初中数学最值问题典型例题附含答案解析分析

./中考数学最值问题总结考查知识点：1、"两点之间线段最短","垂线段最短","点关于线对称","线段的平移"。〔2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题问题原型：饮马问题造桥选址问题〔完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现"折"转"直"AB′PlAB′Pl条件：如下左图,、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点,使的值最小．方法：作点关于直线的对称点,连结交于点,则的值最小例1、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD〔不含B点上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM．〔1求证：△AMB≌△ENB；〔2①当M点在何处时,AM+CM的值最小；②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由；〔3当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长。例2、如图13,抛物线y=ax2＋bx＋c<a≠0>的顶点为〔1,4,交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为〔3,0〔1求抛物线的解析式〔2如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在,请说明理由.〔3如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标；若不存在,说明理由.例3、如图1,四边形AEFG与ABCD都是正方形,它们的边长分别为a,b<b≥2a>,且点F在AD上〔以下问题的结果可用a,b表示〔1求S△DBF;<2>把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;<3>把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在,请说明理由。例4、如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A,B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点〔不与A,B重合,过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D〔1求a,b及的值〔2设点P的横坐标为①用含的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的值,使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在,直接写出值；若不存在,说明理由.例5、如图,⊙C的内接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=,抛物线经过点A<4,0>与点〔-2,6.〔1求抛物线的函数解析式；〔2直线m与⊙C相切于点A,交y于点D.动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长,点Q的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值；〔3点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当△ROB面积最大时,求点R的坐标.例1、证明：〔1∵△ABE是等边三角形,∴BA=BE,∠ABE=60°．∵∠MBN=60°,∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．又∵MB=NB,∴△AMB≌△ENB〔SAS．〔5分解：〔2①当M点落在BD的中点时,A、M、C三点共线,AM+CM的值最小．〔7分②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小．〔9分理由如下：连接MN,由〔1知,△AMB≌△ENB,∴AM=EN,∵∠MBN=60°,MB=NB,∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．〔10分根据"两点之间线段最短",得EN+MN+CM=EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长．〔11分例2、解：〔1设所求抛物线的解析式为：,依题意,将点B〔3,0代入,得：解得：a＝－1∴所求抛物线的解析式为：〔2如图6,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称,在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF＝HI…①设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b〔k≠0,∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x＝2代入抛物线,得∴点E坐标为〔2,3又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D∴当y＝0时,,∴x＝－1或x＝3当x＝0时,y＝－1＋4＝3,∴点A〔－1,0,点B〔3,0,点D〔0,3又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1,∴点D与点E关于PQ对称,GD＝GE…②分别将点A〔－1,0、点E〔2,3代入y＝kx＋b,得：解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1∴当x＝0时,y＝1∴点F坐标为〔0,1∴=2………③又∵点F与点I关于x轴对称,∴点I坐标为〔0,－1∴………④又∵要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值,∴只要使DG＋GH＋HI最小即可由图形的对称性和①、②、③,可知,DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI只有当EI为一条直线时,EG＋GH＋HI最小设过E〔2,3、I〔0,－1两点的函数解析式为：,分别将点E〔2,3、点I〔0,－1代入,得：解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1∴当x＝1时,y＝1；当y＝0时,x＝；∴点G坐标为〔1,1,点H坐标为〔,0∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI由③和④,可知：DF＋EI＝∴四边形DFHG的周长最小为。〔3如图7,由题意可知,∠NMD＝∠MDB,要使,△DNM∽△BMD,只要使即可,即：………………⑤设点M的坐标为〔a,0,由MN∥BD,可得△AMN∽△ABD,∴再由〔1、〔2可知,AM＝1＋a,BD＝,AB＝4∴∵,∴⑤式可写成：解得：或〔不合题意,舍去∴点M的坐标为〔,0又∵点T在抛物线图像上,∴当x＝时,y＝∴点T的坐标为〔,.例3、解：〔1∵点F在AD上,∴AF2=a2＋a2,即AF=。∴。∴。〔2连接DF,AF,由题意易知AF∥BD,∴四边形AFDB是梯形。∴△DBF与△ABD等高同底,即BD为两三角形的底。由AF∥BD,得到平行线间的距离相等,即高相等,∴。〔3正方形AEFG在绕A点旋转的过程中,F点的轨迹是以点A为圆心,AF为半径的圆。第一种情况：当b＞2a时,存在最大值及最小值,∵△BFD的边BD=,∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时,S△BFD取得最大、最小值。如图,当DF⊥BD时,S△BFD的最大值=,S△BFD的最小值=。第二种情况：当b=2a时,存在最大值,不存在最小值,S△BFD的最大值=。例4、解：〔1由,得到x=－2,∴A〔－2,0。由,得到x=4,∴B〔4,3。∵经过A、B两点,∴,解得。设直线AB与y轴交于点E,则E〔0,1。∴根据勾股定理,得AE=。∵PC∥y轴,∴∠ACP=∠AEO。∴。〔2①由〔1可知抛物线的解析式为。由点P的横坐标为,得P,C。∴PC=。在Rt△PCD中,,∵,∴当m=1时,PD有最大值。②存在满足条件的值,。例5、解：〔1将点A〔4,0和点〔-2,6的坐标代入中,得方程组,解之,得.∴抛物线的解析式为.〔2连接AC交OB于E.∵直线m切⊙C于A∴AC⊥m,∵弦AB=AO,∴.∴AC⊥OB,∴m∥OB.∴∠OAD=∠AOB,∵OA=4tan∠AOB=,∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.t秒时,OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD,则FQ=OP=t.DF=DQ－FQ=t.⊿ODF中,t=DF==1.8秒.〔3令R<x,x2－2x><0＜x＜4>.作RG⊥y轴于G作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG=x,O