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文档简介
黑龙江省哈尔滨市第六十九中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是A.B.C.D.参考答案:A【知识点】指数函数的图像与性质∵实数x,y满足ax<ay(0<a<1),∴x>y,A.当x>y时,,恒成立,B.当x=π,y=时,满足x>y,但不成立.C.若,则等价为x2>y2成立,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2>y2不成立.D.若,则等价为x2+1<y2+1,即x2<y2,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2<y2不成立.故选:A.【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.
2.某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详见选票.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,70%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为A.68% B.88%C.96% D.98%参考答案:C【分析】设投1票的有x,2票的y,3票的z,由题列出x,y,z的关系,推理即可【详解】设投1票的有x,2票的y,3票的z,则,则z-x=4,即z=x+4,由题投票有效率越高z越小,则x=0时,z=4,故本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为96%故选:C【点睛】本题考查推理的应用,考查推理与转化能力,明确有效率与无效票之间的关系是解题关键,是中档题3.设函数,则函数有零点的区间是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:D,,∴,故选D.4.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12 B.13 C.14 D.15参考答案:A【考点】B4:系统抽样方法.【分析】由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列,求得此等差数列的通项公式为an,由751≤an≤1000求得正整数n的个数,即为所求.【解答】解:由1000÷50=20,故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列,且此等差数列的通项公式为an=8+(n﹣1)20=20n﹣12.由751≤20n﹣12≤1000解得38.2≤n≤50.6.再由n为正整数可得
39≤n≤50,且n∈Z,故做问卷C的人数为12,故选A.5.x,y满足约束条件目标函数z=2x+y,则z的取值范围是(
)
(A)
(B)(C)[2,+∞)
(D)[3,+∞)参考答案:C试题分析:作出可行域及目标函数如图:将变形可得.平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时,纵截距最小,此时也取最小值为;因为平移目标函数线时其纵截距,所以此时.所以.故C正确.考点:线性规划.6.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A.240(﹣1)m B.180(﹣1)m C.120(﹣1)m D.30(+1)m参考答案:C【考点】解三角形的实际应用;余弦定理的应用.【专题】解三角形.【分析】由题意画出图形,由两角差的正切求出15°的正切值,然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度,作差后可得答案.【解答】解:如图,由图可知,∠DAB=15°,∵tan15°=tan(45°﹣30°)==.在Rt△ADB中,又AD=60,∴DB=AD?tan15°=60×(2﹣)=120﹣60.在Rt△ADC中,∠DAC=60°,AD=60,∴DC=AD?tan60°=60.∴BC=DC﹣DB=60﹣(120﹣60)=120()(m).∴河流的宽度BC等于120()m.故选:C.【点评】本题考查了解三角形的实际应用,考查了两角差的正切,训练了直角三角形的解法,是中档题.7.已知点在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线上,抛物线的焦点为,准线为,过点作的垂线,垂足为,若,的面积为,则焦点到准线的距离为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D8.当-1<m<1时,复数(1-i)+m(1+i)在复平面内对应的点位于:A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限参考答案:D9.设在函数的图象上的点处的切线斜率为k,若,则函数的图像大致为参考答案:A10.下列命题中,真命题是A. B.C. D.参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线以点(1,-)为切点的切线的倾斜角为
参考答案:45略12.如图所示,某公园设计节日鲜花摆放方案,其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛.顶层一个,以下各层堆成正六边形,逐层每边增加一个花盆,若这垛花盆一共有8层花盆,则最底层的花盆的总个数是
参考答案:169
13.i是虚数单位,计算等于
。参考答案:略14.若命题“?x∈R,x2+2mx+m≤0”是假命题,则实数m的取值范围是.参考答案:(0,1)考点:命题的真假判断与应用.专题:简易逻辑.分析:本题先利用原命题是假命题,则命题的否定是真命题,得到一个恒成立问题,再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0,解不等式,得到本题结论.解:∵命题“?x∈R,使得x2+2mx+m≤0”,∴命题“?x∈R,使得x2+2mx+m≤0”的否定是“?x∈R,使得x2+2mx+m>0”.∵命题“?x∈R,使得x2+2mx+m≤0”是假命题,∴命题“?x∈R,使得x2+2mx+m>0”是真命题.∴方程x2+2mx+m=0的判别式:△=4m2﹣4m<0.∴0<m<1.故答案为:(0,1).【点评】本题考查了命题的否定、二次函数的图象,本题难度不大,属于基础题.15.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/1OOmL(不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时,属醉酒驾车.据有关调査,在一周内,某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共100人.如图是对这100人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为有_____
参考答案:1516.如图,矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx及直线x=a(a∈(0,2π)与x轴围成.向矩形OABC内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为,则a=.参考答案:π【考点】几何概型.【专题】概率与统计.【分析】根据几何概型的概率公式,以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论.【解答】解:根据题意,阴影部分的面积为==1﹣cosa,矩形的面积为,则由几何概型的概率公式可得,即cosa=﹣1,又a∈(0,2π),∴a=π,故答案为:π【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算,根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键.17.已知函数,给出下列五个说法:①.
②若,则.③在区间上单调递增.④将函数的图象向右平移个单位可得到的图象.⑤的图象关于点成中心对称.其中正确说法的序号是
.参考答案:【知识点】命题的真假判断与应用;正弦函数的对称性;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.A2C4
【答案解析】①④
解析:f(x)=cosx?sinx=,为奇函数.①f()=f()=,正确;②由f(x1)=﹣f(x2)=f(﹣x2),知x1=﹣x2+2kπ?或x1=π﹣x2+2kπ?,k∈Z;所以②错误.③令,得,由复合函数性质知f(x)在每一个闭区间上单调递增,但[﹣,],故函数f(x)在[﹣,]上不是单调函数;所以③错误.④将函数f(x)的图象向右平移个单位可得到,所以④错误;⑤函数的对称中心的横坐标满足2x0=kπ,解得,即对称中心坐标为,则点(﹣,0)不是其对称中心.所以⑤错误.故答案为①.【思路点拨】利用三角公式和三角函数的图象和性质分别进行判断即可.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知抛物线,过焦点作动直线交于两点,过分别作圆的两条切线,切点分别为.若垂直于轴时,.(Ⅰ)求抛物线方程;(Ⅱ)若点也在曲线上,为坐标原点,且,,求实数的取值范围.参考答案:(Ⅰ);
(Ⅱ)略19.如图,已知四棱台的上下底面分别是边长为3和6的正方形,,且底面,点分别在棱上,且,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.参考答案:(1)证明见解析;(2).试题解析:(1)证明:在线段上取一点,使得,连结.∵,,,∴,又,∴,∴四边形为平行四边形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)解;由题设知,两两垂直,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标分别为.由题设知,.设是平面的一个法向量,则,即,取得,又平面的一个法向量,∴,故二面角的余弦值为.考点:线面平行的判定,二面角.【名师点睛】求二面角,通常是用空间向量法,即建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出二面角两个面的法向量,由法向量的夹角求得二面角.在用这种方法求解时,有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角,就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角.20.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=4,n∈N*(1)求数列{an}的通项公式;(2)已知cn=2n+3(n∈N*),记dn=cn+logCan(C>0,C≠1),是否存在这样的常数C,使得数列{dn}是常数列,若存在,求出C的值;若不存在,请说明理由.(3)若数列{bn},对于任意的正整数n,均有成立,求证:数列{bn}是等差数列.参考答案:【考点】数列的求和.【专题】转化思想;作差法;等差数列与等比数列.【分析】(1)利用“当n=1时,a1=S1;当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出;(2)dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=(2﹣logC2)n+3+2logC2,假设存在这样的常数C,使得数列{dn}是常数列,则2﹣logC2=0,解得C即可;(3)由于对于任意的正整数n,均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=()n﹣成立(*),b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=()n+1﹣.(*)两边同乘以可得:b1an+1+b2an+…+bna2=()n+1﹣.两式相减可得可得bn+1=,即bn=,(n≥3).n=1,2也成立,即可证明.【解答】解:(1)∵Sn+an=4,n∈N*.∴当n≥2时,Sn﹣1+an﹣1=4,∴an+an﹣an﹣1=0,即an=an﹣1.当n=1时,2a1=4,解得a1=2.∴数列{an}是等比数列,an=2?()n﹣1=22﹣n.(2)dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=2n+3+(2﹣n)logC2=(2﹣logC2)n+3+2logC2,假设存在这样的常数C,使得数列{dn}是常数列,则2﹣logC2=0,解得C=.∴存在这样的常数C=,使得数列{dn}是常数列,dn=3+2=7.(3)证明:∵对于任意的正整数n,均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=()n﹣成立(*),∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=()n+1﹣.①(*)两边同乘以可得:b1an+1+b2an+…+bna2=()n+1﹣.②.①﹣②可得bn+1a1=﹣=,∴bn+1=,∴bn=,(n≥3).又2b1=﹣,解得b1=﹣.b1a2+b2a1=﹣,∴﹣×1+b2×2=﹣,解得b2=﹣.当n=1,2时,bn=,也适合.∴bn=,(n∈N*)是等差数列.【点评】本题考查an=,将给的和项混合式转化为项与项之间或和与和之间的关系式,然后再求通项或和的公式是一种常考模式,注意灵活地运用“错位相减法”的解题策略.21.(本小题满分12分)长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”,开幕式当天组织举行大型的文艺表演,同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示。其中有的社长是高中学生,的社长是初中学生,高中社长中有是高一学生,初中社长中有是初二学生。(1)若校园电视台记者随机采访3位社长,求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率;(2)若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长,设初二学生人数为,求的分布列及数学期望。参考答案:(Ⅰ)由题意得,高中学生社长有27人,其中高一学生9人;初中学生社长有9人,其中初二学生社长6人。
事件为“采访3人中,恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生”。
.
……………6分(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3
,
.
,,.
所以的分布列为0123
所以,
……12分
22.某市为准备参加省中学生运动会,对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试,用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩(单位:cm,且均为整数),同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图.跳高成绩在185cm以上(包括185cm)定义为“优秀”,由于某些原因,茎叶图中乙队的部分数据丢失,但已知所有运动员中成绩在190cm以上(包括190cm)的只有两个人,且均在甲队.(Ⅰ)求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160,170)(单位:cm)内的运动员人数b;(Ⅱ)在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人,已知至少有1人成绩为“优秀”,求两人成绩均“优秀”的概率;(Ⅲ)在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛,求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望.参考答案:【考点】离散型随机变量的期望
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