答案：D5.废品率x%和每吨生铁成本y（元）之间的回归直线方程为y=256+3x,表明（

）A.废品率每增加1%，生铁成本增加259元.

B.废品率每增加1%，生铁成本增加3元.C.废品率每增加1%，生铁成本每吨增加3元.

D.废品率不变，生铁成本为256元.参考答案：C略6.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且，则的面积是（***）A.1

B.

C.2

D.参考答案：A7.已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为 ()A．0

B．－4 C．20 D．24参考答案：B8.由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A． B．4 C． D．6参考答案：C【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．9.圆x2+y2﹣2x+4y=0与2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）的位置关系为(

)A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】观察动直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）可知直线恒过点（1，﹣2），然后判定点（1，﹣2）在圆内，从而可判定直线与圆的位置关系．【解答】解：直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0恒过（1，﹣2）而12+（﹣2）2﹣2×1+4×（﹣2）=﹣5＜0∴点（1，﹣2）在圆x2+y2﹣2x+4y=0内则直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0与圆x2+y2﹣2x+4y=0相交故选：C．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定，解题的关键找出直线恒过的定点，属于基础题．10.椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为

则点的位置（

）．

A.必在圆内

B.必在圆上

C.必在圆外

D.以上三种情况都有可能参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是

参考答案：略12.已知为直线上的动点，，则的最小值为

.参考答案：4略13.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线．切点为T，且|PT|的最小值为，则椭圆的离心率e的取值范围是

．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】利用切线的性质和勾股定理可得|PT|=，利用椭圆的性质可得|PF2|的最小值为a﹣c，再利用题意可|PT|的最小值为，即可得出离心率e满足的不等式，再利用b＞c，可得b2＞c2，即a2﹣c2＞c2，又得出e满足的不等式，联立解出即可．【解答】解：∵|PT|=，而|PF2|的最小值为a﹣c，∴，∴（a﹣c）2≥4（b﹣c）2，∴a﹣c≥2（b﹣c），∴a+c≥2b，∴（a+c）2≥4（a2﹣c2），化为5c2+2ac﹣3a2≥0，即5e2+2e﹣3≥0

①．∵b＞c，∴b2＞c2，∴a2﹣c2＞c2，∴a2＞2c2，∴．②由①②解得．故椭圆离心率的取值范围为．故答案为．【点评】熟练掌握椭圆的性质、离心率的计算公式、圆的切线的性质、勾股定理、一元二次不等式的解法是解题的关键．14.在极坐标系中，圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值是

_________．参考答案：.的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的最小值为.15.把圆的参数方程化成普通方程是______________________．参考答案：

16.函数f（x）=，不等式f（x）＞2的解集为．参考答案：{x|1＜x＜2或x＞}【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法．【分析】先分两段分别解不等式，最后所求将不等式解集合并即可【解答】解：不等式f（x）＞2?①或②由①得1＜x＜2，由②得x＞∴不等式f（x）＞2的解集为{x|1＜x＜2或x＞}故答案为{x|1＜x＜2或x＞}17.函数=的最小值是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.双曲线（a＞0，b＞0），过焦点F1的弦AB（A、B在双曲线的同支上）长为m，另一焦点为F2，求△ABF2的周长．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义可得|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|AF1|=2a，结合|AF1|+|BF1|=|AB|=m，即可求得△ABF2的周长．【解答】解：∵|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|AF1|=2a，…∴（|AF2|﹣|AF1|）+（|BF2|﹣|BF1|）=4a，…又|AF1|+|BF1|=|AB|=m，∴|AF2|+|BF2|=4a+（|AF1|+|BF1|）=4a+m．…∴△ABF2的周长等于|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m．…19.

计算（1）设︱a︱<3,化简（2）若x>0，求(2x＋3)(2x－3)－4

(x－)参考答案：（1）

-2a-2，-3＜x＜1

（2）-23

-4

，1≤x＜320.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x∈（0，0.048），则当x为多少时，银行可获得最大收益？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意知：存款量f（x）=kx2，当利率为0.012时，存款量为1.44亿，由1.44=k?（0.012）2，得k=10000，得f（x）=10000x2，银行应支付的利息g（x）=x?f（x）=10000x3，设银行可获收益为y，则y=480x2﹣10000x3，再由导数性质能求出当x为多少时，银行可获得最大收益．【解答】解：由题意知：存款量f（x）=kx2，当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即x=0.012时，y=1.44；由1.44=k?（0.012）2，得k=10000，∴f（x）=10000x2，银行应支付的利息g（x）=x?f（x）=10000x3，设银行可获收益为y=贷款收益﹣利息支出，则y=480x2﹣10000x3，由于y'=960x﹣30000x2，则y'=0，即960x﹣30000x2=0，得x=0或x=0.032．因为x∈（0，0.032）时，y'＞0，此时，函数y=480x2﹣10000x3递增；x∈（0.032，0.048）时，y'＜0，此时，函数y=480x2﹣10000x3递减；故当x=0.032时，y有最大值，其值约为0.164亿．21.在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若?=4，b=4，求边a，c的值．参考答案：【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值．（2）由?=4可得ac=12，再由余弦定理可得a2+c2=40，由此求得边a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得sinBcosC=（3sinA﹣sinC）cosB，∴3sinA?cosB﹣sinC?cosB=sinBcosC，化为：3sinA?cosB=sinC?cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=．（2）由?=4，b=4，可得，a?c?cosB=4，即ac=12．…①．再由余弦定理可得b2=32=a2+c2﹣2ac?cosB=a2+c2﹣，即a2+c2=40，…②．由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得，，或．【点评】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查两角和公式．考查了学生综