黑龙江省哈尔滨市第六十九中学2022年高三数学理联考试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市第六十九中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x，y满足ax<ay（0<a<1），则下列关系式恒成立的是A．B.C．D．参考答案：A【知识点】指数函数的图像与性质∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但不成立．C．若，则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．

2.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票.这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%,70%,46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A.68% B.88%C.96% D.98%参考答案：C【分析】设投1票的有x,2票的y,3票的z,由题列出x,y,z的关系，推理即可【详解】设投1票的有x,2票的y,3票的z，则,则z-x=4,即z=x+4,由题投票有效率越高z越小，则x=0时，z=4,故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为96%故选：C【点睛】本题考查推理的应用，考查推理与转化能力，明确有效率与无效票之间的关系是解题关键,是中档题3.设函数，则函数有零点的区间是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D，，∴，故选D．4.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15参考答案：A【考点】B4：系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an，由751≤an≤1000求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=8+（n﹣1）20=20n﹣12．由751≤20n﹣12≤1000解得38.2≤n≤50.6．再由n为正整数可得

39≤n≤50，且n∈Z，故做问卷C的人数为12，故选A．5.x，y满足约束条件目标函数z＝2x＋y，则z的取值范围是（

）

（A）

（B）（C）[2，＋∞)

（D）[3，＋∞)参考答案：C试题分析：作出可行域及目标函数如图:将变形可得.平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时,纵截距最小,此时也取最小值为;因为平移目标函数线时其纵截距,所以此时.所以.故C正确.考点：线性规划.6.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．240（﹣1）m B．180（﹣1）m C．120（﹣1）m D．30（+1）m参考答案：C【考点】解三角形的实际应用；余弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，由图可知，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（）（m）．∴河流的宽度BC等于120（）m．故选：C．【点评】本题考查了解三角形的实际应用，考查了两角差的正切，训练了直角三角形的解法，是中档题．7.已知点在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线上，抛物线的焦点为，准线为，过点作的垂线，垂足为，若，的面积为，则焦点到准线的距离为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D8.当-1＜m＜1时，复数（1-i）+m(1+i)在复平面内对应的点位于：A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限参考答案：D9.设在函数的图象上的点处的切线斜率为k，若，则函数的图像大致为参考答案：A10.下列命题中，真命题是A． B．C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线以点（1，-）为切点的切线的倾斜角为

参考答案：45略12.如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆一共有8层花盆，则最底层的花盆的总个数是

参考答案：169

13.i是虚数单位，计算等于

。参考答案：略14.若命题“?x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是．参考答案：（0，1）考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：本题先利用原命题是假命题，则命题的否定是真命题，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论．解：∵命题“?x∈R，使得x2+2mx+m≤0”，∴命题“?x∈R，使得x2+2mx+m≤0”的否定是“?x∈R，使得x2+2mx+m＞0”．∵命题“?x∈R，使得x2+2mx+m≤0”是假命题，∴命题“?x∈R，使得x2+2mx+m＞0”是真命题．∴方程x2+2mx+m=0的判别式：△=4m2﹣4m＜0．∴0＜m＜1．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查了命题的否定、二次函数的图象，本题难度不大，属于基础题．15.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/1OOmL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时,属醉酒驾车.据有关调査，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共100人.如图是对这100人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为有_____

参考答案：1516.如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a=．参考答案：π【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论．【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为==1﹣cosa，矩形的面积为，则由几何概型的概率公式可得，即cosa=﹣1，又a∈（0，2π），∴a=π，故答案为：π【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键．17.已知函数，给出下列五个说法：①.

②若，则.③在区间上单调递增.④将函数的图象向右平移个单位可得到的图象.⑤的图象关于点成中心对称．其中正确说法的序号是

.参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用；正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．A2C4

【答案解析】①④

解析：f（x）=cosx?sinx=，为奇函数．①f（）=f（）=，正确；②由f（x1）=﹣f（x2）=f（﹣x2），知x1=﹣x2+2kπ?或x1=π﹣x2+2kπ?，k∈Z；所以②错误．③令，得，由复合函数性质知f（x）在每一个闭区间上单调递增，但[﹣，]，故函数f（x）在[﹣，]上不是单调函数；所以③错误．④将函数f（x）的图象向右平移个单位可得到，所以④错误；⑤函数的对称中心的横坐标满足2x0=kπ，解得，即对称中心坐标为，则点（﹣，0）不是其对称中心．所以⑤错误．故答案为①．【思路点拨】利用三角公式和三角函数的图象和性质分别进行判断即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线，过焦点作动直线交于两点，过分别作圆的两条切线，切点分别为．若垂直于轴时，．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）若点也在曲线上，为坐标原点，且，，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）；

（Ⅱ）略19.如图，已知四棱台的上下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点分别在棱上，且，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1）证明：在线段上取一点，使得，连结.∵，，，∴,又,∴,∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）解；由题设知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别为.由题设知，.设是平面的一个法向量，则，即，取得，又平面的一个法向量，∴，故二面角的余弦值为.考点：线面平行的判定，二面角．【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角．20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=4，n∈N*（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知cn=2n+3（n∈N*），记dn=cn+logCan（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{bn}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{bn}是等差数列．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】转化思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出；（2）dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=（2﹣logC2）n+3+2logC2，假设存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，则2﹣logC2=0，解得C即可；（3）由于对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立（*），b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=（）n+1﹣．（*）两边同乘以可得：b1an+1+b2an+…+bna2=（）n+1﹣．两式相减可得可得bn+1=，即bn=，（n≥3）．n=1，2也成立，即可证明．【解答】解：（1）∵Sn+an=4，n∈N*．∴当n≥2时，Sn﹣1+an﹣1=4，∴an+an﹣an﹣1=0，即an=an﹣1．当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{an}是等比数列，an=2?（）n﹣1=22﹣n．（2）dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=2n+3+（2﹣n）logC2=（2﹣logC2）n+3+2logC2，假设存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，则2﹣logC2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{dn}是常数列，dn=3+2=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立（*），∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=（）n+1﹣．①（*）两边同乘以可得：b1an+1+b2an+…+bna2=（）n+1﹣．②．①﹣②可得bn+1a1=﹣=，∴bn+1=，∴bn=，（n≥3）．又2b1=﹣，解得b1=﹣．b1a2+b2a1=﹣，∴﹣×1+b2×2=﹣，解得b2=﹣．当n=1，2时，bn=，也适合．∴bn=，（n∈N*）是等差数列．【点评】本题考查an=，将给的和项混合式转化为项与项之间或和与和之间的关系式，然后再求通项或和的公式是一种常考模式，注意灵活地运用“错位相减法”的解题策略．21.（本小题满分12分）长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示。其中有的社长是高中学生，的社长是初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学生。（1）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率；（2）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及数学期望。参考答案：（Ⅰ）由题意得，高中学生社长有27人，其中高一学生9人；初中学生社长有9人，其中初二学生社长6人。

事件为“采访3人中，恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生”。

.

……………6分（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3

,

.

，，.

所以的分布列为0123

所以，

……12分

22.某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160，170）（单位：cm）内的运动员人数b；（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望